第三讲积分及其应用

1、第三讲 积分及其应用考纲要求1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法.3.会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式.5.了解广义积分的概念，会计算广义积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积已知的立体的体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值.一、不定积分问题1 不定积分的概念与性质答 考纲要求理解原函数、不定积分的概念，掌握不定积分的性质

2、.1.概念定义1 如果在区间上，有或者，则称为在区间上的原函数.定义2 的全体原函数称为的不定积分，记作.它们的关系是：如果为的一个原函数，则.上式表明：求不定积分，只要求出它的一个原函数，再加上任意常数.2.性质：性质1（互逆性）如果不计任意常数，求导运算和积分运算是互逆的，即 （先积后导还原了） （先导后积还原）性质2 （线性性）.例题1.若，则 .【】2.已知，则 .【】3.已知的一个原函数为,则 . 【】4.下列命题中不正确的是（）.【B】(A)若为连续的奇函数，则其原函数为偶函数(B)若为连续的偶函数，则其原函数为奇函数(C)若为可导的奇函数，则其导函数为偶函数(D)若为可导的偶函数

3、，则其导函数为奇函数解 由知，连续的奇函数的原函数全为偶函数，连续的偶函数的原函数中，只有一个为奇函数，故选择A.求导改变函数的奇偶性. 证明如下：若，则，即.积分改变函数的奇偶性. 证明如下：记，若，则.问题2 常用的积分公式答 常用的积分公式有22个，它们是：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21） （22）其中三角函数的积分公式10个，与二次式有关的积分公式7个.问题3 如何用凑微分法求不定积分？答 凑微分法是由复合函数求导法则导出的积分方

4、法，适用于计算形如的积分 .定理 设有积分公式，则.凑微分型积分特点：，关键是凑微分，即将凑成微分，从而积分，其中是22个函数之一；在运用凑微分法求不定积分时，请记住下面的口诀：根据复合抓住，凑完微分配系数；使用公式要准确，积分消失加常数；特殊情形有两个，就是和倒数：，例题1.【】2.【】3.【】4.【】5.【】6.【】问题4 如何用第二类换元法求不定积分？答 逆用凑微分公式，就得到第二类换元法.定理 设连续，单调、可导且连续，则.当被积函数含时，用三角代换；当被积函数含，时，令，；当被积函数分母次数较高时，令.例题1. 【】 2.解 （方法一）令，当时，当时，.（方法二）令，当时，当时，.（

5、方法三）当时，当时，3.【】4.解 令，.问题5 如何用分部积分法求不定积分？答 分部积分公式由乘积求导法则导出，用于计算形如的积分.具体步骤如下：（凑微分）（用公式）（算微分，求积分）关键是凑微分.分部积分型积分特点：，被积函数为“反对幂指三”五类函数的乘积，下面的积分都是典型的分部积分题：分部化简型：；.分部还原型：； ；.分部递推型：，.分部抵消型：.可以这样说，凡是“反对幂指三”五类函数的乘积，只要不是凑微分题，都可以考虑用分部积分法计算.使用分部积分法求不定积分时，请记住下面的口诀：可凑尽量凑，不可不强求，反对幂指三，逆序找函数；一乘一交换，判别难易度，难度若降低，积分可以求；难度若

6、相当，还原有希望，分部若降次，可得递推式；积分积不出，分部试一试，若能两相消，难点解决掉.例题1. 【】2.【】3. 【】4.【】5. 【】解 【反三角函数与指数函数的乘积的积分，用分部积分法】问题6 如何求有理函数的不定积分？答 首先要知道有理函数、假分式、真分式的概念.由于假分式多项式真分式，所以关键是真分式的积分，步骤是：将在实数范围内分解因式；将表为部分分式之和，其方法是：若有因式，则分解式中含下列项之和，若有因式，则分解式中含下列项之和；用待定系数法求出；求出积分.许多函数（如指数有理式，三角有理式，根式有理式等）的积分可以通过换元：，化为有理函数的积分.例题 求.解 ，去分母得 ，

