勾股定理典型例题

1、勾股定理典型例题11.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，402.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）（A）1、2、3 （B） （C） （D）3.在ABC中，的对边分别为，且，则（ ）（A）为直角 （B）为直角 （C）为直角 （D）不是直角三角形4.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 5.已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为 .6.现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米

2、，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A30厘米B40厘米C50厘米D以上都不对7.图中字母A所在的正方形的面积是8.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为cm第9题图第8题图 9.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为()m10.如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3= 11,如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C

3、的最短路程大约是（）A6cmB12cmC13cmD16cm12.长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm13.如图，已知：在中，. 求：BC的长. 14.已知：如图，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 15.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。16.在数轴上表示的点。17.在

4、数轴上作出对应的点（不写作法，保留作图痕迹）18.如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。19.如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE与DE是否垂直?请说明。 20.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。21.直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。22.如图所示，已知ABC中，C=90°，A=60°，求、的值。 23.如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 24

5、.如图中，求的长25.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积勾股定理典型例题11.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断， 对数据较大的可以用c2a2+b2的变形：b2c2a2（ca）（c+a）来判断。 例如：对于选择D， 82（40+39）×（4039）， 以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】：A2.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）（A）1、2、3 （B） （C） （D）错解：选（B

6、）分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足的形式.正解：因为，故选（C）3.在ABC中，的对边分别为，且，则（ ）（A）为直角 （B）为直角 （C）为直角 （D）不是直角三角形错解：选（B）分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为，因而有同学就习惯性的认为就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为，即，因根据这一公式进行判断.正解：，.故选（A）4.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），

7、却踩伤了花草。 解析：他们原来走的路为3+47(m) 设走“捷径”的路长为xm，则 故少走的路长为752(m) 又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】45.已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为 .错解：第三边长为.分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边.正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为；（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.6.现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么

8、所需木棒的长一定为（）A30厘米B40厘米C50厘米D以上都不对考点：勾股定理的应用。分析：由于不明确直角三角形的斜边，故应分两种情况讨论解答：解：此题要分两种情况：（1）当50是直角边时，所需木棒的长是=10；（2）当50是斜边时，所需木棒的长是30故选D点评：解答此题的关键是运用勾股定理解答，注意此题的两种情况7.图中字母A所在的正方形的面积是7考点：勾股定理。分析：根据正方形的面积公式和勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积解答：解：根据勾股定理，可知A=169=7故A的面积为7点评：熟记此题的结论：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形

9、的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积8.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为8cm考点：勾股定理。分析：根据题意可得，最大的正方形的面积为S=SA+SB+SC+SD解答：解：根据勾股定理的几何意义，最大的正方形的面积为S=SA+SB+SC+SD=64cm2，则最大的正方形的边长为=8cm点评：勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积9.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在

10、根部4米处，这棵大树在折断前的高度为8m考点：勾股定理的应用。专题：应用题。分析：根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可解答：解：由勾股定理得，断下的部分为=5米，折断前为5+3=8米点评：此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单10.如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=70考点：勾股定理。分析：根据勾股定理以及圆面积公式，可以证明：S1+S2=S3故S3=70解答：解：设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示：则S1=（）2=，S2=（）2=，S3=（）2=因为a2+b2=c2，所以+=即S1+S2=

11、S3所以S3=70点评：注意发现此图中的结论：S1+S2=S311.如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A6cmB12cmC13cmD16cm考点：平面展开-最短路径问题。分析：根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短解答：解：将圆柱体展开，连接D、C，圆柱体的底面周长为24cm，则DE=12cm，根据两点之间线段最短，CD=413cm而走BDC的距离更短，BD=4，BC=，BD+BC11.6412故选B点评：本题是一道趣味题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可点评：圆柱体

12、展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽12.长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm考点：平面展开-最短路径问题。分析：蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径解答：解：如图所示，路径一：AB=13；路径二：AB=；路径三：AB=；13，cm为最短路径点评：此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度13.如图，已知：在中，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，再由勾股定理

13、计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， （的两个锐角互余） （在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . . 14.已知：如图，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 A=60°，B=90°，E=30°。 AE=2

14、AB=8，CE=2CD=4， BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。 S四边形ABCD=SABE-SCDE=AB·BE-CD·DE=15.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 解析：（1）过B点作BE/AD DAB=ABE=60° 30°+CBA+ABE=180° CBA=90° 即

15、ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以 （2）在RtABC中， BC=500m，AC=1000m CAB=30° DAB=60° DAC=30° 即点C在点A的北偏东30°的方向16.在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 17.在数轴上作出对应的点（不写作法，保留作图痕迹）分析：可以看作两直角边长分别为1， 的直角三角形的斜边长；而又可以看作两直角边长分别为1，1的直角三角形的斜边长解：如图：作

16、一个等腰直角三角形，使其两直角边都是1，则斜边为；作一个直角三角形，使其两直角边分别为1，则斜边为；在数轴上，以原点O为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点A则点A就是所求的点18.如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

17、 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 19.如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE与DE是否垂直?请说明。 【答案】答：DEEF。 证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF（如图） DF2=AF2+AD2=9a2+1

18、6a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。20.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x）2+（4x）2202 化简得x216； 直角三角形的面积×3x×4x6x296 总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。21.直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得： 由（1）得：x+y7， （x+y）249，x2+2xy+y249 (3) (3)(2)，得：xy12 直角三角形的面积是xy×126（cm2）22.如图所示，已知ABC中，C=90°，A=60°，求、的值。 思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。 解：在RtABC中，A=60°，B=90°-A=30°， 则，由勾股定理，得。 因为，所以，