微积分总复习

1、精品微积分总结第一部分函 数函数是整个高等数学研究的主要对象，因而成为考核的对象之一。 特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。一、重点内容提要1 、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里要特别注意两点：两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。分段函数是一个函数而不是几个函数。求函数的定义域： （答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合）主要根据：分式函数：分母0偶次根式函数：被开方式0对数函数式：真数式0反正（余）

2、弦函数式：自变量x1感谢下载载精品例1求函数 yxx的定义域。例 2求函数ln ( x2y)的定义域。4x 2y2例 3y =2x 的定义域1- 2x例 4y ln( x23x)arccos x在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。2 、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。3 、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。4 、关于复合函数定义将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数，这在求导和积分类型题中是不可避免的。1指出 y sin earctanx的复合过程5 、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到6 、注意初等函数的定义。 注意

3、分段函数不是初等函数。二、典型例题类型题 1 、求函数定义域4x例 1求函数f (x)lg( x1)的定义域 .解要使函数表达式有意义，x 要满足：感谢下载载精品4x0x4x10即x1lg( x1) 0x2所以函数的定义域为（1， 2）（2，4 .例 21,0x1求函数 f(x)=1x的定义域 .1,2解函数 f(x) 的定义域是 0 ， 2.小结：注意，对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。如 : (1) 函数 f (x)x1 x 2 的定义域是；(2)函数 yln x1 定义域是x1(3)函数 f ( x)log 2 (2 x1)+arcsin(1-x) 的定义域类型题 2 、函数

4、值与函数记号例设 f(x)=1，求（ 1 ） f(x-1) ；（ 2 ） f 1；（ 3 ） f f 1.x1xx解 （1 ）f(x-1)=111) 1x( x（2） f11x=x1x11x（ 3 ） f f 1=fx1x1xx 1x12 x1x1感谢下载载精品第二部分极限与连续作为高等数学研究的基本工具，求函数极限和讨论函数的连续性乃是考核的基本类型题，要引起注意。一、重点内容提要1 、函数极限的求法，注意单侧极限与极限存在的充要条件。2 、知道极限的四则运算法则3 、熟练掌握两个重要极限4 、关于无穷小量（ 1）掌握无穷小量的定义，要特别注意极限过程不可缺少。（ 2）掌握其性质与关系无穷小

5、量的判定也是一个比较重要的问题x 0, 下列那些量是无穷小量例： tan x3, x sin x,sin x1, x cos x, xx, x sinxx5 、掌握函数的连续性定义与间断点的求法（ 1）掌握函数的连续性定义（ 2）掌握间断点定义（ 3）掌握并会用单侧连续性（ 4）掌握初等函数的连续性的结论6 、掌握闭区间上连续函数的性质感谢下载载精品（ 1）理解最大值和最小值定理，即在闭区间上连续的函数，必能在其上取到最大值和最小值。本定理主要为求函数的最值做必要的铺垫。（ 2）掌握介值定理的推论 - 零点定理。本定理主要用于判定一个方程根的存在性。二、典型例题求函数极限常用方法有：利用极限的

6、四则运算法则求极限，利用初等函数的连续性求极限；利用两个重要极限求极限；利用洛必达法则求极限等。类型题 1 、利用极限的四则运算法则及初等函数连续性求极限lim f (x)lim (an xnan 1 x n 1a1xa0 )例 1xx0x x0an x0 nan 1 x0 n 1a1 x0a0f ( x0 )0nmlimpn ( x)an xnan 1 x n 1a1xa0annmlimmm 1例 2xqm ( x)xbm xbm 1 xb1 x b0bmnmp( x0 )0q( x0 )q(x0 )limp( x)0 (洛比达法则 )p( x0 ) q(x0 ) 0例 3 x x0q( x

7、)0p( x0 )0； q(x0 )0例 1求 lim x 2x32x 1x11解注意到 x1 使分子和分母都为零，可通过约去公共零因子的方法解决，我们有limx 22x 1( x 1) 2= limx 1x31= lim0x 1x 1 (x 1)(x2x1) x 1 x2x 1注：约去零因子后，x1成为连续点，便可以利用初等函数的连续性求极限了。感谢下载载精品例 2求 lim2x13x22x 4解同上题，设法分离出零因子，然后消去。有lim2x13= lim(2 x13)(2x13)(x22 )x 4x22x4(x22 )(2x13)(x22 )2x232(x22)12x8x22= lim=

