耦合离散mKdV方程的达布变换及其精确解

1、耦合离散mKdV方程的达布变换及其精确解阮传同，魏含玉（周口师范学院 数学系，河南 周口 466000）摘要：借助谱问题的规范变换，给出与一个离散的矩阵谱问题相联系的耦合离散mKdV方程的达布变换作为应用，从所导出的达布变换得到了这个方程的精确解并作出图形关键词：离散谱问题；耦合离散mKdV方程；达布变换；精确解 孤子方程是非线性科学中的一个重大研究课题，自20世纪60年代以来,人们发现了多种求孤子方程解的方法，其中有反散射方法、贝克隆变换法、双线性直接方法、代数几何法、非线性化方法、达布变换法等等1这些方法各有特点，彼此之间也有其内在的联系其中，达布变换是一种自然而美妙的方法2，它能从方程的

2、一个解出发得到新的更复杂的精确解，是一种简单而有效的求解方法考虑离散谱问题， （1）其中、是两个位势函数，是常谱参数特征函数相应的时间部分为， （2）根据离散的零曲率方程, 由(1)和(2)可得到耦合离散mKdV方程3 （3）1、达布变换为了构造耦合离散mKdV方程(3)的达布变换，首先引入半离散谱问题(1)和(2)的规范变换4 （4）其中由下式确定 （5） 1 / 12（6）于是便满足与谱问题(1)和(2)形式上完全相同的Lax对，即 （7） （8）为了使相应的谱问题转化为相同形式的谱问题，假定为如下形式 （9）其中 ，是关于n和t的待定函数，且将（1）和（9）代入（5），比较的系数可得 (

3、10)设谱问题(1)和(2)有基本解组为，记为 则为（1）的一个基解矩阵由（4）得矩阵（9）表明是关于的阶多项式且 故当时，知是一个退化矩阵，从而的列向量线性相关，即存在常数使得 （11）将（9）代入（11）得 （12）其中 （13）适当选取，使（12）中分别以，为未知的个方程组的系数行列式的值均不为零根据克莱姆法则，这些函数可唯一确定定理1 由（5）所确定的和（1）中矩阵具有相同的形式，即变换（10）将原位势函数，映射为新位势函数，证明：因，其中是矩阵的伴随矩阵假设 （14） 由和的表达式可知，是的阶多项式且是的根进而（14）可改写为 (15)其中由（15）知 （16）比较（16）式两端，的

4、系数可得，根据（10）式，有，则，知定理成立定理2 由（6）所确定的和（2）中矩阵具有相同的形式，即变换（10）将原位势函数，映射为新位势函数，证明：令 （17） 由和的表达式可知，是的阶多项式且是的根进而（17）可改写为 (18)其中由（18）知 （19）比较（19）式两端，的系数可得，比较（5）式的系数，有（20）根据（10）和（20）式，有，则，知定理成立定理3（4）和（10）就是耦合离散mKdV方程(3)的一个达布变换，方程的一个解在其作用下可映射为方程的一个新解，其中， ， ，由线性方程组（12）唯一确定2、方程的精确解通过前面构造的达布变换，我们来讨论耦合离散mKdV方程(3)的精

5、确解 取（3）的一个平凡解作为种子解，将其代入其谱问题（1）和（2）中，可以得出它的一个基本解组， （21）其中，当时，由（13）可得 （22）将(21)、(22)代入线性系统（12），根据克莱姆法则，可得 ，其中从而，利用达布变换（10）得到方程（3）的精确解：特别地，当时，我们可以得到此时从而，适当选择参数可得到方程（3）精确解的单孤子图形： 图1 ， 图2 ， ， ， 周口师范学院青年科研基金资助项目 编号：zknuqn200911作者简介：阮传同（1979），男，河南淮阳人，助教，硕士研究生，主要从事概率统计教学与研究Darboux transformation of a discre

6、te coupled mKdV equation and Its explicit solutionsRUAN Chuan-tong, WEI Han-yu(Department of Mathematics, Zhoukou Teachers College, Zhoukou Henan 466000)Abstract: With the help of a gauge transformation of the spectral problem, we give the Darboux transformation of a discrete coupled mKdV equation,

7、which related to the discrete matrix spectral problem As an application, we obtain the explicit solutions of the discrete coupled mKdV equation by the formerly constructed Darboux transformation and their graphKey words: discrete spectral problem; discrete coupled mKdV equation; Darboux transformation;explicit solution参考文献：1GengX G,Tam H WDarboux transformations of classical boussinesq system and its muti-soliton solutionsJJMathPhys,1999,40:3943 2刘萍Broer-Kaup系统的达布变换及其孤子解 J数学物理学报，2006，26A（7）：9