XX八年级数学复习资料：一元二次方程根与系数的关系

1、XX 八年级数学复习资料：一元二次方程根与 系数的关系.理解一元二次方程的根与系数的关系。.会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一 个根求出另一个根与未知系数。.会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。考点讲解.若一元二次方程axA2+bx+c=0的两根为x1,x2，则x1+x2=-b/a,x1?x2=c/a。.以x1,x2为根的一元二次方程是=0,展开代入两根和 与两根积，仍得到方程axA2+bx+c=0。.对二次项系数为1的方程xA2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p,x1?x2=q。反之，以x1,x2为根的一元 二次方程是：=0，展开代入两根和与两根积，仍得

2、到方程：xA2+px+q=0。.一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和 或两根积的关系求另一个根。已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个 根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得 另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、 两根积的某些代数式的值。验根、求根、确定根的符号。已知两根，求作一元二次方程。已知两数和与积，求这两个数。解特殊的方程或方程组。对于一元二次方程当判别式厶=时，其求根公式为：;若两根为当0时，则两根的关系为：根与系数的这种关系又称为韦达定理；

3、它的逆定理也是 成立的，即当时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强， 应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学 学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理 解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式 存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分 析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1:已知关于的方程有两个不相等的实数根，且关于的方程没有实数根，问取什么整数时，方程有整数解？分析：在同时满足方程，条件的的取值范围中筛选符合条件的的整

4、数值。解：方程有两个不相等的实数根， 解得方程没有实数根，解得 于是，同时满足方程，条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程为无整数根；当时，方程为有整数根。解得：所以，使方程有整数根的的整数值是O说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的 基础，正确确定的取值范围， 并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定 的逻辑推理，从而筛选出这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1:不解方程，判别方程 两根的符号。分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知， 可据此求出根的判别式，但只能用于判定根的存在与 否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解

5、答此题的关键是：既要求出判别式 的值，又要确定或的正负情况。解：/ =4X2X =650方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为 V0原方程有两个异号的实数根。说明： 判别根的符号， 需要把“根的判别式”和“根与 系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中V0,所以可判定方程的根为一正一负；倘若0,仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、 已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字 母系数的值。例2:已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义， 把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元 二次方程的根与

6、系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：解得：方程的另一个根为4,的值为3或一1。解法二：设方程的另一个根为根据题意，利用韦达定理得： 把代入可得：把代入可得：即解得方程的另一个根为4,的值为3或一1。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3:已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21,求 的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得 的值。解：方程有两个实数根，:,解这个不等式，得0设方程两根为则整理得：解得：又 说明：当求出后，还需注意隐含条应舍去不合题意的。四、运用判别式及根与系数的关系解题例5:已知是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，则有 又是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系， 可得：假设同号，则有两种可能：若则有：即有：解这个不等式组，得时方程才有实树根，此种情况不成立。若则有：即有：解这个不等式组，得又当时，两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二 次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有