微积分II一些补充知识和技巧_百度文库

1、定积分部分一、第一积分中值定理【定理】：设f(x)、g(x)在a,b上连续，g(x)在a,b上不变号，则至少存在一点 氏(a,b),使得？ ba f(x)g(x)dx=f( ? g(x)dx。注意取g(x)=1即可以得到我们熟悉的积分中值定理。 ab【用途】：处理一些定积分证明题可以用上。二、一种含变量x的积分上限函数的求导公式? f(t)g(x)dt'=g'(x) ? f(t)dt+g(x)f(x)aaxx三、函数和原函数之间的关系1、周期函数的原函数不一定是周期函数【举例】：y=cosx+1的原函数是y=sinx+x，不是周期函数。【推论】周期奇函数的原函数一定是周期函数。

2、(证明略)。2、 奇函数的原函数组(即不定积分C取任何值)都是偶函数，但偶函数的原函 数组中只有一个是奇函数。四、几个重要的广义积分结论1、? +x0e-pxdx=+ % lwpx(p>0) 2、? esinwxdx=2 (p>0； w>0) 20pp+w2、?+x 0ex21 ndx= (lnx)ndx=(-1)n! < 1 4、? 02五、周期函数的定积分技巧(可用来快速解决课本上一道较难的周期定积分题) 设周期函数周期为T,周期函数为f(x)有：1、2、?a+TanTf(x)dx=? f(x)dx (周期函数任意一个周期内的积分是不变的) 0T? 0f(x)dx=

3、n ? f(x)dx (n 是正整数)0T3、 设f(x)是以周期T为周期的周期函数，则它的积分上限函数F(x)= 为周期的周期函数的充要条件是：T? xaf(t)dt也是以T? f(x)dx=0 (即函数在一个周期长上的定积分为0) 0六、 一个非常OP的定积分变换等式(处理一些复杂问题时常用)定理：？b af(x)dx=? f(a+b-x)dx ab几何解释：曲线y=f(x)和y=f(a+b-x)关于直线(a+b)对称。七、一个定积分计算体积的公式f (x)在a,b上与x轴围成的曲边梯形(f(x)>=0 )绕y轴旋转一周的体积公式：V=2n? baxf(x)dx (证明方法略)多元函

4、数微积分部分一、二次极限和二重极限【定理】二重极限大家都知道，就是二元函数的极限。这里不介绍。二次极限的 定义我们也不介绍没必要了解，只要知道二次极限的计算方法和它与二重极限的 关系：二次极限的计算方法：求函数f(x,y)在点(x0,y0)处的二次极限，则先将y固定，即求：Xx0limf(x,y)=g(y)，再求limg(y)，这样得到的答案为二次极限。yy0注意二次极限有两个值，一个是先 x再y得到的limlimf(x,y)=A,另一种是先y再x得 xx0yy0到的limlimf(x,y)=B。现在再设二重极限limf(x,y)=C，现在叙述它们的关系：yy0xx0xx0yy01如果A、B都

5、存在且AMB，二重极限C不存在。(常用定理)2、 如果C存在且A、B中至少有一个存在，则二重极限 C= (A、B中存在的那 一个)。3、如果A、B、C均存在，则A、B、C均相等。4、 如果A、B存在，但C存在与否并不知道，那么即使 A=B，也不能判断C存 在。【注】弓I入这个二次极限的处理是因为咱们书上的二重极限求解方法经常涉及到 放缩，放缩需要比较高的思维水平，难度较大。而二次极限的方法要简单一点， 处理起来要快。二、多元函数几个概念之间的层次关系【注】：箭头都是单向的。没有箭头的两个概念之间，除了上层推下层以外，无 相关关系。例如可偏导和有极限之间并没有必然关系。无穷级数部分一、数列中的斯

6、托尔茨定理【定理】设数列yn单调递增，且limyn=+ ,则当limn xnyn存在或为x时，有：nx xn-1-yn-1limn x xrnyn=lim n ynn x -1-yn-1【推论】1、若limxn存在，则limn x x1+x2+? xn=limxn (数列前n项算术平均值的极 限=数列nxnxn的极限)2、若limxn存在且xn>0，则limx1x2 ? xn=xn (正项数列前n项的几何平均值的 极 nxnx限=数列的极限)3、 若 limxn+1x 存在且 xn>0，贝U limxn=limn+1 n xxnx nxxnn【注】斯托尔茨定理可以用来计算一些难度较

