平面向量知识点总结(精华)

1、必修 4平面向量知识点小结一、向量的基本概念1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别 . 向量常用有向线段来表示 .注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移 .举例 1uuurr1,3) 平移后得到的向已知 A(1,2) ，B (4,2) ，则把向量 AB按向量 a (量是 _.结果： (3,0)r2. 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的0方向是任意的；uuur3. 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 AB 共线uuur的单位向量是AB）；uuur|AB|4. 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相

2、等向量有传递性；rr5. 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量，记作：rra b ，规定： 零向量和任何向量平行 .注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性！ （因为有 0 ) ；三点 A、B、 C 共线uuur uuurAB、AC 共线 .r6. 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量记作ra .r rr r举例 2 如下列命题：（1）若 | a | | b | ，则 a b .（2）两个

3、向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.uuuruuuur，则 ABCD 是平行四边形 .（3）若 ABDCuuuruuuur（4）若 ABCD 是平行四边形，则 ABDC .r rr rr r（5）若 a b ， b c，则 a c .r rr rr r结果：（4）（5）（6）若 a / /b ，b / / c 则 a / /c . 其中正确的是.二、向量的表示方法uuur1. 几何表示 ：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如r ， r ， r 等；abc3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y

4、轴方向相同rrr的 两个 单位向 量 i ,j 为基 底，则 平面内 的任 一向量a 可表 示为rrrrrraxiyj ( x, y) ，称 ( x, y)为向量 a 的坐标， a ( x, y) 叫做向量 a 的坐标表示 .结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 .三、平面向量的基本定理rrr定理设 e1, e2 同一平面内的一组基底向量， a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对 ( 1 ,rrr2 ) ，使 a1e12e2 .（1）定理核心：rrrr的分解，且1 12 2 ；（2）从左向右看，是对向量aa ee表达式唯一；反之，是对向量a 的合成 .r（3）向量的

5、正交分解：当rr时，就说rre1,e2a e解举例 3rrrr（1）若 a (1,1)， b (1, 1) ， c ( 1,2)，则 c1 r3 r .ab22r为对向量 r 的正交分ea22.结果：（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA.rrB.rrC.rr1(0,0)， 2(1,2)1( 1,2)， 21(3,5)， 2(6,10)eeee (5,7)eer3) ，r1,3D. e1 (2,e224uuur uuuruuur ruuurruuur（3）已知 AD , BE 分别是 ABC 的边 BC ，AC 上的中线 , 且 AD a ，BEb , 则 BCr r.结果：2

6、r4 r可用向量 a , b 表示为ab .33uuuruuuruuuruuuruuur，则 rs 的（ 4）已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD2DB， CDrABsAC值是.结果： 0.四、实数与向量的积r的积是一个向量，记作r实数 与向量 aa ，它的长度和方向规定如下：rr（1）模： |a | | a | ；（2）方向：当rrr0 时， a 的方向与 a 的方向相同，当0 时， a 的r0 时，rr方向与 a 的方向相反，当a0 ，注意：r0 .a五、平面向量的数量积rruuurruuurr1. 两个向量的夹角 ：对于非零向量a ， b，作 OAa ， OBb ，则把AO

7、B(0) 称为向量rar ， b 的夹角 .rr同向；当rrrr当0 时， a ， b时， a， b 反向；当时， a ， b 垂2直 .rr，它们的夹角为，2. 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a ， br rrrr r我们把数量 | a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积） ，记作： a b ，r rrr即 a b| a | |b | cos .规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量 .举例 4 （1）中，uuur，uuur，uuur，则uuur uuur_.结 ABC|AB| 3|AC| 4|BC| 5AB BC果： 9.（

8、 2）已知结果： 1.r1r1rrrr r rrr的夹角为4，则_.2，2，a kb，与dka 1,b0,cd a bcrrr r3 ，则（3）已知 | a | 2， | b | 5， a br r（ 4）已知 a, b 是两个非零向量，且rr结果： 23 .| a b | _.rrr rrr r| a | | b | | ab | ，则 a 与 ab 的夹角为 _.结果：30o .3. 向量rrrb 在向量a 上的投影：|b | cos ，它是一个实数，但不一定大于0.5rrr举例rrr已知 | a |3 ， | b | 5 ，且a b 12，则向量 a 在向量 b 上的投影为_.结果： 1

9、2 .rr5rrrrrr4. ab 的几何意义 ：数量积ab 等于 a 的模| a | 与 b 在 a 上的投影的积 .rr，则：5. 向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为（1）rrr r0 ；aba brrr rrr，特别地，r 2r r r 2rr 2；（2）当 a 、 b 同向时， a b| a | b |aaa | a | a |ar rrrrra b | a | b | 是 a 、b 同向的充要分条件 ；r、rrrrrrrrrr、r当 ab 反向时， ab| a | | b | ， ab| a | | b | 是 ab 反向的充要分条件；r rrrrr当 为锐角

