高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第二章第10课函数与方程

1、-1 - 第 10 课函数与方程 【考点导读】 1.1. 能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解 函数零点与方程根的联系. 2.2. 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质. 3.3. 体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法. 【基础练习】 2 1.1.函数f(x)=x +4x+4在区间_A1有 1 1 个零点. 2.2.已知函数f (x)的图像是连续的，且 x与f (x)有如下的对应值表: x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 f(x) 2.32.3 3.43.4 0 0 1.31.3 3.43.4 3.43.4 则

2、f (x)在区间1,6上的零点至少有_个. 3.3.方程x+3x1=0在区间(0,1)内的近似解为 0.30.3 (精确到 0.1 0.1 ) 4.4.已知函数f(x)=2x5的零点所在区间为m,m+1(mz)，贝U n= = 2 2 5.5.已知函数f(x) =x2 (a2 -1)x (a -2)的一个零点比 1 1 大，一个零点比 1 1 小，则实数a 的取值范團 _ 【范例解析】 例 1. 1. f(x)是定义在区间C, C上的奇函数，其图象如图所示：令 则下列关于函数g(x)的结论： 若a00,则函数g(x)的图象关于原点对称； 若a= = 1 1, 22b00,则方程g(x) =0=

3、0 有大于 2 2 的实根； 若az 0 0, b =2，则方程g(x) =0=0 有两个实根； 若a = 0, b=2，则方程g(x) =0=0 有三个实根. 其中，正确的结论有 _ 分析：利用图像将函数与方程进行互化. 解：当a 0且b=0时，g(x af (x) b是非奇非偶函数，不正确；当a = -2 , b = 0时,g(x) =af (x) b , -2 - 2 g(x)=-2f(x)是奇函数，关于原点对称，不正确；当 a=0, b=2时，f (x) ，由 a 2 2 图知，当-2 2时，f (x) 才有三个实数根，故不正确；故选. a a 点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考

4、察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因 此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本. 2 例 2.2.设 f(x)=3ax 2bx c，若 a b c =0 , f(0) 0 , f(1) 0 . 求证：(1) a 0 且一 2 - -1 ; a (2 2)方程f(x) =0在(0,1)内有两个实根. 分析：利用a b 0 , f(0) .0 , f(1) .0进行消元代换. 证明：(1 f (0) =c .0, f(1) =3a 2b c 0,由 a b c = 0，得b -a-c ，代入 f (1) 得: a - c 0，即 a c 0，且 0 ： c ： 1，即-=c (-2, -1)，即证

5、. a a a 1 1 1 1 f ( ) a : 0，又f (0) 0 , f (1) 0 .则两根分别在区间(0,才，( ,1)内, 得证. 也可利用根的分布来做. 2 例 3.3.设函数f(x)=bx cx ( ( b , , c不同时为零) )，方程f(x)=0与ff(x)=0的实根相同, 求实数c的取值范围. 分析：写出方程 f(x)=0, ff(x)=0的根即可. 解：由 f (x) = 0 ,即卩 x(bx c) = 0 由 f f (x) =0 ,即 x(bx c)(b2x2 bcx c) = 0 (1) 当c =0 , b = 0时，方程的根都是 x = 0; (2) 当c

6、= 0 , b=0时，方程的根都是 x=0 ; c (3) 当c = 0 , b=0时， 方程的根为x0 , x2 ；它们都是方程的根都，但不是 b 点评：在证明第(2)问时，应充分运用二分法求方程解的方法, 的正负是首选目标，如不能实现 1 1 选取(0,1)的中点来考察f (丄) 2 2 b 3af($ ：0，则应在区间内选取其它的值本题也可选 -3 - b2x2 bcx c =0的根，贝U方程b2x2 bcx 0无实数根，故此方程尺=(be)2 - 4b2c ： 0 , 解得0 c 3 3 时，f3(2) f2(2)=a2 8 0 , a f2(X)与f3(X)的图象在第一象限有两个交点

7、，即 因此，当a33 时，方程f(x) = f(a)有三个实数解. 分析二：从“数”的角度求解. 2 8 2 8 证法二：由 f(x) = f(a)，得 x2 8 = a2 8 , 当a33 时，在第一f3(x)的图象上存在一点 (2, f2(2)在f2(x)图象的上方 f(x)二f (a)有两个正数解 -5 - x a 8 即(x -a)(x a )=0，得方程的一个解 为=a. . ax 8 方程 x a 0化为 a2x2 a2x8 =0 , ax X2 0 , X3 0 , - X2 且 x? - X3.由 a33, A -a4 32a 0,得 -a - a2 32a a、a2 32a

8、2a -6 - 若 xx3，即 a = - 32a，即 a4 = 4a，解得 a = 0或 a = 3 4 , 2a 这与a33 矛盾，.治=x3 因此，当a33 时，方程f(x)二f(a)有三个实数解. 点评：证法一是数形结合的思想方法，借助两个函数图像的交点个数来说明方程根的个数， 这是常用的一种思路，但要结合图像说清理由；证法二是代数方法. 【反馈演练】 1 1方程Iog2(x+4)=3x的实数解的个数是 _ _2_2 _ . 2 2.设f (x3ax -2a 1 , a为常数.若存在x (0,1)，使得f(x0) =0，则实数a的取 1 值范围是 _ (_ ： ：,1) _.(，).

