逻辑联结词与四种命题

1、17、四种命题和逻辑联结词一、命题可以判断真假的语句叫做命题命题由题设和结论两部分构成；命题有真命题和假命题之分；语句是真的，就叫真命题；语句是假的，就叫假命题.数学中的定义、公理、定理等都是真命题二、四种命题（1）四种命题：原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则（2）四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题不一定真、否命题也不一定真、但逆否命题一定真原命题与它的逆否命题同真同假、否命题与逆命题同真同假注：四种命题的相互关系图：“否命题”与“命题的否定”的区别： 否命题是对原命题“若则”的条件和结论都否定，即“若则；而原命题的否定是：“若则”，即只是否定原命题的结论。三反证法：欲证“

2、若p则q”为真命题，从否定其结论出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法反证法的三步骤： 反设：假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立 归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾 结论：由矛盾判定假设不成立，从而原命题的结论成立注：常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于且词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立正面词语等于大于小于是都是任意的所有的或任意两个至多有一个至少有一个至多有个否定词语不等于不大于不小于

3、不是不都是某个某些且某两个至少有两个一个也没有至少有个四、逻辑联结词1、逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.2简单命题：不含逻辑联结词的命题，称为简单命题；3、复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题，称为复合命题.（1）复合命题的构成形式有三种：P或q；P且q；非P(其中P，q都是简单命题)非P也叫做命题P的否定，P的否定表示为“”注：通常命题“或”的否定为“且”、“且”的否定为“或”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；（2）复合命题的真值表“非”形式复合命题的真假可以用下表表示： 非真假假真 “且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：且真真真

4、真假假假真假假假假“或”形式复合命题的真假可以用下表表示：或真真真真假真假真真假假假五、充要条件1、定义：若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充要条件。2、充要条件可分为四类：（1）充分不必要条件，即成立，而不成立；（2）必要不充分条件，即不成立，而成立；(3) 既充分又必要条件，即成立，又有成立；(4) 既不充分也不必要条件，即不成立，又有不成立一般地，如果既有，又有，就记作：.“”叫做等价符号六、全称量词与存在量词1全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“”表示。（2）存在量词：对应日常语言中

5、的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“”表示。2全称命题与特称命题（1）全称命题：含有全称量词的命题。“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）” 。（2）特称命题：含有存在量词的命题。“xM，有p（x）成立” 简记成“xM，p（x）”。3 同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，供参考。命 题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）表述方法所有的xM，使p（x）成立存在xM，使p（x）成立对一切xM，使p（x）成立至少有一个xM，使p（x）成立对每一个xM，使p（x）成立对有些xM，使p（x）成立

6、任给一个xM，使p（x）成立对某个xM，使p（x）成立若xM，则p（x）成立有一个xM，使p（x）成立七、练习1、写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练； （2）p：xR，x2x+10；（3）p：平行四边形的对边相等； （4）p：$ xR，x2x+10；分析：（1） P：有的人不晨练； （2）$ xR，x2x+10；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等； （4）xR，x2x+10；2、写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p：若xy,则5x5y； （2）p：若x2+x2,则x2-x2；（3）p：正方形的四条边相等； （4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b0有非空实

7、解集，则a2-4b0。解：（1） P：若 xy，则5x5y； 假命题； 否命题：若xy，则5x5y； 真命题（2） P：若x2+x2，则x2-x2；真命题； 否命题：若x2+x2，则x2-x2）； 假命题。 （3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等； 假命题。 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b0有非空实解集，但使a2-4b0。 假命题。 否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b0没有非空实解集，则a2-4b0。 真命题。3、判断命题“若，则有实根”的逆否命题的真假解法一：写出逆

