第六章_线性变换_68180769

1、第六章 线性变换映射：，如果有一个法则，它使得X中每个元素，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为X到Y的一个映射，记作，称为在下的象，称为在下的原象。注：。变换：一个集合到自身的映射。线性变换的定义与性质定义 设V是数域F上的线性空间，是V的一个变换，如果满足条件：（1）；（2），则称是V上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：。例：设：，定义为，c为常数。-数乘变换或位似变换。c=0-零变换，记为o。c=1-恒等变换，记为。例：设s是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转q角的变换设，则记，则是一个线性变换。例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ; (2) ; (3) ; (4

2、) .线性变换的基本性质（1）； （2）；（3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若，则；若，则。（4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。线性变换的运算-线性空间上所有线性变换的集合。定义 设，它们的和定义为易证，即线性变换的和仍是线性变换。，有定义 设，与的数量乘法定义为同样可以直接验证，下列性质成立：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） .定理 对于上述定义的加法和数量乘法构成数域上的线性空间。定义 设，定义线性变换的乘积为易证，且，变换的乘积还有如下性质：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） .注：线性变换的乘

3、法交换律和消去律不成立。定义 设，如果存在，使得则称是可逆的，称为的逆变换。(逆变换是唯一的。)的逆变换记为，且.规定：，则注意：。定义：设，且，给定，称为线性变换的多项式。显然。线性变换在一组基下的矩阵定理1 设是n维线性空间V的一个线性变换，是V的一组基，则V中任一向量的像由基的像所完全确定。 设是V的一组基，则可由线性表出，设记，则有称A为线性变换在基下的矩阵。注1：A不一定是可逆矩阵。注2：。定理2 设线性变换在基下的矩阵为A，向量和在这组基下的坐标分别是和，则 y=Ax.证明：因为即y=Ax.例 设线性变换在基下的矩阵为求在基下的矩阵B。例 设是的一组基，是的线性变换，且，求在这组基

4、下的矩阵；若在下的坐标为，求在这组基下的坐标。线性变换与矩阵的一一对应关系引理 设是n维线性空间V的一组基，则对任意给定的n个向量都存在线性变换，使得。证明：设是任一n维向量，定义一个变换为：则有。以下证明是一个线性变换。设，则定理1设是n维线性空间V的一组基，是任一n阶矩阵，则有唯一的线性变换满足。证明：构造向量如下：由引理，存在线性变换，使得，于是即存在线性变换在基下的矩阵是A。如果有两个线性变换在基下的矩阵都是A则即例 已知的一组基，求(1)线性变换，使在这组基下的矩阵是; (2) 求线性变换，使得。定理2 设V是F上n维线性空间，则L(V)与Mn(F)同构。证明：在V中取一组基，设，则

5、定义映射，使得。易证是双射，且即 。对任意的，有即 所以是同构映射，即L(V)与Mn(F)同构。例 设V是数域F上的n维线性空间，证明由V的全体线性变换组成的线性空间L(V)是n2维的。以二维线性空间为例，写出L(V)的一组基。定理3 设是同构映射，则对，。证明：设，则即。推论：设，若可逆，则A是可逆矩阵，且；反之，如果A可逆，则也可逆。线性变换的核与值域定义1 设，的全体像的集合称为的值域，记作Im.定义2 设，所有被映成零向量的向量的集合称为的核，记作ker，即。结论：Im及ker都是V的子空间。定义3 dim Im称为线性变换的秩，dim ker称为线性变换的零度。例：零变换o：。例：恒

6、等变换：定理1 设，是V的一组基，A是在这组基下的矩阵，则（1）；（2）的秩=A的秩；（3）dim ker=n-秩A。证明：设，则显然，所以（1）成立。（2）由（1）知，又A的列向量是在基下的坐标建立的同构映射，把V中每个向量与它的坐标对应，由于通过映射保持向量组的一切线性关系，因此，向量组，所以的秩=A的秩。（3）设，设，则由于线性无关，所以有Ax=0。反之，假设是以满足Ax=0的解x为坐标的向量，即，则所以因此维数与Ax=0的解空间的维数相等，即dim ker=n-秩A。例：例：例：设是三维线性空间V的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为求Im及ker的基及维数。定理2 设，则证明：设中

7、取一组基，扩充为V的一组基，则由于,所以以下证明线性无关。考虑因为线性无关，所以有即线性无关，从而是的一组基，于是有推论 对于有限维线性空间的线性变换，是单射的充要条件是是满射。注意：。例：设线性空间是，线性变换是微分变换，则显然。结论：当，而且有。证明：设中取一组基，扩充为V的一组基，则已证线性无关，以下证明,线性无关。设则有因为，所以有由于和线性无关，所以即,为V的一组基，因此。例：设是n维线性空间V上的线性变换，证明在V上存在一组基，使在这组基下的矩阵为diag(1,.,1,0,.,0).例 设，试研究以A为矩阵的线性变换的核与值域，并探讨如何取基，使表达的矩阵更简单。不变子空间定义：设

