第三章非稳态导热

1、1第三章第三章 非稳态导热非稳态导热 非稳态导热非稳态导热: 物体的温度场随时间而变化物体的温度场随时间而变化的导热过程。的导热过程。非稳态导热根据温度场随时非稳态导热根据温度场随时间变化规律的特点分类：间变化规律的特点分类： 1. 1.周期性非稳态导热：周期性非稳态导热：物体的温度随物体的温度随时间而作周期性的变化（时间而作周期性的变化（夏季或冬季房屋夏季或冬季房屋外温度以外温度以24h24h的周期变化的周期变化） 2.2.非周期性非稳态导热非周期性非稳态导热( (瞬态导热瞬态导热) )：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值的值 2非稳态导热的基本概非

2、稳态导热的基本概念念学习非稳态导热的目的：学习非稳态导热的目的：(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律(2) 非稳态导热的导热微分方程式：非稳态导热的导热微分方程式：(3) 求解方法：求解方法：) ; ),(f(zyxft)()()(ztzytyxtxtc分析解法：分析解法： 分离变量法分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换、积分变换、拉普拉斯变换近似分析法：近似分析法：集总参数法集总参数法、积分法、积分法数值解法：数值解法： 有限差分法有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、蒙特卡洛法、有限元法3 一、典型非稳态导热过程的分析一、典型非稳态导热过程

3、的分析 1. 1. 大平壁一侧突然受热升温时的导热大平壁一侧突然受热升温时的导热 1 2 图中直线图中直线AD: :初始时刻初始时刻, ,大平壁内部各处大平壁内部各处温度均匀为温度均匀为t0（1 1） 温度分布温度分布非稳态导热的基本概非稳态导热的基本概念念4 曲线曲线HBD: :突然使突然使大平壁大平壁左侧表面温度左侧表面温度升高到升高到t t1 1并保持不变，右侧仍与温度为并保持不变，右侧仍与温度为t t0 0的的空气接触空气接触紧挨高温表面那部分的温度很快紧挨高温表面那部分的温度很快上 升 ， 其 余 部 分 仍 保 持 初 始 温 度上 升 ， 其 余 部 分 仍 保 持 初 始 温

4、度 t t0 0。 随着时间的推移，平壁从左到右各部分随着时间的推移，平壁从左到右各部分的温度依次升高的温度依次升高从某一时刻开始平壁右侧从某一时刻开始平壁右侧表面温度逐渐升高，图中曲线表面温度逐渐升高，图中曲线HCD、HE、H F 示 意 性 地 表 示 了 这 种 变 化 过 程 。示 意 性 地 表 示 了 这 种 变 化 过 程 。 直线直线HG: :经过相当长的时间经过相当长的时间后达到新后达到新的稳态，温度分布保持恒定。的稳态，温度分布保持恒定。非稳态导热的基本概非稳态导热的基本概念念5（2 2） 热量变化热量变化1板左侧导入的热流量板左侧导入的热流量2板右侧导出的热流量板右侧导出

5、的热流量 在平壁右侧表面在平壁右侧表面温度开始升高以前，温度开始升高以前，平壁右侧与周围环境平壁右侧与周围环境并无换热并无换热从平壁左从平壁左侧得到的热量侧得到的热量1完全完全储蓄于平壁之中，用储蓄于平壁之中，用以提高自身的温度。以提高自身的温度。非稳态导热的基本概非稳态导热的基本概念念6 从某一时刻开始平壁右侧才向外散热。从某一时刻开始平壁右侧才向外散热。 随着平壁内的温度逐渐升高随着平壁内的温度逐渐升高左侧表面吸热量左侧表面吸热量1，右侧表面散热量，右侧表面散热量2 2 当当1=2时，进入新的稳态导热阶段。时，进入新的稳态导热阶段。 两条曲线间的面积（阴影部分）则为平两条曲线间的面积（阴影

6、部分）则为平壁在瞬态导热过程中所获得的热量，以热力学壁在瞬态导热过程中所获得的热量，以热力学能的形式储存于平壁之中。能的形式储存于平壁之中。非稳态导热的基本概非稳态导热的基本概念念7 二二非稳态导热过程的特点非稳态导热过程的特点 1. 1. 物体内的温度变化是逐层物体内的温度变化是逐层“传播传播”的，各点的温度随时间不断地变化。的，各点的温度随时间不断地变化。 2. 2. 同一时刻，与热流方向相垂直的各同一时刻，与热流方向相垂直的各截面上的热流量处处不等；同一截面上，不截面上的热流量处处不等；同一截面上，不同时刻的热流量也不相等，物体内有能量的同时刻的热流量也不相等，物体内有能量的积聚或散失。

