圆锥曲线和射影几何

1、圆锥曲线与射影几何射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式 几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总 结，并给中一些较为方便的解法。例1:设点A(-1,0), B(1,0), C(2,0) , D在双曲线X2 - y2 = 1的左支上，D - A,直线CD交双曲线x2 - y2 = 1的右支于点E。求证：直线AD与直线BE的交点P在直1线x =-上。2如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将 会有意想不到的效果。我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数

2、据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：有一点A在一条双曲线内部，过 A引两条直线与双曲线分别交于B,C,D,E。连BD， CE交于点P,且P点在四边形BCDE外部。又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1连BE，CD交于点Q，连PQ，先证明：直线PQ是A点的极线。Q证明：对C于c'重合，B于b'重合的六边形DCC'EBB'用帕斯卡定理得：DC于EB的交点Q,CC于BB的交点M ,C E于DB的交点P三点共线 同理P，Q，N三点共线所以P，Q，M，N四点共线。又因为BC是M的极线，DE是N的极线，所以MN是BC

3、与DE的交点A的极线，即 PQ 是A的极线。回到原图，由极线的定义与性质得 OA- PQ,且FAGH为调与点列。有了前面的铺垫再证例1就简单了。证明：过P点作PH X轴，则PH是C点的极线，AHBC为调与点列因为 A（-i,o）, B（i,o）, C（2,0）1所以H （ ,o）2即P在直线x = 1上2关于极线的知识，下文仍有用到，这里不再叙述。例2： M是抛物线y2 = 2 px（p - 0）的准线上的任意点，过 M点作抛物线的切线l1，l2，切点分别为A, B（A在X轴的上方）。（1）求证：直线AB过定点。（2）过M作X轴的平行线I与抛物线交于P,与AB交于Q.证明MP二PQ。证明:(1

4、) 同例一，我们很容易得到 AB是M的极线。在准线上再取一点 N，过N点作抛物线的切线| |4,切点为C ,D ,CD为N的极线34所以AB，CD的交点E的极线为MN即直线AB过定点E(2) 易得M , P，Q,以及I与抛物线另一端的交点M为调与点列。0因为M是无穷远点Q0所以MP二PQ,证毕。仿射几何是射影几何的“子几何”，相对与射影几何，仿射几何有着更为丰富的性质。例3:已知椭圆 空仏 =1，求这个椭圆内接三角形的面积的最大值。a2 b2对于例3，因为面积不是射影不变量，所以我们不能单单用射影变换来解题。我们可以对变 换的条件加以限制，使之变成仿射变换，欧式平面上两个几何图形的面积比是仿射

5、不变量。证明：我们把平面直角坐标系中的每一个点(x,y) 变成 (x',y') ，其中10显然，当'P Q M为正三角形时，面积最大。3、3 2此时S p q ma24根据仿射变换的性质,S PQM所以S PQM二ab例4:作斜率为1的直线I与椭圆C3:x2= i交于a，b两点，且36 4P（32,2）在直线的左上方。求证：PAB 的内切圆圆心在一条定直线上。证明：由于关于椭圆的计算比较烦杂，我们仍对椭圆作仿射变换。10我们把平面直角坐标系中的每一个点(x,y) 变成 (x',y') ，其中1520猜想这条定直线平行于 Y轴作PH垂直于X轴，与AB交点为C，过P点作X轴的平行线与AB交于D。若猜想成立，由于CPD = 90，则 ACBD 为调与点列现在证明 ACBD 为调与点列：设 C(3、2,a)，易得 D(6i 2 - a,3 2)，yOC = a- x3/2过过D点作DE - OC ,垂足为E，DE将两条直线方程联立，解出32x36E的横坐标为108 218+a2所以 OC OE 二 (32)2 a2所以D的极线过C点，即ACBD为调与点列由于 CPD =90 ，则 APC 二