8、 lim22x 42x 1 3x 4x 22 (2 x 1 3)x 4= lim 2( x22)2 2222x 42x13333类型题 2 、利用两个重要极限求极限重要极限一及其推广形式lim sin x1 ，推广形式lim0sin (x)1x 0x( x)(x)lim sin x1lim sin x0注意比较以下四个极限x0xxxlim x sin x0lim x sin x1x0x例 2求下列函数的极限：（1 ） limsin 3x；（ 2 ） limsin3x .x 0xxx解（1 ） limsin 3x= limsin 3x3令t3xlimsin t 3 1 33 .x 0xx03xt

9、0t（2 ） limsin 3x= lim1 sin 3x=0（因为 lim10，而 sin3x是有界函数）xxxxxx例3 求 lim1xsinxx1sin 1令t1/ xsin t解lim xsin= limxlim1.xxx1t 0tx重要极限二及其推广形式感谢下载载精品x例 1求 lim 12xxxx 2122222解lim1= limlim 1 u ux1令 u= 2 / x =exxxu 0例lim sin 2 xlim sin x sin x 0x0xx0x(07. 二 .6)极限 lim ( x1) xxx1类型题3 、利用无穷小量的性质求极限x 2 sin1xsin10例1l

10、imsinxxlimsinxx0x 0x 01x例 2limsin 2 xsinx1? 00limsinxx 0xx 0xsinxsinxsin 111例3limlimxlim xsinxlimxxxlim xsinx 0xxxx 0x类型题 4 、利用洛必塔法则求极限例limcosx - cosalim- sinx01x - a1x0x0ln(11)-11x 1x2例2xlimx 2?limlim1221xarccotxx11xx1xxx例3lim xlnx例4 lim ( 1x1)例5 limxsin xx0x0xe1x 0例6x2 t2 dt求极限lim00xxt (1sint ) dt

11、0感谢下载载精品类型题 5 、判断函数在指定点的连续性（连续的定义要明确）cos x1例 1判断函数f (x)x2,x0,处的连续性。1在 x=0x0,22(sin x ) 22cos x 1sin x1解因为 lim f(x)=limlim2= lim2x2x2x2x 0x 0x0x021= .21又因为f(0)=，所以函数 f(x) 在 x=0处连续 .2(07. 二 .7)设 f ( x)x1 2处连续， 应补充定义 f(3)=_x，要使 f ( x) 在 x=33函数在某一点是否有定义、是否有极限、是否连续、可导、可微之间的关系小结判断分段函数在分界点处是否连续，首先要判断函数在该点处

12、的极限是否存在，然后考察 f(x) 在该点的极限值是否等于函数在该点处的函数值，若相等，则函数在分界点处连续，否则就不连续。类型题 6 、求函数的连续区间1例求函数 f(x)=的连续区间。3 x2 3x 2解 因为 f(x) 的定义域为 x2 3x+20 ，即 (x-1)(x-2)0 得 x1 且 x 2 。所以函数 f(x) 的连续区间是,11,22,小结由于一切初等函数在其定义域内都连续，因此要求初等函数的连续区间也就是求它的定感谢下载载精品义域。类型题 7 、求函数间断点。1例 1求函数 f(x) x22 的间断点。解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。使 (x+2) 2=

13、0 的点为 x= 2 ，x= 2 是函数 f(x) 的间断点。( x2)(x1)例 1求函数 f(x) 的间断点。x 2 ( x 3)解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。使（ x-2 ） (x-3)=0的点为 x= 2 ， x= 3x= 2 ， x= 3 是函数 f(x) 的间断点。类型题 8 、判定方程根的存在性例 1 证明：方程 x 54x10 至少存在一个实根。证：设 f ( x) x54x1，则函数 f (x) 是定义在整个数轴上的初等函数，故在区间 0,1上 连 续 ， 且 有 f (0) f (1)( 1) (4) 0,，由零点定理知，至少存在一个点xc (0,1)

14、, 使得 f (c)0, 或 c 54c 1 0, 即方程 x 54x 1 0 至少存在一个实根xc.小结：这类证明题一般都是先行设一个函数，这个函数通常是将给定方程的非零项移至方程的一侧所形成的。然后通过方程观察使函数值异号的两个不同点，这两个点做端点就可以形成一个区间。 如果所设函数在此区间上连续，问题便转化为利用零点定理的证明问题了。当然，本题的区间可以不取0 、1 而取 0 和 0.5 、 0 和 2 等做端点，同样可以证明之。取0感谢下载载精品和 1 只是因为计算简单罢了。第三部分导数与微分求函数的导数与微分自然是作为高等数学（即微积分） 考核的主要内容，应该做到十分熟练。其考核比例

