第2章极限与连续

1、第2章极限与连续一 典型例题解析例1 用数列极限的定义证明。证一任给，要使，只要，即只要，于是，取为大于的正整数，当时，恒有，即。证二 任给，要使，为较方便地找到符合要求的正整数，可将适当放大为，当时，就更有了。于是，由解得。所以，取为大于的整数，当时，就恒有，即。注当用定义来证明某数列以某常数为极限时，关键是对于任意给定的正数，来证明符合条件“时恒有”的正整数的存在性。因此，实际上是找出使成立的充分条件。这就能使得我们能够适当放大,来寻找满足条件的。因此对于给定的正数，满足条件“时恒有”的的数值并不唯一。例 2 判断下列论断是否正确，并说明理由。（1） 如果越大，越小，则有。 （2） 如果对

2、于任意给定的正数，存在自然数使当时，数列中有无穷多项满足不等式，则该数列以为极限。解 （1）不正确。理由有二：一是当时，未必是关于的单调减函数，例如，不随的增大单调减少，即不是“越大，越小”二是的定义里，要求的是“对于任意给定的正数，存在自然数使当时恒成立”。定义中“任意”二字，体现了可以与“无限接近”的要求，或者说可以“任意小”。“无限接近” 与“如果越大，越小”是有区别的，例如，越大，越小，但不以1为极限，而是以2为极限。（2）不正确。因为“如果对于任意给定的正数，存在自然数使当时，数列中有无穷多项满足不等式”不能保证“对于所有满足的项，不等式成立”，“满足时有无穷多项”与“满足的所有的项

3、”是有区别的。例如数列，对于任意给定的正数，存在正整数，当时，有无穷多项满足，也有有无穷多项满足。实际上，数列的奇数项组成的子数列以0为极限，偶数项组成的子数列以2为极限，所以，此数列发散，即，既不以0为极限，也不以1为极限。例3 试证：数列以为极限的充分必要条件是由数列的奇数项和偶数项构成的数列都收敛于。证必要性显然。下证充分性。由数列的奇数项组成的数列和偶数项组成的数列都以为极限知：存在自然数,使得当时，有和当时有。取,则当时，与同时成立，即只要下标充分大，恒有成立。故此数列以为极限。例4 判断下列数列的敛散性（1）（2）解 （1）偶数项组成的数列以2为极限，奇数项数列以2为极限。所以此数

4、列发散。（2）此数列的奇数项和偶数项数列都以0为极限，所以数列以0为极限。试说明极限不存在。解5 取数列，显然时，但。所以极限不存在。也可从另一个角度来说明。当时，再由三角函数的周期性可知，在此过程中，的数值不趋于某确定的常数，所以极限不存在。例6 判断以下论断是否正确（1）若（常数）,则（2）若极限存在，极限不存在，则极限不存在。（3）若(常数)，则（4）若极限存在，极限不存在，则极限不存在。（5）若极限存在，且极限存在，则极限存在。（6）若极限存在，且等于常数,则极限（7）若极限存在，且等于非零常数，极限存在,等于，则极限存在，且(8) 若极限存在，且等于非零常数，则极限存在性与极限存在性

5、一致。解 (1)不正确。例如，但都发散。（2）正确。事实上 ，若极限存在，因为极限存在，则由极限的运算法则知=，即极限存在，这与条件“极限不存在”矛盾。（3）不正确。例如（无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量），但不存在，因此不能写等式。（4） 不正确。例如，不存在，但。（5）不正确，例如，但不存在。又如，虽然极限，但由于故不能用“乘积的极限等于极限的乘积”法则，所以。（6） 不正确，例如，但推演过程是不对的。这是因为不存在。（7） 正确。事实上，由极限等于非零常数，知，存在点的某个空心邻域，在该空心邻域内，函数不等于0。又由极限存在,等于,得：存在点的某个空心邻域，使其中，所以在两个空心邻域

6、的交集上，可得，此等式两端同时取极限，得，即存在。（8） 正确。事实上，由（7）可知，由极限等于非零常数且极限存在,等于常数,得。反之，若极限存在及存在，则由极限的四则运算法则可推得极限存在且等于。因此，在求几个函数的乘积的极限的过程中，若某个因子的极限是非零常数，则可以先将该因子的极限写出。例如.一般的，在运用极限四则运算法则时，要注意其条件是：涉及到的极限都存在，并且，变量的商的极限情形中，分母的极限不为零，否则不可随意运用。由上面的分析可以看到：极限与极限同时存在，是极限及极限存在的充分条件，但不是必要条件。例7 (多项选择题)当时，是（ ），则必有A 任意函数 B有极限的函数C无穷小量

