圆锥曲线几何问题的转换

1、几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列 举常见的一些几何条件的转化。1在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线 段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为 坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题： 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符 号进行判定（2）点与圆的位置

2、关系 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些 题目中计算量较大 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，T TT TACB为钝角（再转为向量：CA CB ： 0 ；若点在圆上，贝,ACB为直角（CA CB = 0）； 若点在圆外，贝U ACB为锐角（CA CB 0）（3）三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：a =Xi, yi,b =X2, y2，贝Ua,b共线 二Xi

3、 y?二x?yi ；a b 二XiX?y$2 = 0（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注 意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化(1)三角形的“重心”：设不共线的三点A Xi,% ,B X2,y2 ,C 乂3小，则L ABC 的重X2 X3 yiy2 y3(2)三角形的“垂心”：伴随着垂直关系,即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零(3)三角形的“内心”：伴随着角平分线,图)：IP 丄 AC,IQ 丄 AQI在N BAC的角平分线上 n AP = AQ n T

4、= TAB由角平分线性质可知(如AI AC AI ABAC(4)P是以DA,DB为邻边的平行四边形的顶点=DP 二 DA DB(5) P是以DA,DB为邻边的菱形的顶点： P在AB垂直平分线上(6)共线线段长度的乘积：若 A,B,C共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角)二 AC AB，例如：AC ABAC BC二-AC BC、典型例题:例1:如图:A, B分别是椭圆22xyC r2ab=1 a b 0的左右顶点，AF , FB的等差中项， J3是AF , FB的等比中项（1）求椭圆C的方程（2）已知P是椭圆C上异于代B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F

5、作直线FQ _ AP，并交直线l于点Q。证明：F为其右焦点，2是Q,P,B三点共线解: ( 1)依题意可得： A -a,0 ,B a,0 ,F c,0二 AF = c +a, BF =a -c7 2是AF , FB的等差中项.a = 2；J3是AF , FB的等比中项、4 = AF + FB = a + c + a c= 2a二（同=AFFB =(a+cj(a_c)=a2_c2 = b2椭圆方程为:2 2x_. y_43(2)由(1)可得：A -2,0 ,B 2,0 ,F 1,0设AP: k x 2，设P X1,y1 ，联立直线与椭圆方程可得:3x2 4y2 二 12y = k x 2二 4k

6、23 x22 216k x 16k -12 =0xAx116k2 -124k23X16 -8k24k2312k4k23P 6 -8k212k、l4k2 +34k2 +3 丿另一方面，因为FQ _ AP.FQ : y - -1 x -1，联立方程:k3kj1y x -1/ k' 刍 Q -2J x = 22 -24kkBP。一严4k23-12k.B,Q,P三点共线x2例2 :已知椭圆二22-6316k24k=1(a b 0)的右焦点为F ,M为上顶点，O为坐标原点，若1 OMF的面积为一，且椭圆的离心率为2 2(1 )求椭圆的方程;(2)是否存在直线l交椭圆于P , Q两点， 且使点F

7、PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：(1 ) S OMF OM OF = be =2 2椭圆方程为:(2)设 P(x1，yj, Q(X2,y2),由(1)可得：M 0,1 ,F 1,0kM -1, F PQM 的垂心MF _ PQ丄=1kMF由F PQM的垂心可得： MP _ FQMP hXi,yi-1FQ = X2 -1,讨2MP fQ x2 -1 亠 iy -1 y2 =0因为P,Q在直线y =x - m上代入可得:X x2 -1 | 亠洛 m -1 x2 m =02即 2x1X2 (X1 X2)(m-1) m -m=0 考虑联立方程：y = x + m22&

8、lt; 22得 3x2 +4mx+2m2-2 = 0 .x2 2y2 =2=16m2 -12 2m2 -20= m2 ： 34m.X1 X2 :3X1X22m2 - 23.代入可得:m -14解得：m 或m = 13当m =1时， PQM不存在，故舍去44当m时，所求直线l存在，直线I的方程为y = x 3 3小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算(或是斜2每=1(a b 0)的一个焦点是b2率关系)2X例3:如图，椭圆冷aF 1,0 , O为坐标原点(1)若椭圆短轴的两个三等分点

