扩展的DEA模型的最优值的研究

1、文章编号 :100124098(2004 0920100204扩展的 D EA 模型的最优值的研究 吴文江(北京工业大学 (管庄 , 摘要 :讨论扩展的 C 2GS 2(2, C 2GS 2(C 2R 模型的 最优值相等 , D EA 有效性 (C 2GS 2或 C 2R , 证明若所有输入与输 出都取正值 , D EA 模型的最优值 (若它存在 。关键词 :(D EA ; 决策单元 (DM U ; 扩展的 D EA 模型 ; 最优值 ; 阈值中图分类号 :C 931. 1文献标识码 :A数据包络分析是一种评价决策单元间相对有效性的有用的方法 。 文 1提及扩展的 D EA 模型 。 文 2、

2、 文 3分别提到用扩展的 C 2R 模型 、 C 2GS 2模型来判断决策单元的D EA 有效性 , 但都没有探讨扩展 D EA 模型的最优解的存在性 。 是否有可操作性的方法来判断其是否存在 ? 若存在 ,在什么条件下其最优值与 D EA 模型的最优值相等 ? 若不存在 , 如何判断决策单元的 D EA 有效性 ? 本文探讨以上问题 。文 4、 文 5中考虑了带参数的 D EA 模型 , 给出了决策单元的阈值的概念 , 用它来区分 D EA 有效的决策单元 ,但在计算阈值前要先确定参数 , 能否不事先确定参数来计算阈值 ? 本文也来探讨这个问题 。1扩展 D EA 模型的最优解的存在性设 有

3、 n 个 决 策 单 元 , 其 中 第 j 个 决 策 单 元 (记 为DM U j 有输入向量 X j =(x 1j , x 2j , , x m j T >0, 输出向量Y j =(Y 1j , Y 2j , , Y sj T >0, j J =1,2, , n 。被评的决策 单元为记为 DM U j 0 (j 0 J , 对应的 X j, Y j分别记为X 0, Y 0. 考虑基于输入的 D EA 模型 (D :m in s . t . j JX j j ÷X 0 j JY j j Y 0 j Jj = , j 0, j J 当 =0时即 C 2R 模型 ; 当

4、=1时即 C 2GS 2模型 。 由文 1可知 , 有定理 1 (D 的最优解存在且最优值不大于 1。 设 I =J j 0,则对应 (D 的扩展的 D EA 模型为 (F :m in s . t . j IX j j ÷X 0 j IY j j Y 0 j Ij = , j 0, j I其对偶问题为 (P :m ax (T Y 0+ s . t . T X j -T Y j - 0, j I T X 0=1 0, 0 定理 2 若 X j >0, Y j 0(j J , 且 Y 0 T 1y , 其中 T 1y =Y j IY j j Y , j Ij =1, j 0, j

5、I ,则扩展 C 2GS 2模型 (F 1 有最优解 , 且最优值为正 。证明 先来找 (F 1 的可行解 :因 Y 0 T 1y , 即有 0j 0(j I , j I0j =1使得 j IY j 0j Y 0, 因 X 0>0, 取 1为 j IX j 0j 与 X 0诸相应分 量之比的最大值 , 则 =1, j =0j (j I 即为 (F 1 的可 行解 。再来找 (P 1 的可行解 :设 e、e 分别与 m 维 、 s 维的 (1, 1, , 1 T 型向量 。 因 X j >0(j J , 故 a =eTX 0>0, eTX j >0(j I 。 因 Y j

6、 0, 故 第 22卷第 9期 (总第 129期 系统工程 V o l . 22, N o. 9 2004年 9月 System s Engineering Sep t . , 2004 收稿日期 :2004206201作者简介 :吴文江 (19312 , 男 , 浙江龙泉人 , 北京工业大学教授 , 研究方向 :决策分析 。e T Y j >0(j J 。 令 b =(1 a m in j I(e TX j (e T Y j >0, 则 0=e a , 0=be , 0=0为 (P 1 的可行解 , 这是因为 T 0X 0=(e T a X 0=1, T 0X j -T 0Y 0

7、-0=e TX j a -be T Y j 0(j I 。 此可行解对应的目标函数值 be TY 0>0。由线性规划理论可知 , (F 1 与 (P 1 的最优解都存在 , 且最优值相等 , 此值 be TY 0>0。定 理 3若 X j >0, Y j >0(j J , 则扩展 C 2R 模型(F 0 有最优解 , 且最优值为正 。因 Y j >0(j J , 取 01=m ax r =1, 2, , s(y r 0 y r 1 >0, 0j = I , j 1 , 可得 j IY j 0j =Y 10可证 。同理有定理 4若 X j >0, Y j

