小升初平面几何常考五大模型

1、一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。五、燕尾定理模型正方形ABCD、正方

2、形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示， 点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则ADEK的面积为/J.4由题知 DC/GP=GC/PK ，即 DC/(DC-4)=(4+PK)/PK ，令 DC=a , PK=c，贝U a=4+c，贝U SDEK=aA2+16+c*(4-c)/2+cA2-ac-a(4+a)/2=aA2/2+cA2/2-ac-2a+2c+16=(c+4)A2/2+cA2/2-c(c+4)-2(c+4)+2c+16=16。1、图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中AA仁AA2=BB1=BB2=CC1 =CC2=DD1=DD2 ，中间小正方形 EFGH的面积是

3、16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形 ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解 连AC和BD两条大正方形的对角线， 它们相交于0,然后将三角形 AOB放 在DPC处（如图18和图19 ）。已知小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形 EFGH的边长是4厘米。又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72+2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是 36平方厘米，那么这个正 方形的边长就是6厘米。由此得出，正方形 OCPD的边长是4+6=10厘米，当然正方形 OC PD的面积就是102，即100平方厘米

4、。而正方形 OCPD的面积恰好是正方形 ABCD的面积 的一半，因此正方形 ABCD的面积是200平方厘米。答：正方形 ABCD的面积是200平方厘米。2、图21是一个圆形钟面，圆周被平均分成了12等份。已知圆形的半径是 6厘米，那么图中阴影的面积是多少平方厘米？分析与解 题中告诉我们：圆周被平均分成了 12等份，因此连接 OE,AE为圆的直径（如图22） o连Ob BEo扇形睡的圖心角为60 心第为12CT因此扇形矗的面枳是扇形睡面积的2倍口U 21由图中不难看出E三角形A0E与三角形EOB是等底同高的三角形！这两个三角形的面密相等的口另外”弓形55和弓形毎也是相等的，t 角形ACB、弓形金

5、的面积之和与三角形EOE.弓形葩的面积之和相2 AOB.弓形CD的面积之和与圆心角为&T的扇形碗的面积相等口 f 积是扇形S9E的面积的2倍因此图中阴影的面积与扇形哉3、为了美化校园，东升小学用鲜花围成了两个圆形花坛。小圆形花坛的面积是3.14平方米，大圆形花坛的半径是小圆形花坛半径的2倍。大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大多少平方米？分析与解我们知道圆的面积与半径的平方成正比。题中告诉我们，大圆的半径是小圆 半径的2倍，那么大圆面积是小圆面积的22倍。大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大3.14 X(22-1 )=3.14 X3=9.42 (平方米)答：大圆形花坛的面积比小圆形花坛

6、的面积大9.42平方米。3、 有两个长方形，甲长方形的长是98769厘米，宽是98765厘米；乙长方形的长是 98 768厘米，宽是98766厘米。这两个长方形的面积哪个大？分析与解 利用长方形面积公式，直接计算出面积的大小，再进行比较，这是可行的， 但是计算太复杂了。可以利用乘法分配律，将算式变形，再去比较两个长方形的面积大小，这就简便多了。甲长方形的面积是：98769 X98765=98768 X98765+98765乙长方形的面积是98768 X98766=98768 X98765+98768比较98768 X98765+98765 与98768 X98765+98768 的大小，一眼便

7、能看出：甲长方 形的面积小，乙长方形的面积大。4、 有50个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、99厘米，将这些正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，得到的小正方体中，至少有一个面是红色的小正方体共有多少个？分析与解棱长为1厘米涂有红漆的小正方体，不用锯，就是棱长1厘米的小正方体，它当然是至少有一个面是红色的小正方体了。将棱长为3厘米的涂有红漆的小正方体，锯成棱长为1厘米的小正方体，共得到 33个，其中没有涂红漆的共（3-2）3个。将棱长为5厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，共得 53个，其中没有涂红漆的共（5-2）3个。将棱长为7厘米的

8、涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，共得 73个，其中没有涂红漆的共（7-2）3个。由以上分析、计算发现，将校长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有13+33- （ 3-2）3+53- （ 5-2）3+73- （ 7-2）3=13+33-13+53-33+73-53=13+33+53+73-13-33-53=73=343（个）按照这样的规律可得，将棱长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、99厘米这50个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有：13+33+53+73+93+