9、与一个焦点构成正三角形,椭圆的方程;(2)设过点F且不垂直x轴的直线l交椭圆于 代B两点，若直线l绕点F任意转动，恒有2OA + OB < AB ,求a的取值范围.解：(1)由图可得：M0,-b由正三角形性质可得：.MFO,kMF6kMF-b-°2 2二 b c= 4椭圆方程为:A Xi，yi ,B X2，y227 OA +|OB2< AB.cosAOB =oa|2 +|ob|2 - |ab2 OA OB2<0-AOB为钝角OA OB = x1x2 y1 y2 : 0|y =k(x 1 )2 22 222 2联立直线与椭圆方程：。oo o=b 2 2 2 . 2 2

10、 2 2 2a k -a b k b -a b k : 0 恒成立x2 a2k2x-1-a2b2，整理可得:.2 22 222b x a y a ba2k2 b2 x2 _2a2k2x a2k2 _a2b2 =022 2, 2 2 22a ka k -a b2. 272 , x1x2 -2 2,2a k ba k b2 2 2 2 y-i y2 = k 捲 一 1x2 -1 = k x.f x2 - kx1x2k2.2 2 2 2. 2,2 a k -a b , 2 2a k , 2 -k22 2 k 222 ka2k2 b2a2k2 b2:0a2k2 a2b2 +k2b2 a2b2k2a2k

11、2b2人2y22 2 . 2 2. 2 2. 2 , 即k a b -a b : a b 恒成立2, 22,2ii,22ab-ab：；O p b a -11亠-5.2 a 一 1 一 a a -1 : 0 解得：a.a的取值范围是15,-22 2X y例4：设A, B分别为椭圆 2 -1 a b 0的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距,a b且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1（1 ）求椭圆的方程；（2）设P为直线x =4上不同于点 4,0的任意一点， 若直线AP, BP分别与椭圆相交于异于A, B的点M ,N，证明：点B在以MN为直径的圆内解：（1）依题意可得a =2c,且到右焦点距离的最小

12、值为a - c = 1可解得：a=2,c=1. b=.32 2椭圆方程为-y 14 3（2）思路：若要证 B在以MN为直径的圆内，只需证明 MBN为钝角，即 MBP为锐联立方程利用韦达定理即可用k表示出M的坐标，从而 BM BP可用k1表示。即可判断角，从而只需证明BM BP 0，因为代B坐标可求，所以只要设出 AM直线（斜率为k），BM BP的符号,进而完成证明解：由（1）可得A -2,0 ,B 2,0，设直线AM , BN的斜率分别为k，M x1,y1 ，则AM : k x 2 联立AM与椭圆方程可得:y = k x 22 23x 4y =12消去y可得:4k2 3 x2 16k2x 16

13、k2 -12 =016k2 126-8k2xAx12= x12A 1 4k231 4k23.y. = kxi 2k 挙，即 M4k 3J 8k212k,4k2 +34k2 +3设P 4,y0，因为P在直线AM上，所以yk 42=6k，即P 4,6kBP =（2,6k）BM* =广-16k212k 、,4k2 +3 4k2 +3 .BP BM =-32 k24k236k12k4k2340k24k23-MBP为锐角，一 MBN为钝角 .M在以MN为直径的圆内例5:如图所示，已知过抛物线 X3线相交于代B两点，与椭圆一y24存在直线l使得AF CF程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点F

14、0,1，设丨：y =kx 1|AF| |CF=BF DFAFBFDF，不妨设CFAF| _|DFBF| jCF|T T T TAF FB,DF FC设 A X1,y1 ,B X2,y2 ,C 化、乂 ,D X44AF - -花,1 -y1 ,FB hx2,y2 -1TTCF h-X3,1 -y3 ,FD hX4,y4 -1_X1 二'X2考虑联立直线与抛物线方程:-X3 二'X4y = kx +1x2=4y 二2x 4kX4 二 0x1 x2 二 1 - ' ?x2 = -4k-_ 2，消去X2可得:x<|X2 = - x2 = -421 _ 24k2一九y =

