数列求和的解题方法及技巧

1、数列求和的解题方法及技巧研究数列求和，首先要注意：数列的特征，认清是否是我们熟悉的数列：等差数列和等比数列公式法：等差等比的求和公式（略） 1+2+n= 1n(n+1)12+22+n2 = 1n(n+1)(2n+1)26 13+23+ +n3=(1+2+ +n)2= 1 n2(n+1)24预热：1、求等差数列-3，-1，1，3， 的前 n 项的和。 2、求数列 1， 2，4， ，2n 的和、求等比数列2n-1 的和4、若a1 ,n 1求数列的前n项的和31,x,x , ,x4n 2 , n 2在应用公式求等差、等比数列的和时，要注意：认清特征、数清项数、分清条件、记清公式典型例题求和： 1+(

2、1/ a)+(1/a2)+(1/an)（区分 q 值，分 a=1和 讨论）a 1除此之外，还有一些特殊的数列也可以通过一些方法来求数列前n 项的和一、分组求和法：若数列 an 的通项可转化为 an =bn +cn 的形式，且数列 b nc n 可求出前 n项和 S +Tn。n例： 1、求数列1111 )的前n项的和、求数列的前n项的和1,3,5,( 2n19,99,999,2 n2248练习： 1、求数列1,3,5,7, (1)n(2n1) 的前 n 项的和（也可用并项求和法）2、求数列 1,12,1222 ,12 2 223 ,1 22n 1 的前 n 项的和3、求数列 ( x1) 2 ,

3、(x 212 )2, (x n1n ) 的前 n 项的和（世纪金榜第39 页例 10 类似）xxx二、裂项相消法：将数列的每一项拆 ( 裂开 ) 成两项之差 , 使得正负项能相互抵消 , 剩下首尾若干项 . 常见拆项公式有：111 ，11 ( 11 )，11 (11),n( n 1) n n 1n(n k ) k n n k( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1n(n12)1 (11)( n1)1)(n2 n(n1)(n 2) n n! (n 1)! n!1n 1n ,11b ), ( a b)1naba( anb例： 1、求和 Sn111。 2、求和Sn1111223n(n133

4、 5(2n 1)(2n 1)1)3、数列 (n1) 21的前 n 项的和。 4、求1,1,1,1的前 n 项的和( n 1) 21121231 2 3n练习： 1、求数列2的前 n 项的和。n1n三、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，则将数列的每一项都作相同的变换 , 然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减.例等比数列求和公式的推导 .例1、求数列 13,52n1项的和。 、求数列1,2x,3x23,nxn1的前 n项和。2,2n的前 n2,4x48练习 已知数列 an是等差数列 ,1123求数列 an且 a =2, a +a +a =12,

5、前项和的公式。（改成呢？）的通项公式，令 nnn求数列nn3x(2)b =a 3 , b 析： an=2n.Sn3(13n )n 3n 1 ，3 改成 x 后要对 x 进行讨论是否为 12四、倒序求和法：将数列的倒数第k 项 (k=1, 2, 3,)变 为正数第 k项 ,然后将得到的新数列与原数列进行变换 (相加、相减等 ).例等差数列求和公式的推导 .例已知 lgx+lgy=a,且 Snn+lg(xn-1y)+lg( xn-2 2n求n=lgxy )+lgy ,S .析倒序求和法 Snn(n 1) lg( xy)n(n1) a 。或对数的运算性质求解22练习世纪金榜 P40 例 14五、分段

6、求和法：如果一个数列是由具有不同特点的两段构成，则可以考虑利用分段求和。例 求等差数列 200，199 2 ， ， -100 的后 400 项的绝对值之和。3易知 ann301 ，令 an0 可得 n301, 所以3Sna1a2a3a400( a1a2a3a300) ( a301a400 )16700练习： 世纪金榜 P40 例 14练习：1、求11,41 ,7 1,( 3n 2)1n 的前 n 项的和24822、设 ak =12+22+32+ +k2，则数列3 ,5, 7,的前 n 项的和 Sn。a1a2a33、求和 Sn1(11 )(111 )(11121n 1 )224244、求数列 n(n+1)(2n+1)的前 n项和 Sn .5、数列 an 中， an12n，又 bn2，求数列 bn 的前 n 项和。n 1 n 1n 1an an 16、已知递增的等比数列 an 前 3项之积为 512, 且这三项分别减去1,3,9后又成等差数列,求数列 n的前 n项和 .an7、求数列 2,2,2,122的前 n