15、为30% 。一、重点内容提要1、掌握导数的定义和几何意义f ' ( x0 )lim0ylimf ( x0x)f ( x0 )lim f ( x)f (x0 )xxx0xx x0xx0f ' ( x)limylimf (xx)f ( x)x 0xx 0x2、熟练掌握求导方法（ 1）熟练基本初等函数的导数公式（按照所给的规律性成对记忆）（ 2）掌握导数的四则运算法则感谢下载载精品（ 3）熟练掌握复合函数的求导法则（ 4）掌握隐函数的求导法则（ 5）熟练掌握高阶导数的求法（以二阶导数为主）二、 典型例题类型题 1 、求显函数的导数例 1求函数 y=x 3+ 3 xcos x +arc

16、tanx+ln2,求 y' 的导数；121解 利用基本求导公式和四则运算法则，=3x 23y'+xsin x1 x 23例 2设 y=e -3x +ln(2x3+1),求 y' .解 先利用四则运算法则有y=（ e -3x） /+ (ln 2x 31 )'再分别使用复合函数求导法则，即得y / = 3e -3x +16x22x31= 3e -3x+6x2312 xarctan1例 3 ysinex求 y'类型题 2 、隐函数求导方法例 1求由方程 x2-xy+y 2 =7所确定的隐函数yf ( x) 在点 (2,-1)dy处的导数。dx解方程两边对 x

17、求导有： 2x-(y+xy' )+2yy' =0解得y2 x，于是有y' =x2 y感谢下载载精品y'2, 1y2x52yx ( 2, 1)4类型题 4 、取对数求导法例 1y xxxaa xa a(a 0) 求 y'例 2yxsin x求 y '例 3( x2)( x5) 3求 y'y4( x7)x4类型题 5 、求函数的微分补充：设 y=x21(arctgx) 2，求 dy.112x2arctgx1x2arctgx解： y1 x221 x2221 x1 xdy= y dx(xx22arctgx2 ) dx11x例设 y=xy+e y求

18、 dy.解注意到函数 y 是由二元方程所确定，方程两边对x 求导：得y' =y+xy' +e y y'y' =yx eyy1dy=dx.1 xe y小结求函数 y=f(x)的微分，只要求出f(x) 的导数 f ' (x) ，再乘以 dx就可以了，即 dy= f ' (x)dx 。故这里仅此一例足以了类型题 6 、导数的几何应用例 1求抛物线y=x 2 上点1 1, 处的切线方程 .2 4感谢下载载精品解y'12 x11（点 (1 , 1 ) 在曲线上），x242x2抛物线 y=x 2 上点1 , 1处的切线方程为24y 1=1 x142即

19、 4x+4y+1=0.注意在求曲线的切线方程时，要特别注意所给点是否在曲线上。感谢下载载精品第四部分导数的应用一、重点内容提要1 、掌握罗必达法则2 、掌握函数增减性的导数符号判别法（ 1）函数单调性的判断定理（ 2）单调区间的确定3 、掌握函数的极值及其求法4 、知道曲线的凹向与拐点 ,掌握曲线凹向的判别法与拐点的的求法5 、掌握函数的最值的求法二、典型例题类型题 1 、求未定型的极限例 1求极限 limexe2x2 ：x 0sinx解lim exe x2 （呈 0 型） = limexe xlimexe xx 0sin 2x0x 02sin x cos xx 0sin 2x(仍呈 0 型

20、)=limexe x1 110x02 cos2 x2例 2求下列函数的极限：（1 ） lim （1-x ） tanx（ 2） lim21；.x 12x 1x 1ln x感谢下载载精品解：（1 ）lim（ 1-x ）tanx（呈 0型）= lim1x （呈 0 ）= lim1x12x 1x0x 12 xcotcsc2222 sin2x2= lim2.x1(2)limx11（呈型） =limx ln xx1（呈 0型）x1xln xx 1( x1) ln x0=limln x11= limln x1=1x 1ln xx1x 1ln x 12xx小结（ 1 ）罗必塔法则既不是万能的，也不一定是最简的