15、kx 1_22联立直线与椭圆方程：22=> 6x 3(kx+1)=4，整理可得:6x 3y = 43k26 x2 6kx -1 = 06kX3 * X4 二 1 ' X423k2621X3X4 = - x423k26.221 -_36k 2丸 3k +6由可得:36k23k26，解得:k2 =1= k =： 1所以存在满足条件的直线，其方程为：y二x 12 1例6：在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线x = 2 py p，0的准线方程为y ，过2点M 4,0作抛物线的切线 MA，切点为A （异于点O ），直线丨过 点M与抛物线交于两点 P, Q，与直线OA交于点NMN+MNMP

16、MQ（2）试问的值是否为定值？若是，求出定值；若不（1 ）求抛物线的方程是，请说明理由解：（1）由准线方程可得：一卩=一丄=p才2 2-抛物线方程：X2 =2y1 2（2）设切点A x0,y0，抛物线为yx22 y二x 切线斜率为X）12切线方程为：y-yoxn，代入M4,0及yosxo可得：-丄讦=x° 4 -X。，解得：X0 =0 （舍）或 X0 =82.A 8,32 OA: y =4x设 PQ : x = my 4T M ,P, N,Q共线且M在x轴上MNMNMPMQ联立PQ和抛物线方程:yN=ryPyN_ = yNyQ丄丄y yQyPyQ二 yN2 _x =2yx = my

17、4 2= my 42 y，整理可得:2 2m y8m -2 y 16 = 02 8mYp Yq2 ，Ypm16yQ 2m再联立OA,PQ直线方程:y =4xx 二 my 416MN+MN|MPMQ|例7：在L ABC中,=yN2 -8m2-jm_ =2162mA, B的坐标分别是 -.2,0 , .2,0 ，点G是L ABC的重心，y轴上ypyPyQYq161 -4m一点M满足GM /AB，且 MC = MB(1 )求ABC的顶点C的轨迹E的方程(2)直线丨：y =kx m与轨迹E相交于P,Q两点，若在轨迹 E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形(其中 O为坐标原点)，求m的取值范围解：

18、(1 )设C x,y由G是L ABC的重心可得:由y轴上一点M满足平行关系，可得M叱由MCMB可得：x2 + I2y化简可得：2 2xy1 y = 0262 2-x y.C的轨迹E的方程为：1 y = 02 6(2)/四边形OPRQ为平行四边形OR =OP oQ设 Pyi ,Q X2,y2Rx?,%y?*,*R在椭圆上2 23 花 X2yiy2 i； =62 2 2 23x1y1 厂 3x2y26X22 % y2 = 6 2 2因为P,Q在椭圆上，所以，代入可得:3xiyi =62 23x2 y2 = 66x1x2 2y1y2 12 =6二 3x1x2 yiy2 = -3 联立方程可得:y =

19、 kx m3x2 y2 =6二 k2 3 x222kmx m 6=0x-i2 kmx2_3 k2m2 _6k23-2i2Y-iY kx1 m kx2 m 二 k 论 x2 km x1 x2 m3m2 - 6k2k23代入可得:2 2 23 m2 -6 . 3m2 -6k2 k23 k232m2 二 k23222k 3 x ' 2kmx m - 6 =0有两不等实根可得:=4k2m2 -4 k2 3 m2 -6 0 ,即-3m2 6k2 18 0，代入 k2 -3m2 6 2m2 -3 18 0 m2 0= 2m2 -3另一方面：2m2 - 3 二 k2=0m2_Lm_上或m 一屋2 2

20、 2例8:已知椭圆11，直线 l 过点 A 4,0 ,B 0,2，p/1,22 2C :冷爲=1 a b 0的离心率为a b且与椭圆C相切于点P(1)求椭圆C的方程(2)是否存在过点A 4,0的直线m与椭圆交于不同的两点M,N ，使得36 AP=35 AM | AN| ?若存在，求出直线 m的方程；若不存在，请说明理由 解(1)e=c=. a:b:c=2:、,3:1a 22 2x y222.椭圆方程化为：22 =1= 3x 4y =12c4c45 再由A(4,0 )可知AP，若要求得k (或证明不存在满足条件的 k)，则可通过等式 36 AP： =35 AM| AN I列出关于k的方程。对于A

