2.2.3向量数乘运算及其几何意义(2011.5.4第十二周星期三)

1、2.2.32.2.3向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: :aAbBCba aaAbBbOCba 特点特点:首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连特点特点:共起点共起点b a b Ba ABAab O特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减数共起点，连终点，方向指向被减数2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: :3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则: :讲授新课讲授新课思考题思考题1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 a, aaa( a)( a)( a)? a OAa Ba Ca NMQPa a a OC OA

2、 AB BC a a a 记记:aaa3a即即:OC3a. 同理可得同理可得:PN( a)( a)( a)3a 思考题思考题2: 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 3a a a 3a (1)向量向量 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即3a a a 3a 3a3 a . (2)向量向量 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即3a a 3a a 3a3 a . 向量的数乘运算的定义：向量的数乘运算的定义：1()()aa （）3()abab

3、（）2 ()aaa（）实数与向量积的运算律实数与向量积的运算律分配律分配律分配律分配律 1 ; 2 ; 3 . aaaaaabab(-)(-)a a= = -(-(a a)= (-)= (-a a) )(a a- -b b)= )= a a-b b数乘的运算律例5: 计算(1) (-3) 4a(2) 3(a+b)-2(a-b)-a(3) (2a+3b-c)-(3a-2b+c)=(-34)a=-12a=3a+3b-2a+2b-2a=5b=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c ab对于向量和，以及实数2 ?abba问题 ：如果向量与共线，那么是否存在一个实数 ，使1 baab 问题 ：

4、如果 ,那么，向量与是否共线？ba2) 可以是零向量吗可以是零向量吗?思考思考:1) 为什么要是非零向量为什么要是非零向量?共线向量基本定理：共线向量基本定理： 向量向量 与非零向量与非零向量 共线共线当且仅当当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数 ，使得，使得ababab )0(三点共线、CBABCBCAB(2)证明三点共线的问题证明三点共线的问题:定理的应用定理的应用:(1)有关向量共线问题有关向量共线问题:例6: 如图,已知任意两个非零向量a,b,试作2 ,3OAOBOC a+b,abab 你能判断 A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?abOaABC 2ABOBOA ababb 32A

5、COCOA ababb2ACAB 所以,A、B、C三点共线b2b3b判断下列各小题中的向量a与b是否共线 12 ,2 ; ae be 12122,22. aee beea=-ba=-2ba,b共线a,b共线练习：P90 4向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有1212 abab例7: 如图, 的两条对角线相交于点M,且ABCD=ABADMA MB MCMDa,b,a,b 、 、你能用表示和ADCBabM解：在ABCD中-ACABADDBABADaba b 平行四边形的两条对角线互相平分11112222MAAC a+bab11112222MBDBa -bab 111222MCACab 111222MDMBBD ab 化简 1 5 324 23;11122323423-xyxya - bbaabababaa=3a-2bba311211=2ya课堂练习：P90 1、2、3、 5、6一、实数与向量的积 ；二、实数与向量的积的运算