8、否命题，再进行判断逆否命题是：若无实根，则。其真假判断如下： 无实根 0,即0，命题“若无实根，则”为真解法二：利用命题间的关系，原命题与逆否命题等价来判断，方程的判别式方程有实根，故原命题“若，则有实根”为真4. 写出命题“若”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.解：逆命题： 否命题：逆否命题： 易判定否命题假，逆否命题真，从而，逆命题假，原命题真5.（广东）命题“若函数在其定义域内是减函数，则”的逆否命题是 解：若，则函数在其定义域内不是减函数6.（广东）设集合，那么“”是“”的 条件； 答案：必要而不充分条件7. 已知命题、，如果是的充分而不必要条件，那么是的 条件 答案： 充分不必

9、要条件 8、写出下列命题的否定形式（1）若，则、全为零； （2）5既是奇数又是偶数；答案：（1）若 ，则、不全为零 （2）5不是奇数或5不是偶数9.（辽宁）下列4个命题：， ：，：， ：，其中的真命题是 答案：、10.用“充分、必要”填空：或为真命题是且为真命题的 必要 条件； 非为假命题是或为真命题的充分条件.11.若命题“存在，使得”是真命题，则实数的取值范围是. 12、【江苏】设集合，记为同时满足下列条件的集合的个数：；若，则； 若，则，求；解： 当时，符合条件的集合为：， =4。 13、（陕西）“”是“对任意的正数，”的 条件 （填“充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要”）解

10、：，另一方面对任意正数， 只要，所以填“充分不必要”点评：“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们间存在着密切的联系本题若改成命题“如果，那么对任意的正数，都有”，就是原命题正确，而逆命题不正确，则原命题的条件是结论的充分不必要条件14、在中，“”是“”的什么条件？解：在中，角A、B的对边分别是是的外接圆的半径一方面，因为，所以a0)在(，2上单调递减”.命题q：“任意xR,16x216(a1)x10”.若命题“p且q”为真命题，求实数a的取值范围.解：p为真：当a0时，只需对称轴x在区间(，2的右侧，即2，0a1.q为真：命题等价于：方程16x216(a1)x10无实根. 16(a

11、1)24160，a.命题“p且q”为真命题， ， 0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围.解：x1，x2是方程x2mx20的两个实根，x1x2m，x1x22，|x1x2|，当m1,1时，|x1x2|max3，由不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1,1恒成立，可得：a25a33，a6或a1，命题p为真命题时a6或a1，若不等式ax22x10有解，则当a0时，显然有解，当a0时，ax22x10有解，当a0有解，44a0，1a0有解时a1.又命题q是假命题，a1，故命题p是真命题且命题q是假命题时，a的取值范围为a1.作业：1、【辽宁5】已知命题p：x1，x2R，(f(x2)

12、f(x1)(x2x1)0，则p是 答案：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0解：命题p为全称命题，所以其否定p应是特称命题，又(f(x2)f(x1)(x2x1)0否定为(f(x2)f(x1)(x2x1)”是“2x2+x-10”的 条件 答案：充分而不必要解：不等式的解集为或，所以“”是“”成立的充分不必要条件 4(塘厦)下列各组命题中，满足“p或q为真、p且q为假、非p为真”的是 （填序号） 答案： p：0；q：0 p：在ABC中，若cos2Acos2B，则AB；q：ysinx在第一象限是增函数 p：ab2(a，bR)； q：不等式|x|x的解集是(，0) p：圆(x1)2(y2

13、)21的面积被直线x1平分； q：x1，1,0,2x10解： 中，p、q为假命题，不满足“p或q”为真， 中，p是真命题，则“非p”为假，不满足题意， 中，p是假命题，q为真命题，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，故C正确 中，p是真命题，不满足“非p”为真5(宁波)已知定义在R上的函数f(x)，写出命题“若对任意实数x都有f(x)f(x)，则f(x)为偶函数”的否定：_.解：所给命题是全称命题其否定为特称命题答案：若存在实数x0，使得f(x0)f(x0)，则f(x)不是偶函数6设有两个命题： 关于x的不等式mx210的解集是R； 函数f(x)logmx是减函数，如果这两个命题有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是_解： 关于x的不等式mx210的解集为R，则m0； 函数f(x)logmx为减函数，则0m1.与有且只有一个正确，则m的取值范围是m0或m1. 答案：m0或m17给定下列命题：“若