21、。（ 2 ）罗必塔法则可以连续使用，但每一次使用前都必须检查是否满足法则的条件，只有三个条件都满足了，才能继续使用。（ 3 ）使用罗必塔法则时，要及时化简。类型题 2、函数单调性的判定和应用例求证 2 x >3-1 （ x>1 ）x证明设 f （ x） =2x - 3111x 31，则 f '(x)=x2x2xx当 x>1 时f' (x)>0故 f（ x）单调增加，于是有当 x>1时 f (x)>f(1)=0即 2 x - 311>0 即2x >3-xx注意： 了解和总结利用单调性证明不等式的步骤是必要的。类型题 3、函数的极值例

22、求函数 y x3x1 的极值点及极值解函数的定义域是（-，+）y'3 x 1 +x1) 2=4 x333(x33(x1) 2感谢下载载精品令 y' =0 得驻点 x= 34又在 x=1 处函数的导数不存在。x3331(1,+ )(- ,)(,1)444y'一0+不存在+y极小值点3 是函数的极小值点，其极小值为f （ 3 ） =331x=。4444类型题 4、函数的凹向与拐点例讨论 y2x33x2x2 的凹向，并求拐点。例讨论曲线 f(x)=2x32（ a>0 ）的凹向，并求拐点。x3a解3x2( x 23a2 ) 2x x3x49a 2x 2f ' (

23、x)( x23a 2 )2( x23a 2 )2f4x318a2 xx 23a 2 2x 49a2 x22 x23a 22 x(x)=x 23a246a 2 x( x 29a 2 )=3a 2 3x2令 f ' (x)=0 ，得 x1=0 ， x2 =-3a ， x3 =3a函数无二阶不可导点，f(x) 的定义域为（-， +），列表x(- ,-3a)-3a(-3a,0)0(0,3a)3a(3a,+)y+00+0y拐点拐点拐点感谢下载载精品类型题5、函数的最值例 求 y2x 33x 21,4 的最大值和最小值。例设某商品的需求函数为QP=10-，成本函数为5C=50+2Q，求产量多少时总

24、利润L 最大。解P=10-Q， C=50+2Q ，R=PQ=10Q-Q 2，而55L=R-C=10Q-Q 2-50-2Q=8Q-Q 2-50552Q=0得唯一驻点 Q=2020Q=20 是极大值点令 L' =8-。又L =-55当产量 Q=20时总利润L 最大 .例 求平衡价格感谢下载载精品第五部分不定积分不定积分运算是求导函数运算的逆运算，更是求定积分的基础，务求熟练。当然，求不定积分也是考核内容。一、重点内容提要1、（ 1 ）了解定义（2）掌握性质：（ 3）熟悉基本积分表2、理解并掌握换元积分法3、掌握分部积分法1 、原函数：F ( x)f ( x)则称 F（ x）为 f （ x）

25、的一个原函数。2 、不定积分：概念： f（ x）的所有的原函数称f（ x）的不定积分。f ( x) dxF (x)C注意以下几个基本事实：f (x)dxf (x)f ( x) dxf ( x)Cdf ( x)dxf (x)dxdf ( x)f ( x)C性质：af ( x)dxaf (x)dx(注意 a0)f (x)g( x) dxf ( x)dxg( x)dx感谢下载载精品基本的积分公式：教材P2063 、定积分：定义几何意义性质：求定积分方法：牛顿莱布尼兹公式二、求不定积分或定积分：可供选用的方法有 直接积分法：直接使用积分基本公式换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法分部

26、积分法二、典型例题类型题 1 、利用某些恒等变换化为积分表中的公式直接积分例 1求不定积分x22 dx1x解x21 1dx = 11dx =x-arctanx+c.原式 =x2x211类型题 2 、利用第一类换元法求积分例 1求不定积分sin 3xdx.解1令u 3x1sin udu1sin 3xdxsin 3xd (3x)3cosu c33感谢下载载精品代回变换1 cos3x c.3例 2求不定积分x 1x2 dx ：解x 1 x2 dx = 11131 x 2 2 d (1 x 2 )1x2 2 c23例 3求ln x dx.xln x dx123ln x 2 d ln x解ln x 2c.x3类型题 3 、利用第二类换元法求积分例x2dx.求x2解令 2xt ，则 x=2-t2， dx=-2tdt代入原式得原式 =2t 2 2(2tdt )2 (44t 2t 4 )dtt=-24t4t315c2(60 20t234 )c3ttt