流体力学六章课件

1、1第六章 流体的旋涡运动第六章第六章 流体的旋涡运动流体的旋涡运动 第三章曾分析了流体微团的运动，它可分解为平移、变第三章曾分析了流体微团的运动，它可分解为平移、变形和转动三部分。流体微团的平均旋转角速度为形和转动三部分。流体微团的平均旋转角速度为 212121urotu 在直角坐标中它的三个分量为在直角坐标中它的三个分量为yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx212121式中速度的旋度记为式中速度的旋度记为 ，称为涡量。在计算流体力学中涡，称为涡量。在计算流体力学中涡量量 是一个重要的基本变量。是一个重要的基本变量。2第六章 流体的旋涡运动 若若 ，即即x=y=z = 0，则流体的运动称

2、为，则流体的运动称为无旋运动或势流，若无旋运动或势流，若0。(至少有一个分量不为零至少有一个分量不为零)，则称，则称为旋涡运动或有旋运动。为旋涡运动或有旋运动。判断流体运动是无旋还是有旋，不判断流体运动是无旋还是有旋，不能从流体质点的轨迹来判别，而是要看流体微团本身是否旋能从流体质点的轨迹来判别，而是要看流体微团本身是否旋转。转。 02 旋涡运动是流体运动的一种基本形式。它存在于小到肉旋涡运动是流体运动的一种基本形式。它存在于小到肉眼看不到的物体边壁附近极薄的边界层内及物体后面的尾流眼看不到的物体边壁附近极薄的边界层内及物体后面的尾流中，大到太阳系与宇宙星系中，它们都可利用涡系的生成与中，大到

3、太阳系与宇宙星系中，它们都可利用涡系的生成与发展解释。发展解释。 本章首先介绍描述旋涡运动的一些基本概念本章首先介绍描述旋涡运动的一些基本概念涡线、涡管、涡束、涡线、涡管、涡束、涡强与速度环量及其关系，然后叙述关于理想流体旋涡运动规律的几个涡强与速度环量及其关系，然后叙述关于理想流体旋涡运动规律的几个定理定理有关旋涡运动的运动学特性之亥姆霍兹有关旋涡运动的运动学特性之亥姆霍兹(Helmholtz)第一定理第一定理(旋旋涡运动在空间的变化规律涡运动在空间的变化规律)，有关旋涡运动的动力学特性之汤姆生，有关旋涡运动的动力学特性之汤姆生(Thomson)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange

4、)定理、亥姆霍兹第二定理及第三定定理、亥姆霍兹第二定理及第三定理理(旋涡运动随时间的变化规律旋涡运动随时间的变化规律)，最后阐述关于旋涡在流体中诱导速度，最后阐述关于旋涡在流体中诱导速度的毕奥的毕奥萨伐尔萨伐尔(Bion-Savart)定律。希望由此对流体旋涡运动的规律有定律。希望由此对流体旋涡运动的规律有个基本的了解，以便用于分析有关的理论与实际问题。个基本的了解，以便用于分析有关的理论与实际问题。 3第六章 流体的旋涡运动6-1 6-1 涡线、涡管、涡束与涡强涡线、涡管、涡束与涡强( (涡通量涡通量) ) 涡量场中涡线、涡管、涡束与涡强涡量场中涡线、涡管、涡束与涡强(涡通量涡通量)这些运动

5、学这些运动学概念最早是概念最早是1843年由亥姆霍兹首先引入的，它们分别类似于年由亥姆霍兹首先引入的，它们分别类似于速度场中的流线、流管、流速与流量。速度场中的流线、流管、流速与流量。 一、一、涡线涡线 涡线是涡量场中某瞬时作出的这样一条空间曲线，在该涡线是涡量场中某瞬时作出的这样一条空间曲线，在该瞬时曲线上所有各点流体微团的旋转角速度矢量瞬时曲线上所有各点流体微团的旋转角速度矢量 与该曲线与该曲线相切相切(如图如图)。因为每点处角速度矢量方向是流体微团的旋转。因为每点处角速度矢量方向是流体微团的旋转轴方向轴方向(按右手定则按右手定则)，所以涡线也就是一群流体微团在给定，所以涡线也就是一群流体