8、，W是V的子空间，如果，都有，则称W是线性变换的不变子空间。平凡不变子空间：V，零子空间q。例1：考虑上的微分变换，则对于，是的不变子空间。例2 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间。不变子空间与矩阵化简之间的关系 设，V的r维子空间W是的不变子空间，在W中取一组基，扩充成V的一组基假设 因此将在基下的矩阵记作，那么其中：将的作用限制在W上，称为在W上的限制。 若，其中是V的关于的不变子空间，在每个取一组基，则这些向量合起来构成V的一组基，且在这组基下的矩阵为准对角矩阵，其中是在的基下的矩阵；反之亦然。例 设是的线性变换，在基下的矩阵为则，而且都是的不变子空间。例(P227,16) 如果是线

9、性空间V的s个两两不同的线性变换，那么在V中存在向量，使也两两不同。证明：令易证，且是V的子空间因为两两不同，所以对，存在，使得 ，即设中有r个零子空间，其余都是V的非平凡子空间则存在不属于每个非平凡子空间，显然，所以不属于零子空间，即不属于每个。特征值与特征向量定义 设，如果对于中的数，存在非零向量，使得，则称是线性变换的一个特征值，是的属于特征值的特征向量.例：设是上的数乘变换，c是一个常数，则任意非零向量都是特征值c的特征向量。例：零变换的特征值只有0，且任意非零向量都是特征值0的特征向量.例：设是上线性变换，满足，则是特征值1的特征向量；是特征值-1的特征向量。特征向量的性质：（1）

10、如果是的属于的特征向量，则对任意的非零常数k，也是的属于的特征向量；（2） 如果是的属于的特征向量，则当时，也是的属于的特征向量。定义 称为线性变换的属于特征值的特征子空间，特征子空间的维数称为特征值的几何重数。结论1：特征子空间是的不变子空间。结论2：设W=L(e)是的任意一维不变子空间，且，则W是特征子空间的子空间。结论3：且。结论4：设是线性变换，A是在某组基下的矩阵，则数是特征值。定义：多项式称为线性变换的特征多项式，它的根称为的特征根。 在复数域中把A的特征多项式进行因式分解，假设其中，称为特征值的代数重数。定理：设是n阶复方阵A的特征值，则它的几何重数总不大于它的代数重数。特征值与

11、特征向量的计算定义1：设A是n阶方阵，若存在数及非零向量x，使得Ax=x则称是A的特征值，x是A的属于特征值的特征向量。例 已知是矩阵的一个特征向量，试确定参数a, b及x对应的特征值。特征向量的性质1 若x是A的属于特征值的特征向量，则对任意的k(k0), kx也是属于A的特征向量。2 若x1, x2是A的属于特征值的两个特征向量，则(其中k1, k2是数，且)也是A的属于特征值的特征向量。3 一个特征向量不能属于A的不同的特征值。4 属于不同特征值的特征向量线性无关。证明：设是属于A的互不相同的特征值，为对应于它们的特征向量。k=1时，因为，所以线性无关。假设k-1时命题成立，下证命题对k

12、也成立。设 用乘(1)式两端，得再用A左乘(1)式两端，得即 由归纳假设，线性无关，所以因为代入(1)，得所以线性无关。5 设是A的特征值，x是A的属于的特征向量，则是Am的特征值，且x是Am的属于的特征向量。6 设A是可逆矩阵，是A的特征值，则，且是A-1的特征值，|A|是A*的特征值。7 设是A的特征值，f(x)是一个多项式，则是f(A)的特征值。特征值和特征向量的求法由即特征向量x满足齐次线性方程组因为x0，所以有定义：设A为一个n阶方阵，则行列式称为矩阵A的特征多项式。求给定方阵A的特征值与特征向量的步骤：（1） 求出特征多项式的所有解，得到A的全部特征值及它们的代数重数。（2） 分别

13、把A的每个特征值代入线性方程组中，得到分别求出它们的基础解系，则所有非零线性组合就是A的属于的全部特征向量。例 求下列矩阵的特征值和全部特征向量解：求A的特征多项式:所以，A的特征值为。当时，由得解得基础解系。所以属于的全部特征向量为cx11，c为任意非零常数。当时，由得解得基础解系。所以属于的全部特征向量为其中取遍所有不同时为0的数。B的特征多项式为所以B的特征值为。当时，由得解得基础解系。所以属于的全部特征向量为cx11，c为任意非零常数。当时，由得解得基础解系。所以属于的全部特征向量为其中取遍所有非零数。C的特征多项式为在复数域上，C的特征值为属于的所有特征向量为，其中取遍所有非零数。属