7、 D 无穷大量解时，是无穷小量，当是有极限的函数时，由极限四则运算法则知，所以B正确；又由无穷小量的性质“无穷小量与无穷小量之积仍是无穷小量”知C也正确。A, D不正确，例如.例 8 当时，函数的极限是（ ）A 2 B 0 CD 不存在但不为解因为所以 又因为所以注所以在处，函数的左右极限不相等，故极限不存在，且也不为，所以选择D 。例9 以下论断是否正确(1)任意两个无穷小量都可比较阶的高低;(2有界变量与无穷大量的乘积仍是无穷大量;解 (1)不正确。例如，时，及都是无穷小量，但极限不存在，因此时，与不能比较阶的高低。一般地，只有两个无穷小量比值的极限存在或为无穷大，它们才可比较阶的高低。（

8、2）不正确。例如时，是有界变量，是无穷大量，但是，即与的乘积却不是无穷大量。又如，数列是有界变量，而是无穷大量，但不是无穷大量。例10 填空：当时（1）与是同阶无穷小量，则（2）与是同阶无穷小量，则。（3），则。解 (1) 因为，故有与是同阶无穷小量，所以。一般地，当时，若某个无穷小量是关于的方幂的代数和，则它与次数最低的项是同阶无穷小量。（2）因为，所以。（3）因为，所以，。例10 试说明无穷大量与无界变量的联系与区别。解 以“时为无穷大量”的情况为例来说明。其定义是“设当充分大时函数有定义，若对于任意给定的正数，存在正数，当时，恒有则称当时，为无穷大量，记为”，也将读作“当时，的极限为无穷

9、大”，而函数为无界变量是指：“设函数的定义域为。若对于任意给定的正数，存在，使，则称此函数在上为无界变量。”因此，无穷大量与无界变量的联系与区别是：无穷大量一定是无界变量；但是，对于任意给定的正数，由于无界变量定义中不要求集合中所有的点处的函数值都满足不等式，而只要求存在某个，使即可，因此，无界变量未必是无穷大量。例如，函数，在区间无界。事实上，对于任意给定的正数,存在整数使得的绝对值大于，即存在，使。所以函数在区间无界。但是，时，并不是无穷大量。这是因为，对于任给的正数，不存在，使“当自变量时，总有”，事实上，对于任给的正数，无论是怎样充分大的正数，总存在的某个取值=（为整数），使。例11

10、设函数在区间（其中为常数）内连续，且,其中为常数，则函数在区间内有界。证：由知，对于任意给定的正数，存在，当即时，（不妨取的值使）故时.即函数在区间内有界；由知，对于任意给定的正数，存在，当即时，（不妨取的值使）故时，即函数在区间内有界；而函数在区间内连续，所以也在其子区间上连续。因闭区间上的连续函数是有界的，所以函数在区间上有界。综上所述可得，函数在区间内有界。例12 函数在区间（ ）内有界。ABC D【2004年考研数学3，4】解： 因所以在及，上均无界。又且在内连续，故在内有界，故选A。（参见例11）例13关于无穷小量及无穷大量的四则运算，有什么规律？解不难由极限的定义及无穷大量、无穷小

11、量、有界量的概念得到以下几个结论（1） 两个无穷小量的代数和、乘积仍为无穷小量（简记为,）。两个无穷大量的积仍是无穷大量。（简记为）（2） 无穷大量与有界量的和或差仍为无穷大量；但是，无穷大量与有界量的乘积未必是无穷大量。例如 ，注由于不存在，也不为，所以，（3）无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。，注由于及不存在，所以 ，（4）两个同号无穷大量的和、两个异号的无穷大量的差仍是无穷大量。可简记为（5）两个异号无穷大量的和、同号无穷大量的差、两个未定正负号的无穷大量的和或差（）未必是无穷大量。无穷大量与无穷小量的乘积（）未必是无穷大（记号中的不是常数，而是代表不为常数的无穷小量），也未必是无穷小