6、微团在给定瞬时围绕旋转的公共轴线。瞬时围绕旋转的公共轴线。显然，涡线方程为显然，涡线方程为 0 ld4第六章 流体的旋涡运动 式中式中 是涡线上的微元矢量。在直角坐标中展开后可是涡线上的微元矢量。在直角坐标中展开后可得到涡线方程，即得到涡线方程，即 ld),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx 其中旋转角速度分量其中旋转角速度分量x 、y、z是以时间变量是以时间变量t为参变为参变量。对于不同的量。对于不同的t，就构成了涡线族方程组。就构成了涡线族方程组。 涡线与流线类似，有如下性质涡线与流线类似，有如下性质: (1)定常流动时涡线的形状与位置不随时间改变定常流动时涡线的形状

7、与位置不随时间改变; (2)一般情况下，任一瞬时过一点只能作一条涡线一般情况下，任一瞬时过一点只能作一条涡线; (3)可以证明可以证明:理想流体定常流动时沿流线的伯努利积分亦适理想流体定常流动时沿流线的伯努利积分亦适用于沿涡线的情形。用于沿涡线的情形。 5第六章 流体的旋涡运动 但是，一般情况下涡线与流线不重合，而是相交。在但是，一般情况下涡线与流线不重合，而是相交。在流体作平面流动时，涡线流线处处正交，即同一点流体作平面流动时，涡线流线处处正交，即同一点 。 u 涡量场与不可压缩流体的速度场一样，都是无源场涡量场与不可压缩流体的速度场一样，都是无源场(无无散场散场)，这是因为，这是因为: 不

8、可压缩流体的速度场中不可压缩流体的速度场中 相应的涡量场中相应的涡量场中 0udiv0)(21)21(urotdivurotdivdiv一、一、涡管、涡束与旋涡强度涡管、涡束与旋涡强度(涡通量涡通量)1.涡管涡管 在涡量场中任取一条非涡线的封闭曲线，过曲线上每一在涡量场中任取一条非涡线的封闭曲线，过曲线上每一点作涡线，这些涡线构成的管状表面称为涡管点作涡线，这些涡线构成的管状表面称为涡管(如图如图)。若该。若该封闭曲线所围面积无限小，则称为微元涡管。微元涡管中同封闭曲线所围面积无限小，则称为微元涡管。微元涡管中同一截面的流体微团以同一角速度旋转，但与刚体不同的是沿一截面的流体微团以同一角速度旋

9、转，但与刚体不同的是沿涡管方向不同截面的角速度是不相同的。涡管方向不同截面的角速度是不相同的。 6第六章 流体的旋涡运动.涡面涡面 给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线构成的曲面称为涡面构成的曲面称为涡面。 涡线涡面涡管2.涡束涡束 涡管内所包含的旋转流体涡管内所包含的旋转流体(或者说所有涡线的总和或者说所有涡线的总和)称为称为涡束。涡束。 3.旋涡强度旋涡强度(涡通量涡通量) 旋涡的变化及其对周围流场的影响决定于旋涡旋转角速旋涡的变化及其对周围流场的影响决定于旋涡旋转角速度度 及涡束内所含流体的多少及涡束内所含流体的多少(可用其截面

10、积可用其截面积A来表示来表示)。由。由此来定义通过微元涡管的旋涡强度此来定义通过微元涡管的旋涡强度(简称为涡强，又叫作涡简称为涡强，又叫作涡通量通量)， 7第六章 流体的旋涡运动dAdAnAdJdn式中式中， 为微元面积为微元面积dA的外法线单位矢量；的外法线单位矢量；n的是角速度矢的是角速度矢量量 在在 方向的投影量。方向的投影量。 nn 通过整个涡管之任一曲面通过整个涡管之任一曲面A的旋涡强度的旋涡强度(涡通量涡通量)为为 AnAAAdAdAnAddJJ式中式中A不一定是某平面截面面积，也可是某曲面面积。旋涡不一定是某平面截面面积，也可是某曲面面积。旋涡强度的单位通常是强度的单位通常是m2

11、/s。 空间问题的涡通量空间问题的涡通量zAdA平面问题的涡通量平面问题的涡通量8第六章 流体的旋涡运动6-2 6-2 速度环量，斯托克斯定理速度环量，斯托克斯定理 一、一、速度环量速度环量 1869年汤姆生年汤姆生(Thomson)引进一个与旋涡强度密切相关引进一个与旋涡强度密切相关的速度环量的概念。利用斯托克斯定理，可通过对速度环量的速度环量的概念。利用斯托克斯定理，可通过对速度环量的计算或量测较简便地确定旋涡强度。速度环量在流体力学的计算或量测较简便地确定旋涡强度。速度环量在流体力学与空气动力学中十分重要。与空气动力学中十分重要。 某瞬时在流场中有任一曲线某瞬时在流场中有任一曲线AB(如