10、时，0，且、不同向，0是 为锐角的 必要不a baba b充分条件 ；r rrrrr当 为钝角时，0，且、不反向；0是 为钝角的 必要不a baba b充分条件 .r rrrr rrr（3）非零向量a ba ， b 夹角 的计算公式： cosrr ； a b| a | b | .| a |b |举例 6rr(3,2)rr的夹角为锐角，则的（1）已知 a( ,2 ) ， b，如果 a 与 b取值范围是 _.结果：4 或0 且1 ；33uuuruuur1 ，若uuuruuur（ 2）已知 OFQ 的面积为 S ，且 OFFQ1S3，则OF，FQ夹角 的22取值范围是 _.结果：,；43rrr r（

11、3）已知 a (cos x,sin x) ， b (cos y,sin y) ，且满足 | ka b |r rr r用 k 表示 a b ；求 a b 的最小值，并求此时r rk2 10) ；最小值为1，60o.结果： a b( k24krr）.3 | akb | （其中 k 0rra 与 b 的夹角的大小 .六、向量的运算1. 几何运算（1）向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则.uuurruuur ruuurr r运算形式：若 ABa ， BC b ， 则向量 AC 叫做uuur uuuruuura bAB BCAC ；rar与 b 的和，即作图：略 .注：平行四边形法则只适用于不共

12、线的向量.（2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若uuurruuurrr ruuuruuuruuurABa ， ACb ，则 a bABACCA ，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略 .注：减向量与被减向量的起点相同.举例7（1）化简：uuuruuuruuur；uuuruuuruuuur；ABBCCDABADDCuuur uuuruuuruuur.uuuruuur；r( AB CD)( ACBD )结果： AD ； CB0 ；（2）若正方形 ABCD 的边长为uuurruuurruuurrrrr.1，ABa，BCb ，ACc ，则| abc |结果： 22 ；uuuruuu

13、ruuuruuuruuur，则 ABC 的（3）若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 OBOCOBOC 2OA形状为 .结果：直角三角形；（ 4）若 D 为 ABC 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点P ，满足uuur uuuruuurruuur，则 的值为.结果： 2；|AP|PA BPCP0，设 uuur|PD|uuuruuuruuurr，则 ABC 的内角 C 为.（5）若点 O 是 ABC 的外心，且 OAOBCO0结果： 120o .rr( x2 , y2 ) ，则2. 坐标运算 ：设 a (x1, y1) ， brr( x1x2 , y1rr(x1x2 , y1

14、y2 ) .（1）向量的加减法运算 ： aby2 ) ， ab举例 8（1）已知点 A(2,3) ，B(5,4)uuuruuuruuurR) ，则当_，C (7,10) ，若 APABAC (时，点 P 在第一、三象限的角平分线上.结果：1；2（2）已知 A(2,3) ， B(1,4)uuur) ，则 x.结，且 1 AB (sin x,cos y) ， x, y(,y222果：6或2 ；（3）已知作用在点A(1,1) 的三个力uuruur，uur，则合力F1(3,4)， F2(2, 5)F3 (3,1)uur uuruuruur结果： (9,1) .F F1F2F3 的终点坐标是.r(x1

15、, y1)( x1 ,y1) .（2）实数与向量的积 ： auuury1 ) ，即一个向量的坐标等（3）若 A(x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，则 AB( x2x1 , y2于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 .举例 9设，且uuur1 uuur，uuuruuur，则的坐标分别是A(2,3)B( 1,5)AC3AD 3ABC, DAB_.结果： (1,11),(7,9) .3（4）平面向量数量积举例 10已知向量 ra（ 1）若 x 3 ，求向量（ 2）若 x 3 , ，函数84r ry1 y2 .： a b x1x2rr(sin x,cos x) ， b (si

16、n x,sin x) ， c ( 1,0) .rr的夹角；a 、 crr的最大值为1，求 的值 . 结果：（1）o；f (x)ab2150（2）1或21.2r2r 2x2y2rx22.（5）向量的模 ： a| a | a |y举例 11r r均为单位向量，它们的夹角为orr已知 a, b60，那么 | a 3b | .结果： 13.（6）两点间的距离 ：若 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则|AB|( x2x1 )2( y2y1 )2 .举例 12如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy60o，平面上任一点P关y于斜坐标系uuurrrr r分别为与ox 轴、 y 轴同的斜坐标

17、是这样定义的：若OP xe1ye2 ，其中 e1 ,e2方向的单60Ox位向量，则P 点斜坐标为( x, y) .（ 1）若点 P 的斜坐标为 (2, 2) ，求 P 到 O 的距离 | PO | ；（ 2）求以 O 为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程 . 结果：（1） 2；（2） x2 y2 xy 1 0 .七、向量的运算律1. 交换律：2. 结合律：3. 分配律：举例 13rrrr，(r(rabbaa) arrrrrrrra b c (a b ) c ， a b(rrr，rr)aaa( ab )给出下列命题：rrr r， a bb a ；rrrrr rca (bc) ，