7、依次比较上式两边的常数项和一次幂、二次幂、三次幂系数，得，解得 ，故.确定待定系数时，辅之以特殊值法，使计算更快捷，如本题令，立即得.问题7 如何求不定积分？答 求不定积分是最基本的运算之一，它是所有积分计算的基础，读者务必熟练掌握三类典型题（凑微分、换元、分部）和常用变形方法（无理化有理，高次化低次，分母化因式，变量化一致）.求不定积分的基本思想是利用凑微分、换元、分部和初等变形，将被积函数化为“22个函数”之一或者它们的线性组合，利用积分公式和线性性质求出积分. 三类典型题1.凑微分（复合）型：（根据复合抓住）2.换元（根号）型：被积函数含 ，等3.分部积分（乘积）型：（反对幂指三，逆序找

8、函数）例题1.【】2. 【】3.【】4.【】5.【】6.【】解 .8.【】解 【将分子分解为，其中为待定系数】.9.【】解 【三角代换】令，则（分部积分）10. 【】11.【09-2-3】解 ，代入，得.计算时，还可以作如下代换：令，则；令，.12.设是的原函数，且当时，已知，试求.【】13.设，求. 【】14.设，求.【】解 令，.二、定积分问题8 定积分的概念答 函数在区间上的定积分，其中. 若积分和的极限存在时，则称在上可积读者应结合曲边梯形的面积理解定义式中各记号的含义，理解定积分的思想方法（分割、近似、求和、取极限）.可积条件若函数在连续或者分段连续，则在上可积.若函数在可积，则在上

9、有界.定积分的值与“分法”、“取法”无关；若函数在可积，则定积分的值与“分法”、“取法”无关.定积分的值与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的记号无关.定积分的几何意义:在几何上表示由，所围图形各部分面积的代数和.在利用定积分的几何意义时，要求积分下限小于积分上限.例题1.用定积分的定义求 .【】2.用定积分的几何意义求.【】3.如图，设连续函数在区间、上的图象分别是直径为1的上、下半圆，在区间、上的图象分别是直径为2的下、上半圆，设，则下列结论正确的是（）.【07-1，C】（A）（B）（C）（D）问题9 定积分的性质答 定积分具有如下性质：线性性 .可加性 .保号性 设，则.设，则.估值定

10、理 设，则.定积分的不等式性质均要求积分下限小于积分上限，否则，不等式反向.积分中值定理 设在上连续，则至少存在一点，使得.设在上连续，则至少存在一点，使得.设在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得.问题10 如何计算定积分？答 计算定积分的方法有：几何意义（要求下限小于上限）牛顿-莱布尼茨公式（基本方法）定理 设在连续.为在上的任意一个原函数，则有.换元法（换元必换限）定理 设函数且函数满足下列条件：时，；时，；时，；，则.分部积分法定理 设函数，则.某些特殊函数的积分分段函数（分段积分）奇偶函数：若为奇函数，则；若为偶函数，.周期函数：设的周期为，则.某些三角函数：；记，则有递推公式

11、.含，（用分部积分）变限积分（用分部积分）例题11. .【】2. .【】3. .【】4. .【】5. .【0】6. .【1】7.设，其中 则在区间内（）.（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续例题2 1.求.【】2.求.【】3.求.【】4.求.【90-1-2，】5.求.【】6.求.【】7.求，其中.【】8.设 求.【】9.对于任意的，且时，求.【】解 ，时，时，时，时，.10.设有原函数，求.【】11.曲线的方程为，点是它的一个拐点，曲线在点与处的切线的交点为. 若具有三阶连续导数，求.【】12.设，求.【】解 【定积分是一个常数】记，则.问题10 变限积分答 变限积分是常考点之一，它是用

12、积分定义的一个函数，读者务必熟练掌握变限积分的导数公式，并利用求导解决变限积分的极限、积分等问题.定理1 若在上可积，则在上连续.定理2 若在上连续，则在上可导，且，.导出公式当被积函数含有变量时不能直接求导，必须将变量从被积函数中分离出去，常用的方法是：提出去或者换元.例题1.设连续，则 .【】解 【基本练习】.2.设连续，则 .【】解 【基本练习】.3. .【】解 【基本练习】.4. .【】解 【基本练习】令，.5.求.解 【含变限积分的极限】.6.设，求.【2】解 【变限积分的积分，用分部积分法】.习题1.设连续，则 .【】解 【变限积分求导基本练习】令，.2.若,，则 .【】解 ，故.