12、图如图)，它上面各点的速，它上面各点的速度沿该曲线的线积分度沿该曲线的线积分(a)(a)沿曲线沿曲线ABAB作速度的线积分作速度的线积分(b)(b)沿闭曲线速度的线积分沿闭曲线速度的线积分 BAzyxBABAABdzudyudxudlul ducos称为速度称为速度(线线)积分。其中积分。其中 为曲为曲线线AB上的微元矢量，上的微元矢量，为该曲线为该曲线上某点速度上某点速度 与当地与当地 夹角。夹角。 uldld9第六章 流体的旋涡运动 若曲线若曲线AB是一条封闭曲线是一条封闭曲线L，则速度沿该封闭曲线的线，则速度沿该封闭曲线的线积分积分 LzyxLdzudyudxudlulducos称为某瞬

13、时沿该封闭曲线的速度环量称为某瞬时沿该封闭曲线的速度环量(简称为环量简称为环量) 。可见，。可见，速度速度(线线)积分或速度环量的概念在形式上类似于力沿曲线或积分或速度环量的概念在形式上类似于力沿曲线或封闭曲线的作功。封闭曲线的作功。 速度环量的正负号取决于流场中速度的方向以及线积分速度环量的正负号取决于流场中速度的方向以及线积分所取环绕方向。为统一起见，通常规定线积分绕逆时针方向所取环绕方向。为统一起见，通常规定线积分绕逆时针方向为其正方向。为其正方向。 速度环量的概念不仅适用于不可压缩流体与理想流体，速度环量的概念不仅适用于不可压缩流体与理想流体，而且也适用于可压缩流体与粘性流体。而且也适

14、用于可压缩流体与粘性流体。 10第六章 流体的旋涡运动二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理 旋涡强度旋涡强度(面积分面积分)与速度环量与速度环量(线积分线积分)的关系可直接根的关系可直接根据高等数学中的斯托克斯定理来确定据高等数学中的斯托克斯定理来确定: JdAdAnAdAdAdulduAnAAAAL2222式中，式中，L是包围单连通区域的任一有限大封闭曲线；是包围单连通区域的任一有限大封闭曲线；A是以是以封闭曲线封闭曲线L为周界的任意开口曲面。斯托克斯定理说明了：为周界的任意开口曲面。斯托克斯定理说明了：绕任一封闭曲线绕任一封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为界的任意的速度环量等于穿过以该曲线

15、为界的任意开口曲面开口曲面A的旋涡强度的旋涡强度(涡通量涡通量)的的2倍。倍。 11第六章 流体的旋涡运动 斯托克斯定理只适用于单连通区域斯托克斯定理只适用于单连通区域。所谓单连通区域就。所谓单连通区域就是在连通域中的任一闭合曲线，其连续地收缩成一点时不与是在连通域中的任一闭合曲线，其连续地收缩成一点时不与边界线相交，这种连通域就称为单连通区域边界线相交，这种连通域就称为单连通区域(如图如图)。例如，。例如，球表面内部的空间区域，或两个同心球之间的空间区域等都球表面内部的空间区域，或两个同心球之间的空间区域等都是单连通区域。否则，就称为多连通区域。例如，由内外柱是单连通区域。否则，就称为多连通

16、区域。例如，由内外柱形边界围成的空间就是一双连通区域形边界围成的空间就是一双连通区域(如图如图)。若封闭曲线内。若封闭曲线内有平面点涡等奇点有平面点涡等奇点(7-4)，则亦是多连通区域，则亦是多连通区域 。 双连通区域双连通区域单连通区域单连通区域12第六章 流体的旋涡运动 对于多连通区域，在运用斯托克斯定理时首先必须把它对于多连通区域，在运用斯托克斯定理时首先必须把它化成单连通区域。这只要做适当数目的隔面。例如，对于平化成单连通区域。这只要做适当数目的隔面。例如，对于平面机翼翼型绕流的双连通区域，只要做一个无限薄的隔面，面机翼翼型绕流的双连通区域，只要做一个无限薄的隔面，就可将它化成一个单连

