考研数学复习高等数学第五章多元函数微分学

1、第五章 多元函数微分学2013年考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值 多元函数的最大值、最小值及其简单应用2013年考试要求1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分

2、条件，了解全微分形式的不变性。4. 理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。7. 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8. 了解二元函数的二阶泰勒公式。9. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。一、“三基”内容 1.1 . 二元函数的几何意义 或=0；定义域是平面上的一个区域，图形是一张曲面

3、。 1.2. 二重极限与累次极限1）二重极限 当 时，恒有，其中以任何方向和任何方式进行，而一元函数的极限只有左右两个方向和一条直线路径；倘若沿两条不同的特殊路径，189 / 66不相等，则可判定极限不存在。【例1】求和解： 使用一元化技巧【例2】 解：无法一元化，利用技巧。 可见，极限不存在。【例3】求解：无法一元化，使用夹逼法。 二重极限的脱帽法：其中：。评 注 求二元函数的二重极限技巧是：先把值强行代入，如能直接得到值，则说明在点连续；否者，需要先定型后定法再求极限，具体技巧有3个：一元化、夹逼法和直线探针。2）二次极限（累次极限）为累次极限，如果连续，则。【例4】解：二次极限 ，故二次

4、极限不存在。 而二重极限 由于 可见，二重极限的存并不能保证二 次极限的存在，反之亦然。1.3. 二元函数的连续性的三种等价定义全增量定义法： ， 如 ，则 在点连续，也就是说，求连续函数极限时，可以将的自变量直接代入计算极限。二重极限定义法： 则 在点连续，它与一元函数的连续性定义完全一致，可见，间断点的类型也一致。具体做法是：把值同时前行代入，如果能直接得出某一数，则连续，否则不连续。 无穷小定义法：从上述定义可得等价形式：。评 注 由于可微的定义是而，故它与可微定义是有本质区别的，上述两个数学关系在判断二元函数的连续与可微性方面十分有用。 重要性质：一切多元初等函数与一元函数一样，在其定

5、义区间内是连续的。连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数都是连续函数。多元初等函数的各阶偏导数仍然是初等函数，故在在其定义区间内也是连续的。1.4. 偏导、全导、全微分 偏导：1） 定义：在内有定义且， 对于分段函数，在分界点时要利用该定义求，在边界点时要利用该定义求左右偏导。2）和在区域都连续，则，如果，则和在区域D至少有一个不连续。【例5】（混合偏导次序不能交换的例子） 解：读者可以对求混合偏导，结果是在点是不连续的。3）本质上是一个求一元函数极值的过程，所以与二重极限无关。4）如果只求在某点的偏导，不必先求出该函数在任一点的偏导，而是先代入或后，再对或求偏导。一般地，存在下列关

6、系：如 全 导（只有多空间曲线才存在全导）而 归结为一元函数求导，符合下列叠加原理：， 称为全导。陈氏第8技 关于显隐式求偏导和等效表达式的结论。 如果（表达式，表达式，表达式），如 ，则用符号1， 2，3 分别代表对第1、第2、第3项求偏导，如。注意而。 一般情况下。因为为隐式求偏导，表示把复合函数中的当成不变量，对的偏导，而为显式求偏导表示把复合函数中的和都当成不变量，对的偏导。例如： 只有在明显给出函数形式的情况下，才有 ，希望读者体会本章相关例题。 等效表达式： 只在的形式二元函数中成立。如函数 虽然也是的二元函数，但由于它是的形式三元函数，故 等效表达式不成立。全微分 1）定义：如果

7、成立，则称在点可微，称为在点的全微分，记作。评 注 1可微的充要条件是：； 2可微的充分条件是：； 3一般情形下讨论点的性质。2）形式不变性比如：1.5、二元函数的四性关系（极限存在、连续、偏导及可微的关系）陈氏第9技 二元函数的四性关系与原创反例。评 注 偏导、二次极限是一维问题，而二重极限、连续、可微是二维问题，所以两组问题 之间没有任何关系，除非二维问题中含有一维因子，如可微。方向导数则是单方向。 为便于比较，再列举一元函数的四性关系 【例6】设，求，并讨论点的可微性与连续性。解：于是：当时，当时，当时， 当时，当时，故：可见，可微并不能保证偏导连续。【例7】分析的偏导与可微。 解：可见