13、3.设是连续函数，且，则 .【】解 【含变限积分的等式，通常两边求导】等式两边对求导，令，得.4.若，则 .【】解 【变限积分的积分，通常用分部积分法】.5. .【】解 【含变限积分的极限问题通常用洛必达法则】.6.设连续，求.【05-2，】解 【含变限积分的极限问题通常用洛必达法则】令，.7.设可导，求.【】解 【含变限积分的极限问题通常用洛必达法则】令，.8.设连续，且，求并讨论在的连续性.解 ， 当时，令，当时，故又，在处连续.9.单调减少区间为 .【（0,）】解 ，故单调减少区间为.10.设在内连续，且，证明：若为偶函数，则为偶函数；若单调不增，则单调不减.证 ，令，故为偶函数.，当时

14、，当时，在内单调不减.11.设连续，求.【1】解 【含变限积分的方程，通常两边求导】令，故，上式两边对求导，令，得.12.设连续，且，求.【】解 【含变限积分的方程，通常两边求导】令，故，上式两边对求导，即，令，得.13.设在上连续，且，证明方程在内仅有一个实根.证 【零点惟一性问题，用零点定理和单调性】在上可导，又，故方程在内有一个实根，又，故在内递增，所以方程在内仅有一个实根，即方程在内仅有一个实根.问题12 反常积分答 对于两类反常积分，要在正确理解它们的定义（定积分的极限）的基础上，掌握它们的计算方法.1.概念定义1 连续函数在上的反常积分，如果右端极限存在，则称反常积分收敛.连续函数

15、在上的反常积分.连续函数在上的反常积分.定义2 函数在区间上连续，而在点的右邻域内无界，则定义在区间上反常积分，如果右端极限存在，则称反常积分收敛.函数在区间上连续，而在点的左邻域内无界，则定义反常积分.函数在上连续，而在点的邻域内无界，则定义反常积分.2.两类反常积分，都可以用下面的公式计算：若在上连续，且，则（类似定积分）.此公式要求在内部不能有间断点.例题1.下列广义积分收敛的是（）.【C】（A）；（B）；（C）；（D）.2. .【】解 令，.3. .【发散】4.求.【】解 .5.求.【99-2，】解 【分部积分】.6.求.【】解 .问题13 定积分等式的证明答 证明关于定积分的等式，要

16、根据被积函数和积分区间，选择适当的方法，请看下面的例子.例题1.设函数，在区间上连续，为偶函数，满足为常数，证明.【用换元法】2.设在上有二阶连续导数，证明.【用分部积分法】习题1.设证明是以为周期的周期函数；求的值域.【04-2，】证 【只要证明】要证明，即，令，则故是以为周期的周期函数；要证明，只要证明，令，故为一常数，所以，即.【只要求出在上的最大值和最小值】，令，得，即，故在内的驻点为，故的值域为.2.设连续，常数，证明：.证 令，则，再令，则，代入上式，得.问题14 关于定积分不等式的证明答 利用第二讲中证明不等式的方法和定积分的不等式性质.例题1.设在上可导，证明：.证 【将常量不