12、。同样，两个无穷小量的商、两个无穷大量的商都是未定式。举例如下：两个异号无穷大量的和：（分母为两个正无穷大的和，而无穷大的倒数为无穷小量）；.两个未定正负号的无穷大量的和或差：=；.无穷大量与无穷小量的乘积（）：； ； 又如 （型）或用变量替换：令，则，从而两个无穷大量的商（）：.又如 一般地，当时其中为正整数。但是，若自变量变化趋势不是，则不能用上面的结论。例如而不是。两个无穷小量的商（简记为，不是一个确定的数，而只是“无穷小量之比”这种类型的极限的记号。即，它应理解为：其中与不是常数0，且而在极限的自变量变化过程中不等于0）：这种情况下，不符合运用“商的极限的四则运算法则”的条件（即：分子

13、、分母极限存在，且分母极限不为零0）,因此极限不能等于，后者无意义（分母等于0）。以下是几个型极限的例子：不存在要注意“其中满足”与“”型极限的区别。前者是常数0除以一个无穷小量，而无穷小量在自变量的变化过程中不等于0，所以是常数0除以不为0的数或式，结果为0，所以。例如，计算极限。因为时，所以此时分式，所以，而为“”型极限，极限值为3。关于未定式，还有（即其中），（即其中），（即其中）等几种类型。在第三章学习了求极限的罗必塔法则以后，可进一步对它们进行研究。例14 以下推演是否正确？（1）（2）（3）解 （1）不正确。只是一种极限类型（无穷大量之比）的记号，它不代表任何一个确定的常数。正确的

14、推演过程是：因为，所以由无穷小量与无穷大量的关系得。（2）不正确。因为当分母的极限等于0时，不能用“两个函数的商的极限的四则运算法则”。作为一个分数值或极限值的记号是无意义的。所以，推演是不对的。正确的解法见前面（1）中的解析。（3）不正确。这是因为，当时，极限式子里所含的项的个数不是固定的，而是随着的增加而无限制地增加。这不符合极限四则运算法则里函数的项数固定（即项的个数不随自变量变化而变化）的要求。正确的结果显然是例15 求极限（1）（2）解：（1）因，而所以（2）因而故由夹逼定理知例16利用单调有界数列必由极限，证明数列，存在极限，并求此极限。解显然，现假设，故由数学归纳法知该数列单调增

15、加。下用数学归纳法证该数列有界。因，设，则，即该数列单调增加且有界，因而该数列必有极限。设，对两端求极限，得，解得或（因,所以数列的极限不为负值，舍去负值），故有。例17 求极限，求解法一为型。，令，则，且，所以，.由，得.解法二 故由，得.例18 求数列的极限解 此极限为型。.解2 由夹逼准则，有，从而原式类似地，读者可以计算数列极限，其中为大于零的常数。例19证明:若，则。证，因，由指数函数及对数函数的连续性，得,即例20 证明：若且（常数），则。证一 因为,故由上例可知，即 证二因为 ，所以，故由指数函数的连续性，得即。例21 计算极限解法一。解法二 。例22 求极限解 这是两个异号无穷

16、大量的和的极限。=（利用公式，将分子有理化）.(在以上推演中，若令，则可将极限的自变量变化趋势转化为)例23 求极限【分析】由于极限都不存在，所以不能用极限的四则运算法则。解利用三角公式，可得因为，是有界变量，无穷小量与有界量的乘积是无穷小量，所以=0.在上面解题过程可见，将分子或分母有理化，是计算含根式的极限的有效的方法之一。例24 已知，求与【分析】显然，。由于极限，所以，这是型未定式，不能将此极限写成。通常，将函数适当变形，转化为乘积或商的形式。解法一 将函数通分，化函数为两个多项式的商，得注意到时两个多项式的商的极限的有关结论，可知，分子中平方项的系数及一次项的系数都等于0，所以，所以

17、解法二 因为，且所以 而，所以，所以将代入原式，所以例25 在计算极限时，怎样恰当使用等价无穷小代换？答使用等价无穷小代换的依据是定理2-8 即：“ 设，且存在，则 ”，它是根据函数的商的极限运算法则来证明的。即： 因此，在使用等价无穷小代换时，要注意以下几个注意点：注1 用来代换的无穷小在极限的自变量的变化过程中不能等于零。否则，在计算时，函数的分母将取到等于零的数值，使分式没有意义。例如，下面的计算过程是错误的这是因为推演的第一步运用了（当时），这是不对的。因为当时，有可能取到数值0（例如）。正确的解法是：当时，因此而，故.注2 求分式的极限时，当分子或分母是几个无穷小的代数和时，若作为无

