全等三角形经典模型总结

1、Fpg全等三角形相關模型總結一、角平分線模型(一）角平分線性質模型輔助線：過點G作GE射線ACA、例題1、如圖，在ABC中，C=90°，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那麼點D到直線AB距離是 cm.2、如圖，已知，12，34，求證：AP平分BAC.B、模型鞏固1、如圖，在四邊形ABCD中，BCAB，ADCD，BD平分ABC，求證：AC180°.（二）角平分線垂線，等腰三角形必呈現A、例題輔助線：延長ED交射線OB於F 輔助線：過點E作EF射線OB例1、如圖，在ABC中，ABC3C，AD是BAC平分線，BEAD於F .求證：.例2、如圖，在ABC中，BAC角平分

2、線AD交BC於點D，且ABAD，作CMAD交AD延長線於M. 求證：.（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OBOA，從而使OACOBC .A、例題1、如圖，在ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC於P，BQ平分ABC交AC於Q，求證：ABBPBQAQ .2、如圖，在ABC中，AD是BAC外角平分線，P是AD上異於點A任意一點，試比較PBPC與ABAC大小，並說明理由 .B、模型鞏固1、在ABC中，ABAC，AD是BAC平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）.求證：ABACPBPC .2、如圖，ABC中，AB

3、AC，A100°，B平分線交AC於D，求證：ADBDBC .3、如圖，ABC中，BCAC，C90°，A平分線交BC於D，求證：ACCDAB .二、等腰直角三角形模型（一）旋轉中心為直角頂點，在斜邊上任取一點旋轉全等：操作過程：（1）將ABD逆時針旋轉90°，得ACM ABD，從而推出ADM為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點C作MCBC，使CMBD，連結AM.（二）旋轉中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動旋轉全等：操作過程：連結AD.（1）使BFAE（或AFCE），導出BDF ADE.（2）使EDFBAC180°，導出BDF ADE.A、例題1、如圖

4、，在等腰直角ABC中，BAC90°，點M、N在斜邊BC上滑動，且MAN45°，試探究 BM、MN、CN之間數量關係.2、兩個全等含有30°，60°角直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BD中點M，連接ME、MC. 試判斷EMC形狀，並證明你結論.B、模型鞏固1、已知，如圖所示，RtABC中，ABAC，BAC90°，O為BC中點，若M、N分別線上段AC、AB上移動，且在移動中保持ANCM.（1）試判斷OMN形狀，並證明你結論.（2）當M、N分別線上段AC、AB上移動時，四邊形AMON面積如何變化？2、

5、在正方形ABCD中，BE3，EF5，DF4，求BAEDCF為多少度.（三）構造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以構造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、對稱和絃圖也可以構造等腰直角三角形.（四）將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：A、例題應用1、如圖，在等腰直角ABC中，ACBC，ACB90°，P為三角形ABC內部一點，滿足PBPC，APAC，求證：BCP15° .三、三垂直模型（弦圖模型）A、例題已知：如圖所示，在ABC中，ABAC，BAC90°，D為AC中點，AFBD於點E，交BC於F，連接DF .求證：ADBCDF .變式1、已知：如圖所示

6、，在ABC中，ABAC，AMCN，AFBM於E，交BC於F，連接NF .求證：（1）AMBCNF；（2）BMAFFN .變式2、在變式1基礎上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交於點P，求證：（1）PMPN；（2）PBPFAF .四、手拉手模型1、ABE和ACF均為等邊三角形結論：（1）ABFAEC . （2）BOEBAE60° . （3）OA平分EOF .（四點共圓證）拓展：ABC和CDE均為等邊三角形 結論：（1）ADBE； （2）ACBAOB； （3）PCQ為等邊三角形； （4）PQAE； （5）APBQ； （6）CO平分AOE；（四點共圓證） （7）OAOBOC； （8

7、）OEOCOD .（7），（8）需構造等邊三角形證明）例、如圖，點M為銳角三角形ABC內任意一點，連接AM、BM、CM以AB為一邊向外作等邊三角形ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN（1）求證：AMBENB；（2）若AM+BM+CM值最小，則稱點M為ABC費爾馬點若點M為ABC費爾馬點，試求此時AMB、BMC、CMA度數；（3）小翔受以上啟發，得到一個作銳角三角形費爾馬點簡便方法：如圖，分別以ABCAB、AC為一邊向外作等邊ABE和等邊ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M即為ABC費爾馬點試說明這種作法依據2、ABD和ACE均為等腰直角三角形結論：（1）BEC

8、D；（2）BECD .3、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形結論：（1）BDCF；（2）BDCF .變式1、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，ASBC交FD於T，求證：（1）T為FD中點；（2） .變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點，TA交BC於S，求證：ASBC .4、如圖，以ABC邊AB、AC為邊構造正多邊形時，總有：五、半角模型條件：兩邊相等 .思路：1、旋轉輔助線：延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF 將ADN繞點A順時針旋轉90°得ABF，注意：旋轉需證F、B、M三點共線結論：（1）MNBMDN； （2）； （3）AM、AN分別平分BMN、MND .2、翻折（對稱）輔助線：作APMN交MN於點P 將ADN、ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點共線 .A、例題例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MNBMDN，求證：（1）MAN45°； （2）； （3）AM、AN分別平分BMN和DNM .變式：在正方形ABCD中，已知MAN45°，若M、N分別在邊CB、DC延長線上移動，AHMN，垂足為H，（1）試探究線段MN、BM、DN之間數量關係；（