17、等式化为变量不等式】令（要证）令，则，由在上可导，知，当时，递增，从而，递增，于是，递增，即.2.设在上连续、递减，证明：当时，.【提示：只要证】3.设在上连续，且严格单调减少，证明：.【提示：令，要证】4.设在区间上连续，且，证明，其中.【提示：由拉格朗日定理知，有，代入不等式左端】5.设在上连续，证明【提示：，其左端是一个关于的二次三项式，判别式】6.设在上连续，且满足，证明：. （04-3）证 设，则，即.7.设在上可导，证明：.三、定积分的应用问题15 如何用定积分的元素法计算几何量（物理量）？答 设量对区间具有可加性，计算步骤如下；求量的分布区间；求量相应于小区间的近似值（元素），误

18、差为；写出量的积分表达式；计算积分.关键是：求量的分布区间和相应于小区间的近似值（元素）.问题16 如何用定积分计算平面图形面积？答 在直角坐标情形，可按下列公式计算：设平面区域：，称为型区域，则的面积.设平面区域：，称为型区域，则的面积.投影找区间，穿刺找高度（用矩形面积公式计算面积元素）在极坐标情形下，可按下列公式计算：设曲边扇形：，则的面积.旋转找区间，穿刺找半径（用扇形面积公式计算面积元素）设平面区域：，则的面积.问题17 如何求旋转体体积？ 答 由元素法可得：由所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积.（圆柱法）用圆柱体积公式计算体积元素由（）所围平面图形绕轴旋转所得旋转体体积.（圆筒

19、法）用圆筒体积（展开后近似长方体）公式计算体积元素由所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积.例题1.设直线与抛物线所围图形面积为，它们与直线所围图形面积为，且，求，使最小，并求最小值；【】求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得立体的体积.【】解 当时，故当时，取得极小值，也是最小值，最小值为当时，递减，取得最小值，又，所以当时，取得最小值，最小值为.所求立体的体积.2.过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积.解 设切点为，切线方程，点在切线上，切线方程：，.习题1.曲线所围图形面积为 .【】2.双钮线所围图形面积为 .【1】曲线的对称性：代替，方程不变

20、，图形对称于极轴；代替，方程不变，图形对称于极点.3.曲线、轴、轴所围区域被曲线分为面积相等的两部分，求正常数.【3】解 画出图形，曲线与曲线的交点为，依题意，.，故.4.设曲线与轴所围图形绕旋转一周所得立体的体积.【】解 画出曲线与轴所围图形，由对称性知，.5.和分别是和的图像，过点的曲线（在的上方）是单调增函数的图像，过上任一点分别作垂直于轴和轴的直线和，记，与所围图形的面积为,与所围图形的面积为，如果总有，求曲线的方程【05-2，】6.设是位于曲线下方、轴上方的无界区域.求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积； 当为何值时，最小，并求此最小值.【07-2，】7.设在上连续，在内大于零，并满足

21、，又曲线与所围图形的面积为，求，并问为何值时，此图形绕轴旋转一周所得立体的体积最小.【】问题18 如何求旋转体侧面积？（数一、二）答 由所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体侧面积.例题1.设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.【98-2，】2.曲线与直线及围成一曲边梯形，该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为，侧面积为，在处的底面积为.求的值；计算极限.【04-2，2；1】问题19 如何求平面曲线弧长？（数一、二）答 弧长元素曲线方程为，则.曲线方程为，则.曲线方程为，则.例题1.计算曲线上相应于的一段弧的长度.【】2.求心形线线的全

22、长.【96-1，】3.求摆线一拱的弧长.【】4.设是抛物线上任一点处的曲率半径，是该抛物线上介于点与之间的弧长，计算的值.【01-2，】5设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分.（03-2）求曲线的方程；【】已知曲线在上的弧长为，试用表示的弧长.【】解 【利用导数的几何意义建立微分方程】曲线在点处的法线方程为，令 ，得，故点的坐标为.由题设知，即，解得，将代入上式，得，故曲线的方程为.曲线在上的弧长，的参数方程为弧长.问题20 如何用定积分求物理量？（数一、二）答 关键是求出该物理量的分布区间和元素：功元素力距离；水压力元素压强受力面积深度比重受力面积；引力元素，其中是与同方向单位向量.建立坐标系时，最好使二次曲线