高等数学复习题习题答案

1、第三部分、计算题（60分）要求：先练习后讲解。一、求极限1.(2012.10)已知极限,则b=A.1B.2C.3D.42.(2012.10)3.(2012.10)极限=_.4.(2012.10)求极限.5.(2012.4)求极限.6.(2012.1)求数列极限7. (2011.7)数列极限=_8. (2011.7)求极限9. (2011.7)求极限.10（2011.1）极限=_0_.二、求导数和微分（复合函数求导数和隐函数求导数）1（2013.1）设函数，则高阶导数=A12!B11!C10!D02（2013.1）设函数，求d y3（2013.1）设函数.4.（2012.1）设函数f (x)=a

2、rctan x -ln(x+)，求导数f(1).1. （2011.7）求函数的二阶导数. ln 1=0 sin0=0 cos0=16（2011.1）设函数y=sin(2x+2x)，则dy=_.7（2011.1）设二元函数z=cos(2y-x),则=_.8 （2011.1）设函数y=,求导数y.9 （2011.1）设函数f(x)=(1+x2)arctan x,求f(x)的三阶导数.10.（2010.7）设y =y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)所确定的隐函数,求微分dy.11.（2010.7）设函数z=,则偏导数_.12.（2010.7）设函数z=,求二阶偏导数,.13.（2010.1）

3、设函数y=ln sin x,则y=_.14.（2010.1）设z=,则=_.15.（2010.1）方程xyz-ln(xyz)=1确定了隐函数z=z(x,y),求.16.（2010.1）设y=xsinx+x arctan ex，求y.注意：（利用对数求导数）可设，则。两边同时对求导，得三、求单调区间和极值（利用一阶导数）1.(2012.4)求函数的极值.（极值的二阶判断）2. (2011.7)函数f(x)= 的极小值点为（ ） Ax=-1 B. x=0 C. D. 不存在-不存在+极小值所以，极小值点是3(2011.1)函数f(x)=的单调减少区间是_.4(2011.1)求函数f(x)=的极值.

4、5.(2010.7)函数f(x)=的单调减少区间为_.4、 求最大值和最小值（利用一阶导数）1. (2012.4)函数在闭区间-1,1上的最大值是_.2. (2012.1)函数f (x)=x-2cos x在区间0,上的最小值是_-2_.3.(2010.7)函数f(x)=x4-4x+3在区间0,2上的最小值为_.5、 求凹凸区间和拐点（利用二阶导数）1. (2013.1)求曲线的凹凸区间及拐点2.(2011.7)求曲线在区间（0，+）内的拐点.3.(2010.7)求曲线y=x2ln x的凹凸区间及拐点.4.(2012.1)确定常数a,b的值，使得点(1,)为曲线y=的拐点.5.(2011.1)试

5、确定常数a,b的值,使得(1,3)是曲线y=ax3+3x2+b的拐点.六、求渐近线（水平渐近线和铅直渐近线）1(2013.1)曲线A仅有铅直渐近线B仅有水平渐近线C既有水平渐近线又有铅直渐近线D无渐近线2(2011.1)曲线y=2ln的水平渐近线为( )Ay=-3By=-1Cy=0Dy=23.(2012.1)曲线y=的铅直渐近线为_.4.(2011.7)曲线的铅直渐近线为_x=1_七、求积分（凑微分法、设元法、分部积分法）1.（2013.1）求不定积分2（2013.1）设函数，计算定积分.3（2013.1）计算定积分.4.（2012.1）无穷限反常积分=_.5.（2012.1）求不定积分.6.

6、（2012.1）计算定积分I=2. 定积分=_3. 求无穷限反常积分.此处等于0，无限接近Y轴9无穷限反常积分=_.10定积分=_（用定积分的几何意义求解）_.八、二重积分（5分）1（）计算二重积分，其中区域D由曲线及直线x=2围成2.（）计算二重积分I=dxdy，其中D是由曲线y=x3，x=l及x轴所围成的区域，如图所示.3.（2011.7.23） 计算二重积分，其中D是由直线，与x轴所围成的区域，如图所示.2（3,0）（1,2）4.（）计算二重积分,其中D是由直线y=2-x与抛物线y=x2所围成的平面区域.5.（）计算二重积分,其中D是由曲线y=x2-1及直线y=0,x=2所围成的区域.(

7、后x先y积分) 九、应用题（9分）（一）导数应用题1.（）设某企业生产一定量的某产品时可用两种原料，第一种为x（千吨），第二种为y（千吨），其电能消耗量N（万度）与两种原料使用量的关系为问如何使用两种原料方可使电能消耗达到最低，并求此时的最低能耗2.（）某工厂生产两种产品I和II,销售单价分别为10元与9元,生产x件产品I与生产y件产品II的总费用为C=400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)(元).问两种产品的产量各为多少时，才能使总利润最大？(x>0,y>0)解之得，x=120,y=80所以x=120,y=80是唯一的极小值点，于是，当产品I和产品II的产量分别为x

8、=120,y=80时，利润最大。3.（）设某厂生产q吨产品的成本函数为C(q)=4q2-12q+100,该产品的需求函数为q=30-0.5p,其中p为产品的价格.(1)求该产品的收益函数R(q)；(2)求该产品的利润函数L(q)；(3)问生产多少吨该产品时,可获最大利润?最大利润是多少？解：（1）由需求函数q=30-0.5p得，p=60-2q,收益函数;(2) 该产品的利润函数；（3） 得：，所以是利润函数的唯一极小值点，故生产9吨该产品时，可获得最大利润，最大利润为L(9)=225。 （二）积分应用题：（利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积）1.（）设D是由曲线y=ex，y=e-x及直线

9、x=l所围成的平面区域，如图所示.(1)求D的面积A.(2)求D绕x轴一周的旋转体体积Vx.解：（1）（2）由旋转体的体积公式得：2. （）设D是又曲线，直线及轴围成的平面区域，如图所示。（1）求D的面积。（2）求D绕轴一周的旋转体的体积。解：（1）；（2） 由旋转体的体积公式得：3. （）求曲线y=ln x及其在点(e,1)的切线与x轴所围成的平面图形的面积A.解：曲线y=ln x在点(e,1)的切线方程为，即曲线y=ln x可化为，于是十、证明题（5分）1(2013.1)证明当x>0时， 2. （2012.1）证明：当x>0时，e2x>1+2x.证：设f(x)=e2x-(1+2x),则当x>0时，>0所以，x>0时，f(x)是增函数。又因为f(0)=1-(1+0)=0所以，x>0时，f(x)>0，即e2x-(1+2x)>0所以，当x>0时，e2x>1+2x.3.（2010.7）证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个实根.证：设f(x)=x3-4x2+1,则f(x)在区间0,1上连续。因为f(0)=1>0,f(1)=-2<0所以