18、(a)brr，rrrab(ab) cr rrr rrra (bc )a bac ；rrrr( ab)a ( b ) ；rrrracbc .rrrrrra(bc)(ab )c ；r r 2r2rrr 2；( a b)| a |2| a |b | | b |rrrrrrrr rr rr rr rr 2r 2；a bb 若 ab 0，则 a0或 b 0；若 a bc b 则 a c ； | a |ar2r；aarr 2r 2r 2rr 2r 2rrr 2. (ab)ab； (ab)a2ab b其中正确的是.结果： .说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边

19、平方、两边同乘以一个实数， 两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即r r rr r ra (b c ) (a b) c ，为什么？八、向量平行 ( 共线 ) 的充要条件r rr rr r 2r r2x1 y2 y1x20 .a / /ba b(a b)(| a | b |)举例 14r( x,1)rrr(1) 若向量 a， b (4, x)，当 x _时， a 与 b 共线且方向相同 .结果： 2.（ 2）已知果： 4.rrr rrrr rr r.结a (1,1)，b (4, x) ，

20、u a 2b，v 2 a b ，且 u / / v ，则 xuuuruuuruuur结（ 3）设 PA ( k,12) ， PB (4,5)， PC (10,k ) ，则 k_ 时， A,B ,C 共线 .果： 2或 11.九、向量垂直的充要条件r rrrr rrrx1 x2y1 y20 .a ba b 0| a b | | a b |uuuruuuruuuruuur特别地ABACABACuuuruuuruuuruuur .|AB| |AC |AB|AC|举例 15(1)已知uuuruuur，若uuuruuur，则.结果：m；，3OA (1,2)OB (3, m)OAOBm2（2）以原点 O

21、和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， B90 ，则点B 的坐标是.结果： (1,3) 或（ 3， 1）；rrrr rr. 结果： (b, a) 或（3）已知 n (a ,b ) 向量 nm ，且 | n | | m | ，则 m 的坐标是( b, a) .十、线段的定比分点是直线1 2上异于 1、 2 的任意一点，若存在一个实1. 定义：设点PPPPP数uuuruuur，则实数叫做点uuuur所成的比 ，P 点叫，使 PP1PP2P 分有向线段 PP12uuuur的以定比为的定比分点 .做有向线段 P1P22. 的符号与分点 P 的位置之间的关系uuuur，即点 P在线段 PP1

22、2 上0 ；（1） P 内分线段 PP12（2）uuuur时，点在线段 PP 的延长线上1，点P外分线段 1 2PPP1 2P在线段 PP 的反向延长线上10 .1 2注：若点分有向线段uuuur分有向线段uuuur所成的P1 2 所成的比为 ，则点P2 1PPP P比为1.举例 16uuuruuur若点 P分 AB所成的比为 3 ，则 A 分 BP 所成的比为.4结果：37 .3.线段的定比分点坐标公式 ：uuuur所成的比为，则定比分设 P1 (x1, y1 ) ，P2 ( x2 , y2 ) ，点 P(x, y) 分有向线段 P1P2xx1x2 ,1) .点坐标公式为1(yy1y2 .1

23、xx1x2 ,特别地，当1时，就得到线段 1 2的中点坐标公式2PPy1y2 .y2说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时， 应明确 (x, y) ，(x1 , y1 ) 、(x2 , y2 )的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标 .（ 2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 .举例 17 （1）若 M( 3,uuuuruuuur.2) ，N(6, 1) ，且 MP1 MN ，则点 P 的坐标为3结果： ( 6,37) ；rauuuuruuuur，则（ 2）已知 A(a ,0) ， B(3,2 a) ，直线 y 1 ax 与线段 AB 交于 M

24、 ，且 AM2 MB2.结果：或 4 .十一、平移公式r(h,k) 平移至 P(x , y ) ，则xx h ,；曲线 f ( x, y)0 按如果点 P(x, y) 按向量 ayy k.r(h,k) 平移得曲线 f ( x h, y k)0 .向量 a说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（ 2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例 18rr平（1）按向量 a 把 (2, 3)平移到 (1, 2) ，则按向量 a 把点 ( 7,2)移到点 _.结果： ( 8,3)；（ 2）函数 y sin 2 x 的图象按向量r平移后，所得函数的解析式是ar结果： (,1) .y cos2x 1 ，则 a _.4十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrr2. 模的性质： | a | b | | a b | | a | b | .（1）右边等号成立条件：r rr rrr r rra、b同向或 a、b 中有 0| a b | | a | | b | ；（2）左边等号成立条件：r rr rrr r rra、b反向或 a、b 中有 0| a b | |