8、 >0(j J , 且 (F 有可行解 , 则(F 有最优解 , 且最优值 >0。 2扩展的 D EA 模型与 D EA 模型的最优值的关系 定理 5若 X j >0, Y j >0(j J , 且 (D 的最优解为0, 0j (j J (0=0j 0(1则 (a 0 0 1, (b (F 有最优值 时 , 0 , (c 0<1时 , (F 存在最优解 , 设最优值为 , 则 0=0时 , =0 1; 0>0时 , =0=1。 证明 因 (1 为 (D 的最优解 , 且 X j >0(j J 故0÷ j IXj0j ÷(0-0 X

9、0(2 j IY j 0j (1-0 Y 0 j I0j (1-0 0j 0(j I (3于是 0-0 0, 且由定理 1即得 (a 。若 (F 有最优解 , 将它添加 0=0后即得 (D 的可行 解 , 故 (b 成立 。若 0<1, 由 (2 、 (3 式可知 j =0j(1-0 (j I , =(0- (1-0 为 (F 的可行解 , 由定理 4, (F 有最优解 , 最优值 >0, 且 (0-0 (1-0由 (b 推得0 (0-0 (1-0(4解得 (1-0 0 0, 又 (1-0 0 0, 故 (1-0 0=0。 当 0=0时 , 由 (4 式得 =0 1; 当 0>

10、;0时 , 有 0=1, 由 (4 式得 =0=1, 故 (c 成立。 我 们知道 , 若 (D 的最优值 0=1, 则 DM U 0为弱D EA 有效 (C 2R 当 =0, C 2GS 2当 =1 。定理 6在定理 5的已知条件下 , 若 (F 有最优值 , 则(a 若 <1, 则 0=<1, 即 DM U 0非弱 D EA 有效 。 (b 若 =1, 则 0=1, 即 DM U 0为弱 D EA 有效 。 证明 若 <1, 由定理 5的 (a 、 (b 可知 0 0 <1, 故由其中的 (c , 0=<1, DM 0非弱 D EA 有效 。 若 =1, 当

11、0<1时 , 的 (c , 可知 0=1; 当 0=1, a ( 1=0 0 =1, =为弱 D EA 有效 。 (D m in s . t . j J Xjj -S -=X 0, S - 0 j JY j j -S +=Y 0, S + 0 j Jj = , j 0, j J由文 1和文 6可知有定义 若 (D 的每一个最优解都有=1, S -=0, S +=0(5则称 DM U 0为 D EA 有效 (C 2R 当 =0, C 2GS 2当 =1 。若 (D 有惟一的满足 (5 的最优解 , 则称 DM U 0为扩 展 D EA 有效 (C 2R 当 =0, C 2GS 2当 =1

12、。定理 7若 X j >0, Y j >0(j J , 且 (D 的最优解为0j (j J , S0-, S 0+, 0(6若 (D 的最优值 >1, 则 (a (D 只有 0=0j 0=1的最优解 , 其中 , =1, S 0-=0, S 0+=0, 0j =0(j I ;(b DM U 0为扩展 D EA 有效 。证明 由定理 5可知 , 当 >1时 (D 不可能有 0<1的最优解 , 即只有 0=1的最优解。 当 0=1时将 (6 式代入 (D 的约束得(1-0 X 0+ j IXj0j +S0-=0因 0 1, X j >0(j J , S0- 0,

13、 故 (1-0 =0, 0j =0(j I , S0-=0, 于是 , 由 Y 0+ j IY j0j =Y 0+S 0+, 得 S 0+=0, 即 (a 成立 。 由定义 , 可知 (b 成立 。3带参数的 D EA 模型及阈值给定 >0, 带参数的 D EA 模型 (D m in s . t . j J Xjj ÷(X 0 j JY j j Y 0 j Jj = , j 0, j J对应的扩展 D EA 模型 (F 101第 9期 吴文江 :扩展的 D EA 模型的最优值的研究m in s . t . j I Xjj ÷(X 0 j IY j j Y 0 j Ij

14、 = , j 0, j I若 =0>0使得 (D 的最优值 0=1, 称 0为 DM U 0的 阈值 。定理 8设 X j >0, Y j >0(j J , (F 的最优值 , 则 (a 当 >时 , (D 的最优值 = ; (b DM U 0的阈值 0=。 证明 (F 中令 =外 , 其约束与 (F F , 故 (F 的最优值为 时 1, 由定理 6, (D 的最 优值 0= , 因此当 =0=时 , 0=1, 即得 (b 。 4用扩展 D EA 模型判断DM U 0的 D EA 有效性由定理 6与定理 7即得定理 9若 X j >0, Y j >0(j

15、J (由定理 1可知 (D 必存在最优解 且 (F 的最优解存在 , 其最优值为 , 则 (a 当 <1时 DM U 0非弱 D EA 有效 ; (b 当 =1时 DM U 0为弱 D EA 有效 ; (c 当 >1时 DM U 0为扩展 D EA 有效 。 对 C 2R 模型 , 由定理 3可知 (F 0 的最优解存在 , 故可 如定理 9所述来判断 DM U 0的 D EA 有效性 (C 2R 。对 C 2GS 2模型 , 由定理 2可知当满足条件 Y 0 T 1y 时(F 1 存在最优解 , 此时可如定理 9所述来判断 DM U 0的D EA 有效性 (C 2GS 2。但如何