17、通区域就可将它化成一个单连通区域(如图如图)。此时可利用斯托克斯。此时可利用斯托克斯定理定理 dAAnDCACAAB2其中其中 CADCCCAAABDCACAAB因为因为 CCDDCCCACA,所以所以 dAAnCCDAAB213第六章 流体的旋涡运动斯托克斯定理的证明斯托克斯定理的证明 1. L为微小矩形封闭曲线为微小矩形封闭曲线ABCD: 若是平面曲线若是平面曲线(如图如图)，DACDBCABABCDd对于微元长度的速度可按始、终对于微元长度的速度可按始、终端点速度的平均值计算，由此端点速度的平均值计算，由此 dJdAdxdyyuxudyudyyuudxdyyuudyyudxxuudydy

18、yudxxuudxxuudxdxxuuudzxyyyyxxxxxyyxyyxxxABCD222121212114第六章 流体的旋涡运动上述结论可推广应用于上述结论可推广应用于L为空间微小矩形封闭曲线条件下，为空间微小矩形封闭曲线条件下，因为它的三个相互垂直的投影面中具有上述关系。因为它的三个相互垂直的投影面中具有上述关系。 2. L为平面有限大区域的封闭曲线为平面有限大区域的封闭曲线 用一系列平行用一系列平行x轴与轴与y轴的相互轴的相互垂直的直线将它分成无数多个微小垂直的直线将它分成无数多个微小的矩形的矩形(如图如图)。对于每个微小矩形。对于每个微小矩形都有关系式都有关系式d=2ndA，然后对

19、速，然后对速度环量求和，注意到此时沿相邻矩度环量求和，注意到此时沿相邻矩形的公共边上的速度积分方向相反，形的公共边上的速度积分方向相反，故符号相反而相互抵消，因而对于故符号相反而相互抵消，因而对于单连通区域求和后，剩下的只是外单连通区域求和后，剩下的只是外周线周线L的环量。则的环量。则 AnLiLdAldud215第六章 流体的旋涡运动3. L为任意空间有限大区域的封闭曲线为任意空间有限大区域的封闭曲线 设设A为以为以L为界的任意曲面，可把曲面为界的任意曲面，可把曲面A分成无数个微小分成无数个微小曲面，对于每一微小曲面都有关系式曲面，对于每一微小曲面都有关系式d=2ndA ，对于单连，对于单连

20、通区域，若对总面积的速度环量求和，得通区域，若对总面积的速度环量求和，得AnLiLdAldud2由此可见，斯托克斯定理亦适用于空间的三元流动。由此可见，斯托克斯定理亦适用于空间的三元流动。 例例.已知不可压缩流体流动的速度分布已知不可压缩流体流动的速度分布 022zyxuuzyau试求涡线方程及沿封闭曲线试求涡线方程及沿封闭曲线 0222zbyx的速度环量。其中的速度环量。其中a、b为常数。为常数。 16第六章 流体的旋涡运动 解：旋转角速度解：旋转角速度222221212121021zyayyuxuzyazxuzuzuyuxyzzxyyzxydzzdydx0代入涡线方程，化简得代入涡线方程，

21、化简得 积分得积分得 22122cxczy17第六章 流体的旋涡运动 对于在对于在z=0平面上的圆周平面上的圆周azyx210 则由斯托克斯定理则由斯托克斯定理222bdAzAn故故2ab18第六章 流体的旋涡运动例例. 一个以角速度一个以角速度按逆时针方向作像刚体一样的旋转的按逆时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如图所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环流动，如图所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动量，并证明它是有旋流动。有旋流动中速度环量的计算有旋流动中速度环量的计算 解：在流场中对应于任意解：在流场中对应于任意两个半径两个半径r1和和r2的圆周速度各的圆周速度

22、各为为V1=r1和和V2=r2 ，沿图中画，沿图中画斜线扇形部分的周界斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量的速度环量212211221122DACDBCABABCDArrrVrVrVrV19第六章 流体的旋涡运动可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积21222d21rrrrArr于是于是A2ABCDA 上式正是斯托克斯定理的一个例证。上式正是斯托克斯定理的一个例证。以上结论可推广适用于圆内任意区域内。以上结论可推广适用于圆内任意区域内。20第六章 流体的旋涡运动例例. 一个流体绕一个流体绕O点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆点作同心圆的平面

23、流动，流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比，即周速度的大小与该点半径成反比，即V= =C/ /r，其中，其中C为常为常数，如图所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并数，如图所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。分析它的流动情况。无旋流动中速度环量的计算无旋流动中速度环量的计算 解：沿图中画斜线扇形部解：沿图中画斜线扇形部分的周界分的周界ABCDA的速度环量的速度环量01122DACDBCABABCDArrCrrC21第六章 流体的旋涡运动 可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心任何不包围圆心O的