7、积聚或散失。 非稳态导热的基本概非稳态导热的基本概念念8 非稳态导热过程可分为三个阶段非稳态导热过程可分为三个阶段: : 1.1.初始阶段初始阶段: 温度分布为初始温度区与部温度分布为初始温度区与部分非稳态导热规律区的混合分布分非稳态导热规律区的混合分布 2.2.正规状况阶段正规状况阶段: :温度分布不受温度分布不受 to 的影的影响，主要取决于边界条件及物性响，主要取决于边界条件及物性,且具有一定且具有一定规律规律 3.3.新稳态阶段新稳态阶段: 温度分布一定温度分布一定（1=2 2或或=0 =0 ）非稳态导热的基本概非稳态导热的基本概念念9无限大平壁的瞬态导无限大平壁的瞬态导热热10此半块

8、平板的数学描写：此半块平板的数学描写：导热微分方程导热微分方程初始条件初始条件边界条件边界条件xtat22)0,x0(0tt00 x0 xtx)tt (hxt( (对称性对称性) )11引入变量引入变量过余温度过余温度令令t), x( t), x(xhx0 x0 x00,x0 xa022上式化为：上式化为：12用分离变量法可得其分析解为：用分离变量法可得其分析解为：、若令若令则上式可改写为：则上式可改写为：eannnnnnnxx210)cos()sin()cos()sin(2),(nn*eannnnnnnxx2210)cos()sin()cos()sin(2),(13 n n为下面超越方程的根

9、为下面超越方程的根为为毕渥准则数，毕渥准则数，用符号用符号 Bi 表示表示书上书上P P5959表表3-13-1给出了部分给出了部分B Bi i数下的数下的 1 1 值值hctgnnh14因此因此 是是F0, Bi 和和 函数，即函数，即0),x(x)x,B,F(f),x(i00eannnnnnnxx2210)cos()sin()cos()sin(2),(2aFo 令：令：152. 非稳态导热的正规状况非稳态导热的正规状况 对无限大平板，对无限大平板， 当当 取级数的首项，板中心取级数的首项，板中心温度，温度， 误差小于误差小于1%1%2 . 0F0),()cos(cossinsin2),(1

10、11110021xBiFofxxeF三个变量，因此，需要分开来三个变量，因此，需要分开来画画 先画先画),(0BiFofmeFm021111100cossinsin2)(),0(16无限大平壁无量纲中心温度无限大平壁无量纲中心温度 FoBifm， 0 17(2) 再绘制其线算图再绘制其线算图),()cos()(),(1xBifxxm(3) 于是，平板中任一点的温度为于是，平板中任一点的温度为00mm18无限大平壁任意位置无量纲温度无限大平壁任意位置无量纲温度 xBifm， 19 上述线算图的适用范围上述线算图的适用范围: : 适用于适用于Fo0.2的下述情况。的下述情况。 1.1.厚为厚为22

11、的大平壁处于恒温介质第三的大平壁处于恒温介质第三类边界条件下的瞬态导热类边界条件下的瞬态导热，不论物体是被加，不论物体是被加热还是冷却。热还是冷却。 2.2.对于厚为对于厚为的大平壁一侧绝热、另一的大平壁一侧绝热、另一侧为对流换热边界条件下的加热或冷却问题侧为对流换热边界条件下的加热或冷却问题也适用也适用，这是由于这两种问题的数学描述完，这是由于这两种问题的数学描述完全一致。全一致。 20 3.3.还可应用于第一类边界条件的情况还可应用于第一类边界条件的情况，因为当因为当h时时Bi 意味着在过程开始的意味着在过程开始的瞬间物体表面就达到了周围介质温度瞬间物体表面就达到了周围介质温度恒温恒温介质

12、第三类边界条件转化为恒壁温第一类边介质第三类边界条件转化为恒壁温第一类边界条件界条件图中图中 的曲线就代表恒壁温的曲线就代表恒壁温第一类边界条件的情况。第一类边界条件的情况。 01Bi21 RrFoBif，0 2RaFohRBi 对于对于温度只沿半径方向变化的圆柱体温度只沿半径方向变化的圆柱体（如无（如无 限长圆柱体或两端面绝热的圆柱体）和限长圆柱体或两端面绝热的圆柱体）和球体球体在第三在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，同理分别在类边界条件下的一维非稳态导热问题，同理分别在圆柱坐标系和球坐标系中进行与上述类似的分析，圆柱坐标系和球坐标系中进行与上述类似的分析，可得类似的结果：可得类似的结

13、果：RR圆柱体或球体的半径圆柱体或球体的半径rr圆柱体或球体内的任意半径圆柱体或球体内的任意半径 类似地可绘制出长圆柱体和球体的线算图类似地可绘制出长圆柱体和球体的线算图 22 从非稳态导热过程开始时刻到导热体与周围介从非稳态导热过程开始时刻到导热体与周围介质达到热平衡为止，整个过程中所交换的热量为质达到热平衡为止，整个过程中所交换的热量为）（fttcVQ 00 当已知任一当已知任一时刻时刻导热体的温度分布时，导导热体的温度分布时，导热体从热体从0时间间隔内与周围流体交换的热量时间间隔内与周围流体交换的热量Q与与Q0的比值为：的比值为： ），（FoBifQQ00123无限大平壁的无限大平壁的