8、在偏导存在；而 上式右边并不是时的高阶无穷小，事实上，可见在点不可微。【例8】分析函数的连续和可微的关系。 解： 连续性要求 可微性要求 如果设 则 满足函数连续性要求，即在点连续。 而， 不满足函数可微性要求，即在点不可微。所以满足连续不一定满足可微。显然，满足可微一定满足连续。【例9】讨论函数在点的可微性。解： 故在点的不可微。陈氏第10技 快速判断可微方略：二元函数的整数阶次大于1才可能可微，否则一定不可微。 例如： 1.6. 偏导的求法陈氏第11技 复合函数的求偏导切入点：确定独立变量的个数，再根据题意选定自变量和因变量；利用“剥皮法”画出关系图求之。 隐函数的求偏导一般方法：求一阶偏

9、导采用全微分法，求二阶偏导则需要直接从一阶偏导的结果求，而不可以采用全微分法，否则反而繁杂。复合函数 5个未知数三个方程，最后归结为一个二元函数 ； 同理可得。【例10】设，由方程确定，求和。解：求采用全微分法，3个未知数，1个方程，存在2个独立自变量，按题意选 隐函数利用全微分 型型视为不变量，为独立变量 如果；型只有一个独立变量，确定隐函数，而可以如下求出：型独立变量为自变量减去方程的个数等于2个，如选为为偏导独立自变量 ，确定隐函数，而可以如下求出：同理：全微分形式的不变性 【例11】 ，求解：方法一：方法二：可见法二要简单些，这正是利用全微分形式的不变性的优点。1.7. 多元函数微分学

10、在几何上的应用空间曲线 则 代表切线方向向量易得切线和平面方程如下： 切线方程：平面方程：空间曲线 ，则为切线方向向量切线方程： 法平面方程：空间曲面 ，则表示切平面法线方向向量，易得切平面和法线方程 切平面方程：法线方程：如果曲面为形式，则评 注 以后我们假定曲面法向量的方向是向上的为正，即它的正向与轴正向的夹角为锐角。则法向量的方向余弦为。上述形式就是我们以后研究多元函数积分学中去曲面积分的使用规定，切记！评 注 特别注意，只有在可微得情况下，空间曲线才有切平面。1.8方向导数与梯度方向导数定义：特别注意：为的参数方程，是以射线趋于的，即单向，而偏导是双向的。方向导数定理：如果在点可微，那

11、么函数沿任一射线方向 的方向导数存在，且有： 。梯度：模等于方向导数的最大值，方向为方向导数在该点取最大值的方向。当时，具有最大值，我们定义 【例12】在点的某邻域内有定义，且，试讨论在点的连续性、可微性和方向导数。解：根据脱帽法： 又： 又因为不一定可微，所以，求点的方向导数不能利用公式： ，而只能利用定义求之如下： 可见在点任何方向的方向导数都存在，并且： 1.9 二元函数的泰勒公式 设在点的某一邻域内连续且有直到阶连续偏导，为该邻域内的任一点，则有 二元函数的泰勒公式的黑塞矩阵形式： 定义黑塞矩阵H： 上式取得二元拉格朗日中值公式1.10 . 多元函数的极值 驻点 驻点 中含有极值点，但

12、极值点未必是驻点，如在点取得极小值，但都不存在。无条件极值存在的充分条件研究： 由黑塞矩阵的正定性决定极值的充分条件如下：正定负定不定时 形象记忆法： 无根取极值，负负得正。条件极值：对自变量有附加条件（一般以方程的形式给出）的极值。利用拉格朗日乘数法求解一般根据实际问题来判断求得的点是否为极值点以及是极大值还是极小值。最值求法：比较区域内驻点的极值和边界曲线上的最大值与最小值，其中最大的就是 最大值，最小的就是最小值。 二、需要掌握的题型【例13】 已知为某一函数的全微分，则值为多少？解： 【例14】 求 解： 【例15】设 求 解：4个未知数，三个方程，一个独立变量，本题取。 两边对求偏导