24、区域内，例如的区域内，例如 。若包有圆。若包有圆心（心（r=0），该处速度等于无限大，应作例外来处理。现），该处速度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径的圆周封闭曲线的速度环量在求沿半径的圆周封闭曲线的速度环量ADCBA202d常数CrrC 上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。但凡是绕不等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。点处必有旋涡

25、存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。22第六章 流体的旋涡运动6-3 6-3 汤姆生定理与拉格朗日定理汤姆生定理与拉格朗日定理汤姆生定理汤姆生定理又称为又称为开尔文开尔文(Kelvin)定理定理，后者是前者的封号。，后者是前者的封号。 汤姆生定理汤姆生定理：对于理想、正压流体，质量力单值有势：对于理想、正压流体，质量力单值有势时，沿任一封闭流体线时，沿任一封闭流体线(由一些给定的流体微团构成的曲线由一些给定的流体微团构成的曲线)的速度环量，在整个运动过程中不随时间改变。这只要证的速度环量，在整个运动过程中不随时间改变。这只要证明明d/dt=0 即可。即可。一、一、汤姆生定理汤姆生定理 现证明如

26、下现证明如下:设设t瞬时的封闭瞬时的封闭流体线流体线L，在，在t + dt瞬时变形运动瞬时变形运动为为 ，由定义，由定义， Lldu23第六章 流体的旋涡运动于是于是 dtlddulddtudldudtdldudtddtd从图可见从图可见 lddlddtudtuduld所以所以 udtldd22udlddtududulddtuddtd注意到注意到 022ud故故 lddtudldudtddtd说明了封闭流体线的速度环量对时间的变化率等于此说明了封闭流体线的速度环量对时间的变化率等于此流体线的加速度环量。流体线的加速度环量。 24第六章 流体的旋涡运动 再利用理想流体的欧拉运动微分方程再利用理想

27、流体的欧拉运动微分方程 pfdtud1若质量力单值有势，可引入质量力势若质量力单值有势，可引入质量力势， ，对对于密度于密度仅是压强仅是压强p的单值函数之正压流体，存在压强的单值函数之正压流体，存在压强函数函数PF，fFPp1代入得代入得 FFPPdtud则则 0FFPdldPlddtuddtd得证。由上述证明可知，汤姆生定理显示了旋涡运动得证。由上述证明可知，汤姆生定理显示了旋涡运动的动力学特性。的动力学特性。kzjyix其中，其中， 为为哈密顿算子哈密顿算子：25第六章 流体的旋涡运动二、拉格朗日定理二、拉格朗日定理 在理想、正压流体中，质量力单值有势时，若某一瞬在理想、正压流体中，质量力

28、单值有势时，若某一瞬时流体一部分没有旋涡，则在该瞬时以前或以后的时间里，时流体一部分没有旋涡，则在该瞬时以前或以后的时间里，这部分流体亦不会产生旋涡；反之，一旦有旋涡的存在，这部分流体亦不会产生旋涡；反之，一旦有旋涡的存在，则该部分流体中的旋涡亦不会自行消失，这就是拉格朗日则该部分流体中的旋涡亦不会自行消失，这就是拉格朗日定理。定理。该定理是旋涡的不生不灭定理，它对于判断流场是该定理是旋涡的不生不灭定理，它对于判断流场是否有旋有着重要的意义。否有旋有着重要的意义。 这一定理是汤姆生定理的推论。现证明如下：这一定理是汤姆生定理的推论。现证明如下： 若某瞬时、某部分流体处处若某瞬时、某部分流体处处

29、=0，则由斯托克斯定理，则由斯托克斯定理，该部分流体内封闭流体线该部分流体内封闭流体线L的速度环量的速度环量 02dAlduAnL 根据汤姆生定理，在理想、正压流体中，质量力单值根据汤姆生定理，在理想、正压流体中，质量力单值有势时，沿给定流体线的速度环量在以前或以后的时间里，有势时，沿给定流体线的速度环量在以前或以后的时间里，应始终保持应始终保持=0。 26第六章 流体的旋涡运动 再利用斯托克斯定理，对于位于那部分流体中的任何再利用斯托克斯定理，对于位于那部分流体中的任何曲面曲面A，在运动过程中始终在运动过程中始终 022dAAdAnA因为曲面因为曲面A的任意性的任意性(包括位置、大小与方位包

