第三讲 函数的表示

1、第三讲 函数的表示一映射: AB的概念：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应【包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f 】叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB.。理解映射概念时要注意：中元素必须都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。（1）设是集合到的映射，下列说法正确的是（ ）A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（2）点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点_练习：设集合A和B都是自然数集

2、合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn，则在映射f下，象20的原象是（ ）A.2 B.3 C.4 D.5（3）若，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个（4）设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有_个（5）设是集合A到集合B的映射，若B=1,2，则一定是_二函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如：（1）已知函数，那么集合中所含元素的个数有 个（2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则 （3）函数对一切实数，均有成立，且，求的值？三同一

3、函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。（1）试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=； （4）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1.（2）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为4，1的“天一函数”共有_个（3）设M=x|2x2，N=y|0y2，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（ ）（4）设函数，则_（5）函数

4、对一切实数，均有成立，且，求的值四求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零（1）函数的定义域是_（2）若函数的定义域为R，则_（3）函数的定义域是，则函数的定义域是_2根据实际问题的要求确定自变量的范围。3复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。如（1）若函数的定义域为，则的定义域为_（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为_五求函数值域（最值）的方法：1配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上

5、的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数的值域（2）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是_（3）求的值域2换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）的值域为_（2）的值域为_3函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数，指数函数和的有界性，如求函数y=的值域是( )A.1，1 B.（1，1 C.1，1） D.（1，1）4单调性法

6、利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求，的的值域5数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点在圆上，求及的取值范围（2）求函数的值域6判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性质，如求的值域型，先化简，再用均值不等式，如（1）求的值域（2）求函数的值域型，通常用判别式法；如已知函数的定义域为R，值域为1，9，求常数的值型，可用判别式法或均值不等式法，如求的值域提醒：（1）求函数的定义域、值

7、域时，你按要求写成集合形式了吗？ （2）函数的最值与值域之间有何关系？六分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数，则使得的自变量的取值范围是_（2）已知，则不等式的解集_七求函数解析式的常用方法：1待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知为二次函数，且 ，且f(

8、0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。2代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式。如（1）已知，求；（2）若，则函数=_（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。3方程的思想已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如（1）已知，求的解析式（2）已知满足，求学生练习：1.已知f（）=，则f（x）的解析式可取为( )A. B.C.D.2.函数f（x）=|x1|的图象是( )3.函数y=的定义域为_，值域为_.4.函数y=的值域是( )A.1，1 B.（1，1 C.1，1） D.（1，1）5.如果ff（x）=2x1，则一次函数f（x）=_.6.已知f（x24）=，则f（x）的定义域为_.7.已知函数f（x）=则f（1）=_；不等式xf（x1）10的解集是_.8.定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2（x2）sgnx的解集是_9.求下列函数的最大值和最小值：（1）；