14、线算图线算图 0QQ24 二、二、BiBi数对导热体温度分布的影响数对导热体温度分布的影响(1) 问题的分析问题的分析 如图所示，存在两个换热环节：如图所示，存在两个换热环节：tfhtfhxt 0 tfhxt 0a 流体与物体表面的对流换热环节流体与物体表面的对流换热环节 b 物体内部的导热物体内部的导热hrh1rhhrrBih1(2) 毕渥数的定义：毕渥数的定义：25hhrrBih1无量纲数无量纲数当当 时，时， ，因此，可以忽略对流换热热阻，因此，可以忽略对流换热热阻当当 时，时， ，因此，可以忽略导热热阻，因此，可以忽略导热热阻Bihrr 0Bihrr Bi0？(3) Bi数对温度分布的

15、影响数对温度分布的影响26三、三、 集总参数法的简化分析集总参数法的简化分析1 定义：定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的 分析方法。此时，分析方法。此时， ，温度分布只与时间有，温度分布只与时间有 关，即关，即 ，与空间位置无关，因此，也称为，与空间位置无关，因此，也称为 零维零维问题。问题。0Bi)(ft 2 温度分布温度分布如图所示，任意形状的物体，如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。参数均为已知。00tt 时，t将其突然置于温度恒为将其突然置于温度恒为 的流的流体中。体中。27当物体被冷却时（当物体被冷却时（tt ）,由能量

16、守恒可知由能量守恒可知ddtVctthA-)(dVchAd方程式改写为：方程式改写为：过余温度令： tt，则有，则有00)0(-ttddVchA2800dVchAdVchA ln0dVchAd积分积分VchAetttt00其中的指数：其中的指数：vvFoBiAVaAVhcVAAhVcVhA222)()(292)()(AVaFoAVhBivvvFo是是傅立叶数傅立叶数vvFoBiVchAee0物体中的温度物体中的温度呈指数分布呈指数分布方程中指数的量纲：方程中指数的量纲：2233Wm1m KkgJkgm KmhAwVcJs 30 【例例3-1】直径直径50mm，高，高60mm的铜的铜柱，开始时具

17、有均匀温度柱，开始时具有均匀温度150。突然将。突然将其浸入温度保持其浸入温度保持50的流体中，流体与的流体中，流体与铜柱表面间的换热系数铜柱表面间的换热系数 h=20 W/(m2K)，试计算铜柱温度降到试计算铜柱温度降到100，需要多长时，需要多长时间？铜柱的物性为间？铜柱的物性为=386 W/(mK)，=8954kg/m3，c=383.1 J/(kgK)。31 解：解： 先求出先求出BiV准则，判别是否可采用准则，判别是否可采用集总参数法。集总参数法。mDlDlDAV0088235. 006. 005. 005. 04206. 005. 044242222 320088235. 03862

18、0)/(AVhBiv05. 0000457. 00lnhAcVsn104950100501501200088235. 01 .3838954故可用集总参数法。故可用集总参数法。 33 【例例3-2】一根直径为一根直径为1m，壁厚，壁厚40mm的钢管的钢管,初温为初温为- -20，后将温度为，后将温度为60的的热油泵入管中，油与管壁的换热系数为热油泵入管中，油与管壁的换热系数为500 W/(m2K),管子外表面可近似认为是绝管子外表面可近似认为是绝热的。热的。管壁的物性参数管壁的物性参数=7823kg/m3, c=434J/(kgK),=63.9 W/(mK)。34 试求开始流过油试求开始流过油

19、8min时时 (1)所对应的所对应的Bi数和数和Fo数数 。 (2) 管子外表面的温度。管子外表面的温度。 (3) 管子内表面的温度。管子内表面的温度。 (4) 热油已传给管壁的热量。热油已传给管壁的热量。35绝热面绝热面=40mm x h=500 W/(m2K)tf=60 解解: 如图，由于管壁如图，由于管壁厚度相对于管径小得多，厚度相对于管径小得多，故可近似看作厚为故可近似看作厚为=40mm的大平壁。管的大平壁。管子外表面绝热，相当于子外表面绝热，相当于平壁中心表面，管子内平壁中心表面，管子内表面对流换热相当于平表面对流换热相当于平壁壁x/=1的位置。的位置。36313.09.6304.0

20、500hBi510882. 143478239 .63ca （1） 646. 504. 060810882. 1252aFom2 /s37 （2） 由于由于Bi0.1, 故不能采用集总参数故不能采用集总参数法，需用线算图求解。法，需用线算图求解。 管子外表面，管子外表面， 195.31Bi查图查图3-5得得24.00 m管子外表面温度为管子外表面温度为：8 .4060602024. 024. 00 ）（ffmmttt 381x86.0mw（3 3）管子内表面，）管子内表面，查图查图3-53-5得：得： 管子内表面温度为管子内表面温度为：5 .4360608 .4086. 086. 0 ）（fmfww