30、括位置、大小与方位)，故欲使上式，故欲使上式成立，必须在任何瞬时处处成立，必须在任何瞬时处处=0。 反之，可以证明在上述条件下，一旦有旋涡的存在，反之，可以证明在上述条件下，一旦有旋涡的存在，则这部分流体中的旋涡亦不会消失。由此得证。则这部分流体中的旋涡亦不会消失。由此得证。 根据拉格朗日定理，在理想、正压流体中，质量力单根据拉格朗日定理，在理想、正压流体中，质量力单值有势时，由静止开始运动的流体，运动一定是无旋的；值有势时，由静止开始运动的流体，运动一定是无旋的；无穷远处均匀来流绕流物体的流场亦是无旋的。无穷远处均匀来流绕流物体的流场亦是无旋的。 27第六章 流体的旋涡运动 必须指出，若需考

31、虑流体的粘性，或质量力无势时必须指出，若需考虑流体的粘性，或质量力无势时(如如哥氏加速度形成的惯性力哥氏加速度形成的惯性力)或是斜压流体或是斜压流体(密度不仅与压强有密度不仅与压强有关，而且还与温度、湿度或含盐度等有关，如大气或海水关，而且还与温度、湿度或含盐度等有关，如大气或海水)，则旋涡就会产生、发展、扩散、衰减与消失。此外，粘性则旋涡就会产生、发展、扩散、衰减与消失。此外，粘性流体往往作旋涡运动，同时在粘性流体中存在旋涡扩散及流体往往作旋涡运动，同时在粘性流体中存在旋涡扩散及耗能的特性，流场中旋涡将从涡强大的地方向涡强小的地耗能的特性，流场中旋涡将从涡强大的地方向涡强小的地方扩散，直到各

32、处涡强相等，并随着时间的推移，各处涡方扩散，直到各处涡强相等，并随着时间的推移，各处涡量慢慢衰减为零。量慢慢衰减为零。 28第六章 流体的旋涡运动6-4 6-4 亥姆霍兹旋涡三定理亥姆霍兹旋涡三定理 在同一瞬时，沿涡管长度旋涡强度不变，这就是亥姆在同一瞬时，沿涡管长度旋涡强度不变，这就是亥姆霍兹第一定理。霍兹第一定理。该定理显示了旋涡运动的运动学特性。该定理显示了旋涡运动的运动学特性。 一、一、亥姆霍兹第一定理亥姆霍兹第一定理涡强守恒定理涡强守恒定理 现证明如下现证明如下:在某瞬时，沿涡管表面取封闭周线在某瞬时，沿涡管表面取封闭周线 ，其中其中AB与与 是两条几乎重合的曲线是两条几乎重合的曲线

33、(如图如图)。先研究该封闭。先研究该封闭曲线的环量，其速度线积分的环绕方向如图。显然，曲线的环量，其速度线积分的环绕方向如图。显然， AABABBAAAABBBABAABAB因为因为 ABAB所以所以 AABBAABAB29第六章 流体的旋涡运动 根据斯托克斯定理，由于通过涡管表面的涡强为零，所根据斯托克斯定理，由于通过涡管表面的涡强为零，所以对于上述封闭周线以对于上述封闭周线ABBAA的速度环量亦等于零，即的速度环量亦等于零，即 02dAAnAABAB则则 0AABB即即 AAAABB 再利用斯托克斯定理，得再利用斯托克斯定理，得 dAdAAnAn21即即 常量21JJ式中式中A1、 A2分

34、别为以曲线分别为以曲线AA、BB为界的任意曲面。得证。为界的任意曲面。得证。 显然，亥姆霍兹第一定理对于微元涡管亦成立，为显然，亥姆霍兹第一定理对于微元涡管亦成立，为 常量2211dAdA30第六章 流体的旋涡运动 由此可见，亥姆霍兹第一定理形式上类似于不可压缩流由此可见，亥姆霍兹第一定理形式上类似于不可压缩流体沿流管的连续性方程，亦是一运动学定理。体沿流管的连续性方程，亦是一运动学定理。 亥姆霍兹第一定理对理想流体或粘性流体、对正压流体亥姆霍兹第一定理对理想流体或粘性流体、对正压流体或斜压流体、无论质量力是否有势都适用。或斜压流体、无论质量力是否有势都适用。 根据亥姆霍兹第一定理，可得到以下