18、穷小量的各项用其等价无穷小代换，则有可能得到错误的结果。这是因为，如果都是无穷小量，且，当极限或极限不存在时，不能用极限的四则运算法则，即不能得到+，从而不能对此等式右端这两个极限分别用等价无穷小代换。例如是错误的，其中推演的第一步将分子中的用其等价无穷小来代替只有在都存在的前提下才能进行，可是都不存在。显然.又例如：推演以及都是错误的。这是因为都是不存在的，故不能用极限的四则运算法则，即。正确的解法是.由此例还可知：时，。但是，若极限，是无穷小量，且极限及极限都存在，则可以根据极限的四则运算法则得+，这时，（）与是同阶无穷小量或（）是比高阶的无穷小量，可以考虑用它们的等价无穷小代换。例如.及

19、.和注3 要善于套用基本的及常用的等价无穷小代换关系。基本的及常用的等价无穷小代换关系有：时，； ； ； ； ；在学习了求极限的罗必塔法则（第三章）后，还可得到时， ； ；其中为非零常数， 特别当，有；上面这些式子中的起着“位置占有者”的作用。即，套用上述等价关系时，在符合前面“注1”中提到的事项的前提下，可将这些式子里的无穷小量换成其等价的无穷小例如，若，则，进而利用相应的穷小代换以达到简化运算的目的。例如，由，时，所以，； 注4 套用基本的及常用的等价无穷小代换关系时，要确认有关的量在极限自变量变化趋势下是无穷小量，不能只看函数的形式。例如 推演是错误的（时，及都不是无穷小量，但是无穷小量

20、，无穷小量与有界量的乘积是无穷小量，所以正确的推演是）推演是错误的（时，及不是无穷小量。所以及不与及等价。正确的推演是，所以）例26 计算 ，解注意时，所以.例27 计算解 因为，故有 例 28 无穷小量的等价关系符号“”与“约等于”号“”有什么区别和联系？答 无穷小量的等价关系符号“”与“约等于”号“”有区别，也有联系。（1）“”是用于联系等价两个无穷小量的关系符号，即“”两端是无穷小量，并且它们等价；约等于符号“”两边是数值接近的数值或函数，它们可以是相互等价的无穷小量，也可以不是无穷小量。因此，通常不能对等价关系符号“”号两边的式子用“移项”来变形，而“约等于”符号“”两端的式子可以进行

21、“移项”。例如，不能由“时”通过移项推得“”。事实上，当某个量不是无穷小量时，它就不能作为“”的一端的量。时，都不是无穷小量，所以是不对的。(2)另一方面, 若在自变量的某个变化趋势下，例如时，无穷小量与等价，即，则可以推出，在点的某空心邻域，有，其中，所以，只要充分趋近，就有，所以，这时，。从这个意义上说，在自变量变化到某个范围时，等价关系符号“”可以换成“约等于”符号“”。例如，由“时”可推出：当的绝对值充分小时，从而，当的绝对值充分小时，。但反之，通常由于约等于符号“”两边不一定是相互等价的无穷小量，所以不能随便将约等于符号“”换成等价关系符号“”，例如，即使的绝对值充分小，也不能将改写

22、成。（3）等价无穷小量关系符号“”两端的量及“约等于”符号“”两端的量都不能在计算极限时无条件地相互替换。例如，计算极限，不能将用代替并进行如下推演，同样，这里也不能将替换成。这是因为，这样代替后，实际上把本应是一个关于的高阶无穷小量变成了常量0了。 学习了函数的麦克劳林公式后，就可知道：从而所以=。因此，是与同阶的无穷小量。此外，学习了第三章中的罗必塔法则后，还可以用罗必塔法则计算出此极限。例29 由函数在点处连续，是否可推断此函数在的某个邻域内也连续？答 未必。例如函数在处连续，因为，因此，即函数在处连续。但当时，函数不连续。事实上，取一个收敛于的有理数数列，于是；再取一个收敛于的无理数数