14、于的所有特征向量为，其中取遍所有非零数。例1A为n阶方阵，则A与AT具有相同的特征值。例2 对矩阵，证明AB与BA的非零特征值均相同；当n=m时，AB与BA具有相同的特征值。例3 设是A的特征值，对应的特征向量为x，证明满足矩阵方程的方阵A的特征值只能取1或2.例4 若A的所有特征值均小于1，则矩阵可逆。例5 设A是3阶矩阵，A-1的特征值是1, 2, 3，则|A|的代数余子式例6 已知的一个特征值对应的特征向量特征多项式的性质定理：设n阶矩阵的n个特征值为，则(1) (2) .证明：A的特征多项式为在复数域上可以完全分解，即(2) 在(I)中取，在(II)中取，.(1) 在(I)中展开后含项

15、的行列式有下面几个它们之和为(II)中展开后项的系数为：所以推论：例1 已知3阶方阵A的特征值为1, -2, -1，求|A+3I|。例2 若，证明1或-1至少有一个是A的特征值。定理(Hamiltin-Cayley定理) 设，是A的特征多项式，则。证明：的元素是的元素的代数余子式，因而是次数不超过n-1的的多项式。假设其中。于是设 由，展开并比较系数，得到推论：例 证明：方阵A的特征值全为零的充分必要条件是存在自然数m，使得Am=0.证明：（充分性）设是A的任一特征值，则是Am的特征值，因为Am=0，所以，即A的特征值全为零。 （必要性）设A的所有特征值都为零，则，由Hamiltin-Cayl

16、ey定理，。相似矩阵 设V是n维线性空间，是V的两组基，的过渡矩阵为P。 设是线性空间V的一个线性变换，在这两组基下的矩阵分别为A和B，则所以 P-1AP=B。定义：设A, B是两个n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得 P-1AP=B，则称矩阵B相似于矩阵A，记作。基本性质：（1） 自反性：；（2） 对称性：若，则；（3） 传递性：若，则。定理：n维线性空间V上的一个线性变换在V的不同基下的矩阵是相似的。相似矩阵的性质(设)1. 若，则，其中m是正整数。2. 若，设f(x)是一个一元多项式，则。3. 若，则4. 若，且A可逆，则B也可逆，且。5. 相似矩阵有相同的特征值和相同的特征多项式

17、。6. 若，则trA=trB, r(A)=r(B), 且|A|=|B|.例：已知，求|A-I|.例：设,求及.例：证明例：设A、B为n阶方阵，为B的n个特征值，若存在可逆矩阵P使得B=PAP-1-P-1AP+I，求.实对称矩阵和对角矩阵相似定理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值都是实数。证明：设是A的任一特征值，x是属于的特征向量，则因为A是实对称矩阵，由于，有即是实数。定理2 实对称矩阵A对应于不同特征值的特征向量是正交的。证明：设是A的两个不同的特征值，x1, x2是分别属于它们的特征向量，即 ，所以因为，所有，所以x1, x2正交。定理3 n阶实对称矩阵A，总存在正交矩阵Q，使得。证明：

18、n=1时，结论显然成立。假设n-1时结论成立。设A为n阶实对称矩阵，则A的特征值均为实数，设是A的一个特征值，x1是属于的单位特征向量。将x1扩充为的一组标准正交基，则矩阵是一个正交矩阵。因为，所以有即 因为A是对称矩阵，所以UTAU是对称阵，因此b=0,且B是n-1阶对称矩阵，由归纳假设，存在n-1阶正交矩阵P，使令，则C是正交矩阵，且取Q=UC，则Q是正交矩阵，且其中为A的特征值。求正交矩阵Q化实对称矩阵A为对角阵的计算步骤：（1） 求A的特征值，设其中（2） 对每个，求特征向量，即求的基础解系，得。（3） 对每组向量，分别作施密特正交化，得到特征子空间的标准正交基。（4） 令，则Q是一个正交矩阵，且。例：设，求正交矩阵Q使Q-1AQ为对角阵，并求Ak(k为正整数)。若，求正交矩阵P和对角阵C，使得P-1BP=C。对应于，由，即得到线性无关的特征向量;.利用施密特正交化方法，取将单位化，得对应于，由，即特征向量单位化，得。取正交矩阵则。例1：设A是实对称矩