35、结论根据亥姆霍兹第一定理，可得到以下结论: (1)同一瞬时，对于同一微元涡管来说，截面积小的地方同一瞬时，对于同一微元涡管来说，截面积小的地方流体旋转角速度大，反之亦然。流体旋转角速度大，反之亦然。 (2)涡管截面积不可能变为零，否则涡管截面积不可能变为零，否则=，但这是不可能，但这是不可能的。所以涡管不可能在流体内部开始或终止，或者说不可能的。所以涡管不可能在流体内部开始或终止，或者说不可能在流体内部断开。因此，涡管只可能为自我封闭的环形涡圈在流体内部断开。因此，涡管只可能为自我封闭的环形涡圈(图图1)，如吸烟者吐出的圆环形烟圈，水中旋涡，或者在边界，如吸烟者吐出的圆环形烟圈，水中旋涡，或者

36、在边界上上(容器壁面或自由液面容器壁面或自由液面)开始与终止开始与终止(图图2)，或伸展到无穷远，或伸展到无穷远处，如龙卷风处，如龙卷风(图图3)。 31第六章 流体的旋涡运动二、亥姆霍兹第二定理二、亥姆霍兹第二定理涡管涡管(线线)保持性定理保持性定理 亥姆霍兹第二定理与第三定理均显示了亥姆霍兹第二定理与第三定理均显示了旋涡的动力学特旋涡的动力学特性性。 亥姆霍兹第二定理：亥姆霍兹第二定理：理想、正压流体中，若质量力单值理想、正压流体中，若质量力单值有势，则涡管有势，则涡管(线线)在流体运动过程中一直保持为由相同流体在流体运动过程中一直保持为由相同流体质点组成的涡管质点组成的涡管(线线)而不破

37、坏。而不破坏。32第六章 流体的旋涡运动证明如下证明如下: 某瞬时某瞬时t，在涡管表面上取一封闭的流体线在涡管表面上取一封闭的流体线L(如图如图)，由，由于该曲线所包围的面积无于该曲线所包围的面积无通过，即通过，即n=0，因而按斯托克斯，因而按斯托克斯定理，定理，L=0。在以后。在以后t瞬时，由相同流体质点组成的流体线瞬时，由相同流体质点组成的流体线变形运动到变形运动到L位置，位置， 据汤姆生定理据汤姆生定理L=L=0。再利用斯托克。再利用斯托克斯定理，通过封闭流体线斯定理，通过封闭流体线L所围的任意曲面的所围的任意曲面的n=0，即没有，即没有涡线通过。这就是说，在某一瞬时构成涡管的流体质点在

38、运涡线通过。这就是说，在某一瞬时构成涡管的流体质点在运动过程中永远在涡管上，即涡管永远保持为涡管而不破坏。动过程中永远在涡管上，即涡管永远保持为涡管而不破坏。当然，随着时间的改变，涡管的形状与位置是可能变化的。当然，随着时间的改变，涡管的形状与位置是可能变化的。 可以想像，由于涡线可看可以想像，由于涡线可看成是两个涡管的交线，既然涡成是两个涡管的交线，既然涡管存在保持性定理，那么涡线管存在保持性定理，那么涡线亦存在保持性定理。亦存在保持性定理。 33第六章 流体的旋涡运动 实际上，任何流体与由它构成的流体面都具有保持性定实际上，任何流体与由它构成的流体面都具有保持性定理。涡线与涡管只不过是它们

39、的特殊情况。历史上较早的是理。涡线与涡管只不过是它们的特殊情况。历史上较早的是由亥姆霍兹首先单独证明了涡线与涡管的保持性定理由亥姆霍兹首先单独证明了涡线与涡管的保持性定理(1858年年)。 三、亥姆霍兹第三定理三、亥姆霍兹第三定理涡强保持性定理涡强保持性定理 理想、正压流体中，若质量力单值有势，则在流体运动理想、正压流体中，若质量力单值有势，则在流体运动过程中涡管的涡强不随时间改变。过程中涡管的涡强不随时间改变。现证明如下现证明如下: 如图所示，设如图所示，设t瞬时通过涡管瞬时通过涡管上以封闭曲线上以封闭曲线L为界的曲面为界的曲面A的涡的涡强强 ，由斯托克斯定理，由斯托克斯定理， dAJAnL