21、M AN，尽管可以用两点间距离公式表示出 AM , AN，但运算较为复杂。观察图形特点可知A,M , N共线，从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为AM , AN同向，所以 AM 'AN =AM AN。写出 3c27l 过 A 4,0 , B 0,2x y1设直线I :1=x 24 223x2+4y2 =12c2f 1、2联立直线与椭圆方程：<1消去y可得：3x2+4 I-1 x + 2 =12c2|y = -x+2l2丿I 2整理可得：x2 -2x 4 - 3c2 =0tl与椭圆相切于P.:=4 一4 4 3c2 =0= c =12 2x y椭圆方程为:1，且可解得43I

22、 3(2)思路：设直线 m为 y = k(x4 ), M (,% ),N (x2, y2 )，由(1)可得：P. 1- l 2丿的坐标即可进行坐标运算，然后再联立m与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于k的方程，求解即可解：由题意可知直线 m斜率存在，所以设直线m: y =k x -4 ,M 冷 ,N 人百由（1）可得：p ''1 3 iI 2丿3一0 二2:代M , N共线且aM,AN二 AP同向454A AM ANAMyyANf*AM AN 二 -4 x24 %y2 二 x2 %丫24 x x2 16联立直线m与椭圆方程:J3x +4y _12消去 y并整理可得：(4

23、k2+3)x2 _32k2x+64k2 _12 = 0 y = k x _42 232k64k -12x1 22, x1 X2 24k234k2336 k2 yy厂k -4 x4 二产AM AN = 64 .零4k +3 4k +3一4卓任生二4k 34k 3:36 AP=35 AMAN，代入AP2卒，AM AN二空二可得:424k 336 k2 14k2 3-二，另一方面,42 1可解得：k8若方程4k2 3 x2'32k2x 64k2 12 = 0有两不等实根则 I = 32k2 $ - 4 4k2 3 64k2 -12011解得： k :22.直线m的方程为:二手x 4 ，即:y

24、 2x - 2或42例9：设椭圆C:令笃 "a b 0的左，右焦点分别为Fi,F2，上顶点为A，过点Aa b与AF2垂直的直线交x轴负半轴与点Q，且2RF2 F2Q =0(1) 求椭圆C的离心率(2) 若过A,Q, F2三点的圆恰好与直线I : x - 3y - 3 = 0相切，求椭圆C的方程(3)在(2)的条件下，过右焦点 F2作斜率为k的直 线I与椭圆C交于M , N两点，在x轴上是否存在点P m,0使得以PM , PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出 m的取值范围；如果不存在，请 说明理由 解:（ 1 ）依题意设 A 0,b F -c,0 ,F2 c,0 ,Q x0,0

25、.£ 2c,0 民 x° c,0：2屜忌 04c x0 -c =0二 x0 = -3cQ _3c,0 -kAQ ,kAF2 - -一 由 AQ _ AF2可得:3cckAQ kAF23c=3c2 =（2 ）由（1）可得：a:b:c=2:-、3:1.A,Q,F2的外接圆的直径为 QF2，半径设为rQ _3c>0 > F2 C,01r = QF2 = 2c，圆心（c,0 ）2 /-c 一 3由圆与直线相切可得：d= =2cn c+3=4c2解得：c=1. a=2)b = '、322椭圆方程为一y i43(3)由(2)得 R -1,0 ,F2 1,0 :设直线

26、 I: y = k x-1设M x1,y1 ,N x2,y2，若PM , PN为邻边的平行四边形是菱形则P为MN垂直平分线上的点3x14 y1 -12222222= 3 X1 - X2 4 y1 - y2 =03x； 4y； =123 X1 X2 石 -X2 4 y1 y2 y-y = 0设M,N中点xo，yo-3xo 4ky° =0= y°3x04k-MN的中垂线方程为:1y - y°x - X。，即 x ky - ky° - x° = 0k1代入 P m,0 可得：m - ky0 -x0 =0= m x0 =48%X2联立方程：3X 4y =12y =k(x1 )2 2 2 2- 4k 3 x - 8k