9、973+993-13-33-53-73-93-973=993=970299（个）答：至少有一个面是红色的小正方体共有970299个。5、有棱长为 1、2、3、99、100、101、102厘米的正方体102个，把它们的表面都涂上红漆，晾干后把这102个正方体都分别截成1立方厘米的小正方体，在这些小正方体中，只有2个面有红漆的共有多少个？分析与解 根据题意，首先应该想到只有2个面有红漆的小正方体，都在原来大正方体的棱上。原来棱长是1厘米、2厘米的正方体，将它截成 1立方厘米的小正方体后，得不到只 有2个面有红漆的小正方体。棱长是 3厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，大 正方体的每条棱上

10、都有1个小正方体只有2个面有红漆。每个正方体有12条棱，因此可得到 12个只有2个面有红漆的小正方体，即共有(3-2 )X12个。棱长为4厘米的正方体，将它截成 1立方厘米的小正方体后，得到只有2个面有红漆的小正方体共(4-2 )X12个。依此类推，可得出，将这102个正方体截成1立方厘米小正方体后，共得到只有2个面有红漆的小正方体的个数是：(3-2 ) + (4-2 ) + (5-2 ) + + (102-2 ) X12=1+2+3+100 X12=60600答：只有2个面有红漆的小正方体共有 60600个。6、有一个长方体木块，长 125厘米，宽40厘米，高25厘米。把它锯成若干个体积相等

11、 的小正方体，然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。这个大正体的表面积是多少平方厘米？分析与解一般说来，要求正方体的表面积，一定要知道正方体的棱长。题中已知长方 体的长、宽、高，同正方体的棱长又没有直接联系，这样就给解答带来了困难。我们应该从 整体出发去思考这个问题。按题意，这个长方体木块锯成若干个体积相等的小正方体后，又拼成一个大正方体。这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。已知长方体的长、宽、高， 就可以求出长方体的体积，这就是拼成的大正方体的体积。 进而可以求出正方体的棱长， 从而可以求出正 方体的表面积了。长方体的体积是125 X40 X25=125000 (立方厘米)将125

12、000分解质因数：125000=2 X2 X2 X5 X5 X5 X5 X5 X5=(2 X5 X5)X(2 X5 X5)X(2 X5X5)可见大正方体的棱长是2 X5 X5=50 (厘米)大正方体的表面积是50 X50 X6=15000 (平方厘米)答：这个大正方体的表面积是15000平方厘米。7、如图8-13 , 一个正四面体摆在桌面上，正对你的面ABC是红色，底面BCD是白色，右侧面ACD是蓝色，左侧面 ABD是黄色。先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让 它绕底面右侧棱翻转，第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧的棱翻转，此后依次重复上述操作过程。问：按规则完成第一百次操作

13、后，面对你的面是什么颜色？解答:盘点小升初平面几何常考五大模型（一）等积变换模型性质与应用简介导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块一一等积变换模型。（I痔感等鬲的两个三囲刑而积相竽； 两个云角场高相等，暫积比等于它伯的嚴辽比:两个三角羽廉村塞 面积比等于它們的高乏也IJ l5-»r_上!_- 卩. d R '.如左固盼為=小谄攀 知1一姐平f徵之丽制只变场 如去上阳爲血二备?i反之，加臭以他=%炉对可知直銭肿平行于C7X等积变换模型例题讲

14、解与课后练习题（一）例题讲解与分析?【例1】：如右图，在 ABC中，BE=3AE，CD=2AD .若AADE的面积是1平方厘米，那么三角形 ABC的面积是多少？【解答】连接BD, SABD和SA AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4,SABD和SABC同高面积比等于底边比，三角形 ABC的面积是ABD的3倍，是12.【总结】要找准那两个三角形的高相同。【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于0点，三角形ADO 的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？【解答】SDO=5,S eOC=4 根据结论2，ADO 与ADO

15、C同高所以 面积比等于底的比，即AO/OC=5:4 同理SAAOB/S BOC=AO/OC=5:4, 因为 SAAOB=15 所以 SA3OC=12。【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面 积比，我们在解题过程中借助结论 2 ,先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下。（二）课后练习题讲解与分析宦笄析局用U逐建型D为BC於中島體二用世祖 矍三爾聚血朗一舞；二电弼粧D走二鳶册価 帕為圧弟羽他閱1超则四迺舷ED曲是曲4叔匍献嗨姙屡朋 U -JL'.:点仁 寺非