40、LlduJ2经过一段时间，在经过一段时间，在t瞬时，由相同瞬时，由相同流体质点构成的流体线运动到流体质点构成的流体线运动到L位位置。据汤姆生定理，在理想、正压置。据汤姆生定理，在理想、正压流体中，质量力单值有势的条件下，流体中，质量力单值有势的条件下，L=L 。34第六章 流体的旋涡运动 又据涡管保持性定理，又据涡管保持性定理， L仍保持在涡管表面。再次利用仍保持在涡管表面。再次利用斯托克斯定理可得：在斯托克斯定理可得：在t瞬时通过涡管上以封闭曲线瞬时通过涡管上以封闭曲线L为界的为界的曲面曲面A的涡强。的涡强。 JdAJAn得证。得证。 35第六章 流体的旋涡运动6-5 6-5 旋涡的诱导速度

41、旋涡的诱导速度毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律 涡量场与速度场有一定的关系。若已知速度场，只要涡量场与速度场有一定的关系。若已知速度场，只要通过微分运算就容易求得涡量场；反之可以想像，若已知通过微分运算就容易求得涡量场；反之可以想像，若已知涡量场，可通过积分运算来确定其诱导的速度场。涡量场，可通过积分运算来确定其诱导的速度场。 根据给定的涡量场确定它们诱导的速度场具有重要的根据给定的涡量场确定它们诱导的速度场具有重要的理论与实际意义。例如，三元机翼绕流中下洗流动的计算理论与实际意义。例如，三元机翼绕流中下洗流动的计算及其对空气动力的影响，如何估计物体形状对流动的影响及其对空气动力的影响，如何估计物

42、体形状对流动的影响以及绕流物体旋涡阻力的计算等等，所有这些都与这一问以及绕流物体旋涡阻力的计算等等，所有这些都与这一问题有着直接的联系。题有着直接的联系。 对于不可压缩流体，如何根据给定的涡量场确定其诱对于不可压缩流体，如何根据给定的涡量场确定其诱导速度，其计算公式的严格证明涉及较多的数学理论，在导速度，其计算公式的严格证明涉及较多的数学理论，在此不作介绍，有兴趣的读者可参看有关参考书，如文此不作介绍，有兴趣的读者可参看有关参考书，如文7。 36第六章 流体的旋涡运动 根据流场可与电磁场相比拟，详细内容见文根据流场可与电磁场相比拟，详细内容见文4，由电，由电动力学中的毕奥动力学中的毕奥萨伐尔定

43、律，磁场强度萨伐尔定律，磁场强度 Lrrl dIH34式中，式中，I为导线中的电流；为导线中的电流； 为导线沿电流方向的微元矢量；为导线沿电流方向的微元矢量； 是导线中任一点至电磁场中某研究点的矢径。是导线中任一点至电磁场中某研究点的矢径。 的方向由右的方向由右手定则确定，见图（手定则确定，见图（a），即图中垂直进纸面的方向。于是），即图中垂直进纸面的方向。于是得到微小的涡束（涡线）之诱导速度（在流体力学中亦称得到微小的涡束（涡线）之诱导速度（在流体力学中亦称为毕奥为毕奥萨伐尔定律）。萨伐尔定律）。 l drHLrrl du34图（图（a）图（图（b）37第六章 流体的旋涡运动式中式中为速度环

44、量，又称为线涡强度。为速度环量，又称为线涡强度。在积分号外面，这在积分号外面，这是根据亥姆霍兹第一定理与斯托克斯定理，在同一瞬时沿是根据亥姆霍兹第一定理与斯托克斯定理，在同一瞬时沿涡管长度速度环量不变。涡管长度速度环量不变。 为微小涡束为微小涡束(涡线涡线)的微元矢量的微元矢量(按按的右手定则确定方向的右手定则确定方向)， 为微小涡束为微小涡束(涡线涡线)与任一点至涡与任一点至涡量场中某研究点的矢径。量场中某研究点的矢径。 的方向由右手定则确定，见图的方向由右手定则确定，见图 (b)，即图中垂直进纸面方向。即图中垂直进纸面方向。 l dru根据前式，诱导速度的大小根据前式，诱导速度的大小Lrdlu2sin4式中式中为微元矢量为微元矢量 到到 的夹角。的夹角。 l dr 计算中认为微小涡束（涡线）以外的流场是无旋势流，计算中认为微小涡束（涡线）以外的流场是无旋势流，可利用势流叠加原理可利用势流叠加原理(7-3)。