13、故 【例16】已知函数的二阶偏导连续，试证明： 证明：用罗毕达法则 ：【例17】 在处的切线和法平面方程 解：为切线方向向量故切线方程 法平面 【例18】设在点可微， 求。解：只要 ，下面的解法就很好理解和掌握。 【例19】设二阶偏导连续，求和。解： 【例20】设，将作为方程新变量，变换方程 解： （经常使用这个方法把直角坐标的偏导变换到极坐标中，是考研的典型题型）【例21】设由参数方程确定，其中是初值问题 的解，求。解： 【例22】设，试将变换到极坐标中。解：（请留意这种雅可比矩阵解法技巧） 则有： 将的两边同时对求偏导，即 【例23】设有连续的偏导数，证明：存在可微函数使得的充要条件是：。

14、解：（1）必要性 （注意为形式一元函数） （2）充分性 令 【例24】若一阶连续可导函数满足关系，称为齐次函数， 证明：为次齐次函数的充要条件是：。 证明：（1）必要性 （2）充分性 ， 又由于 评 注 注意在中，偏导符号中的表示对中的第一个位置求导，与中的变量无关，这一点是绝大部分考生容易出错的地方！【例25】，求 。解：注意： 【例26】 求过直线且与曲面相切之切平面方程。 解：过直线L的平面束方程为法向向量为 而曲面 的法向向量由决定设该曲面与所求平面相切点为，则 代入（3）故所求切平面方程为 或 【例27】求常数的值，使函数在点处沿轴正向的方向导数有最大值64。解: 【例28】求曲面方

15、程确定的的极值。解：即为驻点 将 代入原式 取极小值； 取极大值。【例29】求的极值。解： 驻点： 二阶偏导：1在点，但由于在直线上，；在直线上，。所以，不是极值点。可见，驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点，只有偏导存在的函数的极值点才一定是驻点。2在点，3在点，故存在极小值，没有极大值。【例30】 求函数 在条件下的极值解： 先计算在条件的极值即可使用拉氏乘数法则或当=1时不适题意，故1代入方程组可得 及又 故分别为的极小值点的极小值点为：【例31】 求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭域D上的最大值与最小值。解：在D内只有驻点(2，1)求在D的边界上的最值 在边界和上 在边界 上，代入

16、 比较后可知 为Max 为Min【例32】 在平面 与三坐标面所围成的四面体内，作一个以该平面为顶面，在坐标面上的投影为长方形的六面体体积最大者（其中）。解： 直线AB： 令 依题得应为最大体积。【例33】估计积分的取值范围。解：（1）讨论无条件极值. 显然唯一的最大值为 ，无最小值，且 （2）讨论条件极值 驻点有三类：第一类：第二类：第三类：边界上的最值 综合上述结果，可得 评 注 由于积分是个区域， 故需要讨论被积函数的无条件极值和有条件极值；如果题中所给积分曲线或曲面积分，则只需讨论有条件极值。【例34】求证：， 其中：。证明：等效于求函数的最大值与最小值。先求开区域 上的极值，再求边界

17、上的极值，一起比较得出最大值与最小值。【例35】求坐标原点到曲线的最短距离。解：令曲线上的点到坐标原点的距离为。 而两个驻点到原点的距离都为1，由实际问题一定有最短距离可知，最短距离为1。又由于为双曲线，所以坐标原点到曲线的最大距离不存在。 第五章 多元函数微分学模拟题一、填空题1、设函数由方程确定，则 2、设，则在点处的值为 3、设具有二阶连续导数，则 4、由方程所确定的函数在点处的全微分 5、设函数由关系式确定，其中函数可微，且，则 6、设二元函数，则 二、选择题1、设函数，其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有 （A） （B） （C） （D） 2、二元函数在点处两个偏导数存在是在该点

18、连续的 （A）充分条件而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件 3、已知为某函数的全微分，则等于 （A） （B）0 （C）1 （D）2 4、二元函数=在点处 （A）连续、偏导数存在 （B）连续、偏导数不存在 （C）不连续、偏导数存在 （D）连续、偏导数不存在 5、设可微函数在点取得极小值，则下列结论正确的是（A）在处的导数等于零 （B）在处的导数大于零 （C）在处的导数小于零 （D）在处的导数不存在 6、设在的某个邻域内有定义，且，则下列结论正确的是 三、解答题 1、设，其中具有连续二阶偏导数，求，2、设，其中具有二阶连续偏导数，求3、设，其中具有二阶连续偏导数，其中具有二阶连续导数，求4、设函数z=在点（1，1）处可微，且，求5、设是由方程和所确定的函数，其中和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求6、设，其中，都具有一阶