7、大的无穷级数的极限。二、p级数和交错p级数的收敛情况【注】：p级数和交错p级数常用在无穷级数问题处理之中，故在此做出分析：1、p级数【公式】：1【收敛情况】：当p>1时收敛，当p<=1时发散。Epn=1nx2、交错p级数【公式】：(-1) n-11 E pnn=1x【收敛情况】：当p>1时绝对收敛；当0<p<=1时条件收敛；当p<=0时发散。【注】：交错调和级数(-1)n-11=ln2< 1 E n=1nx三、积分审敛法【定理】设函数f(x)在1,+ x上非负且连续，则正项级数 Ef(n与广义积分? f(x)dx 有n=1 x +x相同的敛散性。【注】

8、由于函数的定积分比数列的和更容易去求，所以积分审敛法适用于不太好 处理又不能求和后审敛的无穷级数的敛散性判断。四、正项级数里面常用的几个不等式关系（用来判断敛散性）【注】：下列级数都默认为正项级数。1、unvn<un+vn2、un 1? 21? < un+2 vn2 vn?23、（un+vn） < 2un+vn 22（）uvu+vn4、 n2+n 2>n（权方和不等式推导）aba+b22五、判断一个任意级数收敛的步骤总结六、三个常用p级数的和g 1 n21、刀2= 2 E-1）n6n=1 n=1 d1 n 2 =2n123、1=lnn+C （C=0.5772,C叫做欧拉

9、常数，为无穷不循环小数）刀n=1 ng七、幕级数中的阿贝尔定理1、若刀axn=0gg nn收敛，且|x|v|x0|,则刀axnn=0gg绝对收敛。2、若刀axn=0nn0发散，且|x|>|x0|,则刀axnn=0r也发散。【注】：这个定理是告诉我们，对于一个幕级数，比收敛的点更接近原点的点， 也是收敛点。比发散的点更远离原点的点，也是发散点。这个定理可以用来快速 判断一些点的敛散性。八、缺项的幕级数的收敛半径的确定方法【定理】若幕级数缺项，即成如下形式：axnn=Omn+k则先（m是正整数，k是非负整数）求刀anx的收敛半径nn=01 p,则此时可以得到刀anxmn+kn=0X1九、幕级

10、数求和以及函数展开成幕级数中的几个常用级数和技巧1、（ 1）先积分再求导（2）先求导再积分2、一些常见的幕级数综合关系式（记住其中几个常用的就行了）豐克忘込合抵-+ «+ S *r*,J# 11 1 - 1 ! 口基一-«<j< + g盒，（2"-Ul1 «<#< x)*x 'Av 1占21 ! 1 a * j+ *-1<X<1“*一1*严< 牙一11 * *< "-1<*<|于艮，1 KxClctou * i*亠玄占二.(ImH! 2k + 1- *1<J<1&q

11、uot; 宜,4u- - ' 2+ 3* *-«>< >< 4- dodu" J -l+ +J- + «B< j： < * m微分方程部分一、伯努利方程的通解形式（最好掌握推导方法，掌握不了就背这个通解结论）| yr = ”斗 c）【注】：二、全微分方程（恰当方程）的微分解【定理】以二阶为例，设某个二阶函数 u（x,y）的偏导数？u?u=A,=B （ A， B不一定 是常?x?y数，也可能是含x,y的表达式），则这样一个微分方程：Adx+Bdy=O就叫做全微分方程。这里直接给出求其通解的结论，不进行推导：通解（其中 p（x,y）=A;Q（x,y）=B）:也可以写成：【注】：如果没有指明x和y的范围，则认为表达式中（xO,yO）=（O,O），即从原点 出发。（由于涉及到高等数学中的曲线积分的知识，这里不去叙述 xO,yO是什么 意思）所以对于一般情况下，只要没给定 x,y的取值范围，其通解就可以进一步 写成：？xOP(x,O)dx+? Q(x,y)dy=C 0y全微分方程(恰当方程)在处理一些比较复杂的微分方程中有奇效，举个例题：【题】：求该微分方程的通解：(x-y)dx-(x-y)