16、判断这条件成立 ? 这条件不成立时 DM U 0的 D EA 有效性如何 ? 为此考虑模型 (H m ax h s . t . j I Y j jhY 0 j Ij =1, j 0, j I 定理 10若 Y j >0(j J 则 (H 的最优解存在且最优 值为非负 。证明 (H 存在 h =0、 j 1=1(j 1 j 0 、 j =0(j j 1, j I 的可行解 。 (故最优值若存在必非负 。(H 的对偶问题 (Q m in s . t . -TY j + 0, j I TY j =1 0设 e T Y 0=a , 因 Y 0>0, 则 a >0, (Q 存在 =e

17、a , 且=(1 a m ax j I(e TY j 的可行解 。由线性规划理论可知 (H 与 (Q 都存在最优解 , 最优值相等且非负 。定理 11若 (H 的最优值为 h 0, 则 Y 0 T 1y 的充要条 件为 h 0 1。证明 若 Y 0 T 1y , 则 (H 有 h =1的可行解 , 故 (H 的 最优值 h 0 1。反之 , 若 h 0 1且最优解中 j =0j (j I , 则 0j 0(j I , j I0j=1, 且 j Y j jh 0Y 0, 即 Y 0 T 1y .(H 0Y 0|T 1y 的充要条件 <2与定理 11即得定理 12若 X j >0, Y

18、 j >0(j J 且为 h 0 1, 则扩展C 2GS 2模型 (F 1 存在最优解且最优值为正 , 可如定理 9所述来判断 DM U 0的 D EA 有效性 (C 2GS 2 。定理 13若 X j >0, Y j >0(j J 且为 h 0<1, 则 DM U 0为扩展 D EA 有效 (C 2GS 2 。证明 当 h 0<1时即 Y 0|T 1y , 则 (D 1 不可能有 0<1的最优解 (1 , 否则 , 由定理 5(c 可知 (F 1 存在最优解 , 它 满足 (F 1 的约束 , 与 Y 0|T 1y 矛盾 。 由定理 5(a , 0 1,

19、因 而 (D 1 只有 0=1的最优解 , 与定理 7同理可证 DM U 0为 扩展 D EA 有效 (C 2GS 2 。5算例有四个决策单元 , 其输入 x 1、 x 2与输出 y 的数据见表1。表 1j 1234x 1j 3134x 2j 1332y j1121试判断 DM U 3的 D EA 有效性 (C 2GS 2 , 并求其阀值 。由 于 (H 的最优值 h 0=1 2<1, 故 DM U 3为 扩 展D EA 有效 (C 2GS 2, 任给 >0, 由定理 13可知 (X 3, Y 3对应的 DM U 也是扩展 D EA 有效 (C 2GS 2 , 即 (D 1 的最优

20、 值都是 1, 任 >0都是 DM U 3的阈值 。6结束语本文讨论了文 15中遗留的问题 , 在指标只取正 值的情况下论证了 :(1 扩展的 C 2R 模型的最优值总存在 ;(2 可根据模型 (H 的最优值是否小于 1来判断扩展的 C 2GS 2模型的最优值是否不存在 ;(3 存在时其值就等于 DM U 0的阈值 ; 若其值不大于201系统工程 2004年1, 则与 D EA 模型的最优值相等 ; 若其值大于 1, 则 DM U 0为扩展 D EA 有效 ;(4 若模型 (H 的最优值小于 1, 则 DM U 0为扩展D EA 有效 (C 2GS 2, 任给 >0都是 DM U

21、0的阀值 。 参考文献 :1盛照瀚 , 朱乔 , 吴广谋 . D EA 理论 、 方法与应用 M . 北京 :科学出版社 , 1996. 2张福翔 . 判断决策单元 D EA 有效性的一种新方法 J . 系统工程 , 2001, 9(5 :2327.3郝海 , 顾培亮 , 卢奇 . 扩展的数据包络分析 C 2GS 2模型 EC 2GS 2J . 系统工程学报 , (1 :17. 4郝海 , 杨印生 , 李树根 . 带有参数的数据包络分析 C 2R 模型 . (9 :4652.5郝海 , 顾培亮 , 尹春华 . 带有参数的数据包络分析 C 22PC 22J . , 2003, 25(8 :949953, 989.6彭煜 , 贾志永 . D EA . , 22(1 :104107.A Study on Opti m a l Va lue of a Exten sive D EA M odelW U W en 2jiang(Beijing Po lytechn ic U n iversity (Guanzhuang , Beijing 100024, Ch ina Abstract :In th is paper the ex istence of the op ti m al s