63等比数列典型例题及详细解答

1、1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母_q_表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1·qn1.3等比中项若G2a·b_(ab0)，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam·qnm(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN*)，则ak·alam·an.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，an·bn

2、，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_qn_.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列(×)(2)G为a，b的等比中项G2ab.(×)(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列(×)(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列

3、(×)(5)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.(×)(6)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列(×)1(2015·课标全国)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于()A21 B42 C63 D84答案B解析设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)2×2142，故选B.2设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6等于()A31 B32 C63 D64答案C解析根据题意

4、知，等比数列an的公比不是1.由等比数列的性质，得(S4S2)2S2·(S6S4)，即1223×(S615)，解得S663.故选C.3等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A6 B5 C4 D3答案C解析数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1·a2··a8)lg(a1·a8)4lg(a4·a5)4lg(2×5)44.4(2015·安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_答案2n1解析由等比数列性质知a2

5、a3a1a4，又a2a38，a1a49，所以联立方程解得或又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.数列an的前n项和为Sn2n1.5(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_答案27,81解析设该数列的公比为q，由题意知，2439×q3，q327，q3.插入的两个数分别为9×327,27×381.题型一等比数列基本量的运算例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于()A. B. C. D.(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.答案(1

6、)B(2)4或4解析(1)显然公比q1，由题意得解得或(舍去)，S5.(2)设等比数列an的公比为q(q0)，则两式相除，得，即2q25q20，解得q2或q.所以或故a34或a34.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解(1)在正项等比数列an中，an1an，a2·a86，a4a65，则等于()A. B.C. D.(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.答案(1)D(2)3n1解析(1)设公比为q，则

7、由题意知0q1，由得a43，a62，所以.(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，所以公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1 (n2)，an12an2(an2an1) (n2)bnan12an，bn2bn1 (n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bna

8、n12an3·2n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)·，故an(3n1)·2n2.引申探究例2中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变探求数列an的通项公式解由已知得n2时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，又a11，当n1时上式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an12·2n12n，an2n1.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用

9、递推关系时要注意对n1时的情况进行验证设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a12×12；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.综上，a24，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.

10、Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列题型三等比数列的性质及应用例3(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_.(2)等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则公比q_.答案(1)(2)解析(1)由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因为a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412×551.又an>0，所以a4a8.(2)由，a11知公比q±1，则可得.由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S1

11、5S10成等比数列，且公比为q5，故q5，q.思维升华(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若mnpq，则有amanapaq”，可以减少运算量(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，公比为qk(q1)已知等比数列an的公比为正数，且a3a92a，a22，则a1等于()A. B.C. D2(2)等比数列an共有奇数项，所有奇数项和S奇255，所有偶数项和S偶126，末项是192，则首项a1等于()A1 B2C3 D4答案(1)C(2)C解析(1

12、)由等比数列的性质得a3a9a2a，q0，a6a5，q，a1，故选C.(2)设等比数列an共有2k1(kN*)项，则a2k1192，则S奇a1a3a2k1a2k1(a2a4a2k)a2k1S偶a2k1192255，解得q2，而S奇255，解得a13，故选C.12分类讨论思想在等比数列中的应用典例(12分)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN*)思维点拨(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2S

13、2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.2分又a1，所以等比数列an的通项公式为an×n1(1)n1·.3分(2)证明由(1)知，Sn1n，Sn1n6分当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.8分当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.10分故对于nN*，有Sn.12分温馨提醒(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论项数的奇、偶数讨论等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论(2)数列与函

14、数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.方法与技巧1已知等比数列an(1)数列c·an(c0)，|an|，a，也是等比数列(2)a1ana2an1amanm1.2判断数列为等比数列的方法(1)定义法：q(q是不等于0的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用q(q是不等于0的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同(2)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列失误与防范1特别注意q1时，Snna1这一特殊情

15、况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误4等比数列性质中：Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，不能忽略条件q1.A组专项基础训练(时间：35分钟)1已知等比数列an中，a2a31，a4a52，则a6a7等于()A2 B2C4 D4答案C解析因为a2a3，a4a5，a6a7成等比数列，a2a31，a4a52，所以(a4a5)2(a2a3)(a6a7)，解得a6a74.2等比数列an满足an0，nN*，且a3·a2n322n(n2)，则当n1时，

16、log2a1log2a2log2a2n1等于()An(2n1) B(n1)2Cn2 D(n1)2答案A解析由等比数列的性质，得a3·a2n3a22n，从而得an2n.方法一log2a1log2a2log2a2n1log2(a1a2n1)·(a2a2n2)··(an1an1)anlog22n(2n1)n(2n1)方法二取n1，log2a1log221，而(11)24，(11)20，排除B，D；取n2，log2a1log2a2log2a3log22log24log286，而224，排除C，选A.3在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，a

17、n1anan1324，则n等于()A12 B13C14 D15答案C解析设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故选C.4若正项数列an满足lg an11lg an，且a2 001a2 002a2 0102 016，则a2 011a2 012a2 020的值为()A2 015·1010 B2 015·1011C2 016·1010 D2 016·1011答案C解析lg an11lg an，lg 1，10，数列an是等比数列，a2 001a

18、2 002a2 0102 016，a2 011a2 012a2 0201010(a2 001a2 002a2 010)2 016×1010.5已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为()A2 B2 C3 D3答案B解析设公比为q，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.6等比数列an中，Sn表示前n项和，a32S21，a42S31，则公比q为_答案3解析由a32S21，a42S31得a4a32(S3S2)2a3，a43a3，q3.7等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，则对任意的nN*，都有a

19、n2an12an0，则S5_.答案11解析由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，则S511.8已知数列an的首项为1，数列bn为等比数列且bn，若b10·b112，则a21_.答案1 024解析b1a2，b2，a3b2a2b1b2，b3，a4b1b2b3，anb1b2b3··bn1，a21b1b2b3··b20(b10b11)102101 024.9数列bn满足：bn12bn2，bnan1an，且a12，a24.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)由bn1

20、2bn2，得bn122(bn2)，2，又b12a2a124，数列bn2是首项为4，公比为2的等比数列bn24·2n12n1，bn2n12.(2)由(1)知，anan1bn12n2 (n2)，an1an22n12 (n>2)，a2a1222，an2(22232n)2(n1)，an(222232n)2n22n22n12n.Sn2n2(n2n4)10已知数列an和bn满足a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数(1)证明：对任意实数，数列an不是等比数列；(2)证明：当18时，数列bn是等比数列证明(1)假设存在一个实数，使an是等比数列，则有aa1

21、a3，即22492490，矛盾所以an不是等比数列(2)bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n·(an3n21)bn.又18，所以b1(18)0.由上式知bn0，所以(nN*)故当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列B组专项能力提升(时间：20分钟)11设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai1的矩形的面积(i1,2，)，则An为等比数列的充要条件是()Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同答案D解析Aiaiai1，若An为等比数列，则为常数，即，.a1，a3，a5，a2n1，和a2，a4，a2n，成等比数列，且公比相等反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则q，从而An为等比数列12若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.答案50解析因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a