23、列，于是，因此不存在，故在处不连续。例30 是否存在这样的函数，在其定义域的每个点处都不连续？解 有这样的函数。例如。此函数的定义域为实数集R。函数在点处连续的定义是：，即使当满足不等式时，就有。对于函数（1）若是有理数，因为，对于，（为无理数）满足不等式，使，所以；（2）若是无理数，因为，对于，（为有理数）满足不等式，使，所以。所以此函数在任意一点都不连续。例31 设函数问函数在处是否连续？解 因为,所以，而所以，因而在处不连续。例 32 研究函数 （）的连续性。【分析】 函数的自变量为，用极限形式给出。在极限中，遇到自变量变化趋势为时，约定是指自然数。求极限时，是参数，不是自变量。当在某范

24、围内取值确定后，求极限时，是常数，为变量，就是底数为常数、指数为变量的指数函数。因此极限存在与否及极限存在时等于什么数值，要按底数大于1、小于1、等于1进行讨论。即分三种情况讨论，也即分，也就是。解 （1）当时，（2）当时，所以，因此，（3） 当时，=0（4） 当时，所以，因此（5） 当时，=1综上所述，得下面研究处函数的连续性（1），所以，在处函数不是右连续。（2），所以，函数在处连续。（3），所以函数在处不左连续。在函数定义域的其它区间内，函数连续。注1 。其中极限=。不是型未定式。记号中的1不是常数1，而是代表以1为极限的不为常数的变量。注2 研究函数的连续性时，是自变量。例33 判断函

25、数是否连续。若不连续，指出间断点的类型。解 注意到求极限时变量是，是自然数，。所以。函数在和内连续。点处左、右极限分别为。所以此函数在处不连续，点是函数的跳跃间断点。例34 两个不连续的函数的和、差、积、商一定是不连续函数吗？解 未必。例如（1），它们在处不连续，但连续，连续。（2），它们在处不连续，但连续。例35 （单项选择题）设函数和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则（ ）A必有间断点 B 必有间断点C 必有间断点 D 必有间断点解 选B 。理由如下A 不对。例如，则有间断点，但=1连续。C 不对。例如，则=1连续。D 不对。例如，则=1连续。B 正确。这是因为，设有间断点，则（1）

26、若在处无定义，则在点也无定义，从而函数在点不连续。(2)若在处有定义，但在点处极限不存在，注意为连续函数，且，所以，极限，从而极限极限也不存在。（否则，若存在，记极限为，则由极限存在的充分必要条件知，在的某去心邻域内，函数可以表示成极限值与一个无穷小量的和，即：,其中，所以.从而，这与假设“函数在点处极限不存在”矛盾。故此时在点处不连续。（3）若在处有定义，且在点处极限存在（记为），但，则，所以，此时，函数在点处不连续。例 36试说明“函数在点处有定义”“函数在点处有极限”“函数在点处连续”这三个概念之间的关系。解“函数在点处有定义”与“函数在一点处有极限”没有联系。函数在点处有极限时，在点处

27、函数可以有定义，也可以没有定义，有定义时，极限值也未必等于函数值。若“函数在点处连续”，则“函数在点处有极限”且极限值就等于函数在点处的函数值。例37 求函数的间断点，并指出其类型。解 此函数定义域为三个开区间的并集：。函数在上面的三个开区间内连续；在点处函数无定义，但极限，所以，所以点为函数的无穷间断点。在点处函数无定义，且，故有，所以，又，所以，故， 所以因为在点处左、右极限存在但不相等，所以点是此函数的跳跃间断点。注对于指数函数，指数趋于正无穷与指数趋于负无穷，其极限是不同的。例38（选择题）下列极限中正确的有（ ）（1） （2）（3）（4） （5）（6）（7） （8） （9）（10）

28、(11) (12)（13） （14） （15）（16） （17）解 注意时，；时时，； 以及， ,可知正确的有（2）,（3）,（5）,（6）,（7）,(8), (10) ， (12) ,(13) ,（14） ,（15）,（16）（17）例39 设函数在上连续，试证方程在上至少有一个实数根。证即证存在，使。将要证明的等式变形为，并将其中的换成，构造辅助函数，此函数的零点就是方程的根，也就是方程的根。因为在上连续,连续，所以复合函数在上连续，所以在上连续。并且，。所以。又因为，所以。若，则及都是方程在上的根。若，则在区间端点处的函数值异号。由闭区间上连续函数的性质知，在区间内至少有一个零点，即方程