16、更诳三形平眼溯鹼債甩面檢比麴睜底的三'銷髯药和之地礬于对应住也 歡JV 尊裔的邑擋料哪之吠刊应康之Hj織闻轟SI圈i正痴59祁時遭氐ltd（B魁 炉守HE汛 姮誓強爵IH恢!K涛、隔幣 廉它的觅車算于步少1 ffi?z cB C嘉济解刀连矮込 二奧护W朗闻押"_石护趾m 丰也走矩爭F&GCifflUO荟4X4*312 購律二三曄弼与平得皿辺腸舶氓蕖-（二）鸟头定理（共角定理）模型导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有 很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用 交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块一一鸟头定理

17、（共角 定理）模型。腐牛工倫册中有十卒廉*瞬或丘闻卜这两个三角科叫做典角二彌彫.共角字质帶的西积岀等于对圧角准普用减互补用筒央辿的来叔之比如（3拦心胡c中。上分剧雄褐/c上的点餉曲?（或助4少诗延长践土质在zc上h则呂"甜：並畑"血3C；（片。心E）图團推理过程连接EE,再利用等积变復樸型砰可o （三）蝴蝶定理模型导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛 中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模 型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第三块 蝴蝶定理模型。叶百尸看科迷E啊糅祸 觀鶴臨就檢僦j螂杜耀为刚1提供了祥夬®

18、;酬泌炉沁申问理的一逹伍通过的囲牌.- 才面审跑诙報抑西辿呎逼駅芙系占呜辿彫内曲#形拍联系片凤"澎軌也咛贰靜 到与西称K圧的时帝戟的此例芫系"【fiWH !?阍衙仍112平污匣米拔T方形屈3中，芋兀边卜的三等营昌 求铝魏B 廿的面枕金拥因为热F克.LC边二曲三等分点、i所说ZF:曲:靳谴22窈1"使*根隔徉卑 _蝴蝶定理可以知过d, mF =是MFR = *倚，九丿笛=1、-嘗丿危寧1塩期严r - 左 E仏S =尺38 =d-此正才旳8新积4卄曲灌工司"曲瘙衣鬲極漉第沪斥诫u(5：对T：屯所平方凰札jwrii.炉唆m割如商 四卫勝s两豹濮劲康“三角賂 其

19、申第自形ffiffi积己规 求 三角形TGC的面科9刖：孔-？识林提姗諜玄琲，彳(7曲7=(1 + 2)(*十0=1了蝴蝶定理模型练习题【练习1】：在直角梯形 ABCD中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的面积为 15平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米？J 5 占【解答】：连接AE,根据蝴蝶定理可得 SAEF=S阴=15 ,因为 SABC=15 X12 +2=90,所以 SABF=90 15=75 再次用蝴蝶定理可求 SEFC=15 X15 +75=3所以 SABCD=12 05+15+3=198【练习2】：如图，在一个边长为 6的正方形中，放入一 个边长为2的正方形，保持与原

20、正方形的边平行，现在分别 连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？【解答】：本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决般情况。解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6*1.5/2*4+2*2=22，阴影部分的面积为 6*6-22=14。解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2 :6=1 : 3,根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个 小三角形的面积

21、之比为， 所以每个梯形中的空白三角形占该梯 形面积的9/16，阴影部分的面积占该梯形面积的7/16，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7/16，那么阴影部分的面积为14。>VAJ3r?/Ak 相個模豐i r>fd=i-il i"市d I« lJ /泪塚樓型）丰目似二角砂bi质：L AD _ AE _ DE- AF"步®7b5C ZG: LAJDF:所谓的删弊角形，就是劝状相亂 丸小不同的支角形保典其形状不更屯 不 沖怎样酿变吨伯都相似1，与相饭三馆彫相关的常用的隍质畏走理如下（1计則期羽站二M对应銭段的裝度戍此例，并亦金叱例等于电椚的相

22、似比臨目砂角形曲面轶比爭于它椚相似比的平龙耳【例】已知正方形的面积是 120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析】由巩固可知 BAEG的面积为整个正方形面积的五分之一为：120 +5=24（平方厘米），由此对于阴影部分的面积可以有两种求法方法一：连接FE由图可知BAF、AEF和EFC的面积相等，又因为ABC的面积为120 +4=30（平方厘米），所以BAF、AEF和EFC的面积为：30 +3=10（平方厘米），所以阴影部分的面积为：24-10=14（平方厘米）.方法二：本题用沙漏也可以解答能看见BAF和CDF是沙漏（形象演示）AB:CD=BF:FC=1:2 所以以BF为底的三角形ABF占整个三角形的1/3,为30 X