高考数学第一轮复习之导数知识点总结教案新人教B版

1、导数 1 1、 导数的背景：(1 1)切线的斜率；(2 2)瞬时速度；(3 3)边际成本。 如一物体的运动 方程是s=1 -t t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t=3时的瞬时速度为 (答：5 5 米/ /秒) 2 2、 导函数的概念：如果函数f(x)在开区间(a,b a,b )内可导，对于开区间(a,b a,b )内的 每一个x0，都对应着一个导数 f x0 ，这样f (x)在开区间(a,b a,b )内构成一个新的函 数，这一新的函数叫做 f(x)在开区间(a,b a,b )内的导函数, f X ： -X f x zx ， 导函数也简称为导数。3 3、求y = f(x)在X。

2、处的导数的步骤：(1 1)求函数的改变量 与=f (xo+Ax)-f(xo )； (2 2)求平均变化率 卫二x - f X。；( 3 3)取极限，得导数 x。= lim 卫。 & Lx LTAx 4 4、导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y二f (x)在 点p(x。, f (x。)处的切线的斜率，即曲线 y= f(x)在点P(x。, f(x。)处的切线的斜率是 f x0，相应地切线的方程是 y-y。二x。 x-x。特别提醒：(1 1)在求曲线的切线 方程时，要注意 区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线 ：曲线上某点处 的切线只有一条，而过某点的切

3、线不一定只有一条， 即使此点在曲线上也不一定只有一条； (2 2)在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有 3 2 当此点在曲线上时， 此点处的切线的斜率才是 f (x0)。如(1 1) P P 在曲线y = x -X 上 3 移动，在点 P P 处的切线的倾斜 角为a,则a的取值范围是 _ (答：0, )J ，兀)；(2 2) 2 4 直线y =3x +1是曲线y =x3 a a 的一条切线，则实数a的值为 _ (答：3 3 或 1 1)； 1 (3(3)已知函数f(x) =2x3 x2 m ( m m 为常数) 2 兀 1 3 夹角为一，则A点的横坐标为 _

4、 (答：0 0 或一)；(4 4)曲线y = X3 + X +1在点(1,3)处 4 6 的切线方程是 _ (答：4x y 1= 0)； ( 5 5 ) 已知函数 2 3 2 f (x) x ax 4x，又导函数 y = f (x)的图象与 x轴交于(-k,0),(2 k,0), k 0。 3 求a的值；求过点 (0,0)的曲线y二f (x)的切线方程(答： 1 1 :y = 4x或 35 J)。 5 5、导数的运算法则：(1 1)常数函数的导数为 0 0，即CO ( C C 为常数)； (2 2) 1 ： =/ 秒， X 图象上A处的切线与x - y 3 = 0的 x f = nxnJ n，

5、Q，与此有关的如下: X X (3)若 f (x),g(x)有导数，则f (x) g(x) = f (x) _ g (x)；CLJf (x) = Cf (x)。 1 如(1 1)已知函数f(x)=mxm的导数为f(x)=8x3，则m = _ (答：一)；(2 2 )函 4 数 y =(x1)(x+1)2 的导数为 _ (答: y = 3x2 +2x1)； (3 3)若对任意 川 R , f (x) =4x3, f(1) = 1，则 f (x)是 _ (答: f(x) = x4 2 ) 6 6、 多项式函数的单调性： (1) 多项式函数的导数与函数的单调性 ： 若f (x) 0,则f (x)为增

6、函数；若f (x) ： 0,则f(x)为减函数；若f(x) = O恒 成立,则f(x)为常数函数；若f (x)的符号不确定,则f(x)不是单调函数。 若函数y二f (x)在区间(a,b )上单调递增，则f (x) _0 ,反之等号不成立；若 函数y二f (x)在区间(a,b)上单调递减，则f (x)乞0,反之等号不成立。如(1 1)函数 3 2 2 f(x)=x +ax +bx+c,其中a,b,c为实数，当a 3b0时，f (x)的单调性是 _ (答：增函数)；(2 2)设a 0函数f (x) = x3 - ax在1, ：)上单调函数，则实数 a的取 值范围 _ (答: 06或a -3 )；

7、(3 3)函数 f (x)= x3 + ax2 + bx+ a在 x=处有极小值 1010,则 a+b a+b 的值为 _ (答：7 7) ； (4 4)已 知函数f （x） =x+bx?+cx+d在区间1,2 1,2 上是减函数，那么b+ c有最 _ 值 _ （答: 15 ） 2 &函数的最大值和最小值 （1 1）定义：函数f（x）在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点 值中的“最大值”；函数f （x）在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端 点值中的“最小值” （2 2） 求函数y = f （x）在 a,b 上的最大值与最小值的步骤 ： （1 1） 求函数y =

8、 f （x）在 （a,b ）内的极值（极大值或极小值）；（2 2 ）将y二f（x）的各极值与f （a），f （b）比较， 其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值。 如（1 1）函数y = 2x -3x2 -12x 5在 0 0，3 3上的最大值、最小值分别是 _ （答：5 5; -15）；（2 2）用总长 14.8m14.8m 的钢条制作 一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0.5m0.5m。那么高为多少时 容器的容积最大？并求出它的最大容积。 （答：高为 1.21.2 米时, 特别注意：（1 1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值） 时，要注意列表！ （2 2）要善于应用函数的导数， 考察函数单调性、 最值（极值），研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关 问题。女口（ 1 1） f （x）是f （x）的导函数， 示，则f（x）的图象只可能是 （2 2）方程x3 6x2 +9x 10 =0的实根的个数为 _ （答: 1 1） ； （ 3 3）已知函数 f （x） = x3 -ax2 -x，抛物线C : x2二y，当x （1,2）时，函数f （x）的图象在抛物线 C :