29、在区间内至少有一个实数根。综上所述，方程在上至少有一个实数根。例40 证明：如果函数在内连续，为此区间内任意两点，则在内必有一点，使。证法一当时，结论显然成立。不失一般性，下设。由于函数在连续，故在该区间上必有最大值和最小值。所以，所以，故。由介值定理知，在内至少存在一点，使。因，故在内必有一点，使。证法二 将要证明的等式变形为，并将其中的字母换成，引入辅助函数。若，则结论显然成立。故不妨设。由条件可知，在区间上连续。故有+=0，若=0，则此时点及点都可作为点，使。若，由连续函数的零点定理知，在区间内（从而必在内）至少有一个零点使。二本章学习效果测试练习1 单项选择题（1）设（为常数）则 （

30、）A. 在点处连续 B. 在点处有定义C. 在点的某个去心邻域内有界 D. 点为的可去间断点(2) “在处有定义”是当时有极限的（ ）A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件（3）“在处有定义”是在处连续的（ ）A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件（4 ）设点为的第一类间断点，则（ ）A. 在点处极限存在,但在该点处无定义 B.（为常数） C.在点处左、右极限至少有一个不存在.D在点处左、右极限都存在但未必相等。 .（5）当时，是 （ ）A. 无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量（6）当时，下列变量中，与等价的无穷小量是（ ）A. B. C

31、. D.(7) 设当时,与是等价无穷小量，其中为常数，则必有（ ）A B.为任意常数 C.为非零常数 D.（8）“函数在闭区间上连续”是函数在闭区间上有界的（ ） A.无关条件 B. 充分必要条件 C充分但非必要条件 D. 必要但非充分条件（9）已知函数在内连续，且与异号，则（ ）A.在内至少有一个点，使B.在上有界 C. 无法判断在内是否有零点 D. 在内有界（10）以下式子中，正确的是（ ）A. B. C. D. 2 填空题（1） 已知数列的极限为3，则至少为，可使；至少为，可使。（2）指出当时，下列变量是无穷小量。（当时）；（当时）；（当时）；（当时）；（当时）；（当时）；（当时）；（当

32、时）； （当时）；（3）指出当？时下列变量是无穷大量。（当时）； （当时）；（当时）； （当时）； （当时）； （当时）。(4).试判断下列结论是否正确(填写“正确”或：“错误”)（A）无穷小量是零。（B）零是无穷小量。（C）任意两个无穷小量都可以比较阶的高低。（D）有界量与无穷大量之积是无穷大量。（E）任意两个无穷大量之和仍是无穷大量。（F）无界变量一定是无穷大量。（G）有限区间上的连续函数是有界函数。（H）无限区间上的连续函数是无界函数。（5）设常数，则。【2002年考研数学三】（6）设函数为连续函数，且，则。（7）。（8）已知时，与是同阶无穷小，则为。(9)设函数，则的不含极限号的表达式

33、为。（10）函数的间断点的个数为。3.求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）已知，求常数（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16） 4.求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9） （10）(11) (12)（13）5.下列极限存在的有（ ）（1）（2）（3）（4）（5） （6）【2005年考研数学三】（7） （8）（9） （10），其中6.已知，试确定的值。7.已知，求的值。8.设，问在处是否连续？9.讨论函数的连续性。10.确定的值，使函数连续。11.指出下列函数的间断点及间断点的类型。（1）（2）（3）（4）12

34、.证明方程至少有一个不超过3的实根。13.设函数在区间连续（其中为常数），且。证明：函数在区间有界。14.设，求。三 本章学习效果测试练习参考答案：1 （1） 应选C. 由（为常数）并不能确定函数在点处是否由定义，所以也不能确定函数在该点处是否连续。由函数极限的的局部有界性定理，则在点的某个去心邻域内函数有界。（2）D（3）B（4）D（5）D.因为（6）B.因为而（7）由，得（8）C（9）C.例如在的端点处函数值异号，在内及在上函数无界且无零点。（10）B. 注意A中极限不存在。 C.中分子是两个无穷小量之差，极限及不存在，所以不能将分子的每一项用其等价无穷小代替。1. 填空题（1）（A）由得，所以至少大于100（B）由得，所以至少大于1000(2（A） （B） （C），为整数（D） (E) (F)为整数且（G）或为整数（H）或 (I)(3)（A） （B）或 （C）或（D） （E） （F）为整数（4）A）错。无穷小量是以零为极限的量，所以除了常