9、2 x2 + bx + c x v 0 3 3 .设函数 f(x) 若f (-4) = f(0), f (-2) = -2，则关于 x的方程 Z，x AO. f(x)=x解的个数为 (C C ) A A. 1 1 B.B. 2 2 C. 3C. 3 D.D. 4 4 4 4方程ln x，2x-6 = 0在区间上的根必定属于区间( B B ) A A. (-2,1) B (2,4) C. C. (1#) D.D. (4,-2) R的函数f(x)丿亦一1 “1，则方程 io, X 实数根的充要条件是 b ： 0,c = 0 . 2 6 6.已知f (x)二ax ，bx，c(a =0)，且方程f(x

10、)二x无实数根，下列命题: 方程ff(x)=x也一定没有实数根； 若a 0，则不等式ff(x) x对一切实数x都成立; 若a 0，则必存在实数x0，使f f(x0) x0 若a b 0，则不等式f f(x) ： x对一切实数x都成立. 其中正确命题的序号是 . 5 5.设定义域为 2(x) bf (x) c = 0 有 7 7 个不同 -7 - 7 7关于x的方程(x2 1 2 X2 1 +k = 0= 0，给出下列四个命题： 存在实数k，使得方程恰有 2 2 个不同的实根； 存在实数k，使得方程恰有 4 4 个不同的实根； 存在实数k，使得方程恰有 5 5 个不同的实根； 存在实数k，使得方

11、程恰有 8 8 个不同的实根. . 1 3 其中真命题的序号为一一一_ _.注k=k=- -2 2 k=k=- - k= k= 0 0 k= k= 4 16 & &设二次函数 f (x x2 ax a，方程f (x) -x = 0的两根 为和x2满足0 ：为：x2 ： 1 .求 实数a的取值范围. 2 解：令 g(x)二 f (x) -x =x (a-1)x a , 0, 0 - 1 - a 1 a 则由题意可得，* 1cav1, 0a3 + 272 g(0) 0， 故所求实数a的取值范围是(0,3-2、2). & &已知函数f(x) =log2(4x 1) k

12、x(k R)是偶函数. (1) 求k的值； 、r x 4 (2) 设g(x) =log2(a 2 a)(a R)，若函数f (x)与g(x)的图象有且只有一个公共点， 3 求实数a的取值范围. . 解：(1 1) f(x)是偶函数，.f(-x)二 f(x) x x log2(4 1)-kx=log2(4 1) kx 2x 2kx = 0 由于此式对于一切 R恒成立，.k=-1 (2 2)函数f (x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，等价于方程 f(x)=g(x)有唯一的实数 解 x x 4 x x 4 等价于方程4 (a 2 a) 2有唯一实数解，且 a 2x a 0. . 3 3 令2x

13、=t，则此问题等价于方程 (a-1) t2-电at-1 =0只有一个正实根且 a 2-a 0. . 3 3 从而有： -8 - 3 a-1=0即a = 1，则t =-，不合题意舍去. . 4 a1 = 0 即 a = 1 16 3 3 ( (I ) )若 a2 4(a T) = 0，即a 或a -3. .当a 时，代入方程得t -2不合题 9 4 4 当a = -3时，得t =1符合题意. . 2 ( (n)n)方程有一个正根和一个负根，即 ：: :：o o，即a 1符合题意, a-1 综上所述，实数 a a 的取值范围是3 (1,). . 9 9.已知二次函数 f (x) =ax2 bx c

14、 . (1(1)若abcc, 且f (1 1) =0=0,证明f (x)的图象与x轴有 2 2 个交点; (2 2 ) 若对x1, x R,且论：x2, f (xj = f (x2), 求证：关于x的方程 1 f (x) f (X1) f(X2)有 2 2 个不等实根且必有一个根属于 (X1,X2). 2 解：(1 1) ： f(1) = a b c=0且a b e, a 0且c ：0, = b2-4ac 0, -f (x)的图象与x轴有两个交点. . 1 (2 2) ： f (x) f (xf) f (x2)，即 2ax2 2bx - a(X12 x?2) - 口为 x?) =0 , 2 2 b 2 b 2 2 2 2 .：=8a (x1 ) (x2 )，或：=4(b+a(x =4(b+a(x 1+X+X2) +a (x ) +a (x 1- -x x 2) ) 2a 2a b b 又x2 R且为：x