考虑岩体时效深埋隧洞施工过程的理论解析开挖锚喷与衬砌支护的全过程模拟与解答

1、考虑岩体时效深埋隧洞施工过程的理论解析开挖、锚喷与衬砌支护的全过程模拟与解答王华宁 1，曾广尚 1，蒋明镜 2(1. 同济大学航空航天与力学学院，上海 200092；2. 同济大学土木工程学院地下建筑与工程系，上海 200092)摘 要：对具有时效特性的流变岩体，施工过程对围岩力学响应有显著影响。针对黏弹性时效岩体中深埋圆形隧洞的断面及纵向开挖、锚喷和衬砌施工，用圆柱型正交各向异性弹性体模拟锚固后岩体，建立材料特性变化后锚固区力学 响应的计算方法，进而导出 Burgers 岩体全施工过程的封闭解析解。根据解答分析了锚固区各向异性程度、锚固及衬砌支护时刻、锚固厚度对锚固区应力、位移的影响。分析表

2、明：锚固区环向刚度的改变可显著影响岩体力学响应，而改 变径向刚度则变化极小；衬砌受力与其施加时刻相关，而受锚固时刻影响不大；增加锚固区厚度可减小位移，优化锚 固区受力，但对衬砌的受力影响很小。本解答可进行相似条件下隧洞初步设计。关键词：时效；锚喷支护；解析解中图分类号：TU457文献标识码：A文章编号：10004548(2014)07133410作者简介：王华宁(1975 )，女，副教授，主要从事岩土工程中数值与解析方法研究。E-mail: wanghn。Analytical solutions of deeply buried tunnel during construction consi

3、dering time-dependent behaviors of rocksimulations and solutions of sequentialexcavation, rockbolt reinforcement and liner installationWANG Hua-ning1, ZENG Guang-shang1, JIANG Ming-jing2(1. School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Departmen

4、t of GeotechnicalEngineering, College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)Abstract: For the rheological rock with time-dependent behaviors, the mechanical response is greatly affected by the sequential construction of the tunnel. The cross-section excavation, longitudinal

5、 advancement, rockbolt reinforcement and liner installation are accounted for during the analytical derivation for a deeply buried circular tunnel in viscoelastic rock. The characteristics of rockbolt reinforcement region are regarded as homogeneous cylindrically anisotropic elasticity, and the corr

6、esponding method is then proposed. Accounting for the whole construction process, including sequential excavation, reinforcement and liner installation, the closed form solutions are derived when the rock is simulated to Burgers viscoelastic model. Based on the solutions, an extensive parametric ana

7、lysis is then performed to investigate the influences of anisotropy degree, installation time of rockbolt and liner and thickness of reinforced region on tunnel convergence and the stresses. The analysis shows that the hoop stiffness of the reinforced region has a significant impact on the mechanica

8、l response of rock, while the effect of radial stiffness is much less. The stresses of the liner are greatly affected by its installation time, and the installation time of the rockbolt has no effect on the stresses. Increasing the thickness of reinforced region can reduce the convergence and optimi

9、ze the stresses of reinforcement region, but it has little effect on the stresses of the liner. The proposed solutions can be applied to the preliminary design of tunnel construction with similar conditions.Key words: time dependentcy; rockbolt support; analytical solution0 引 言 对大断面隧洞，除存在垂直于断面的纵向开挖（

10、掌 子面的推进），断面也非一次成型。断面开挖完毕后一 般需进行支护，而不同类型支护也将在不同时刻施加。 另外，受长期地质作用影响，软岩及某些深部岩体的变形具有与时间相关的时效特点，在该类岩体中施工 基金项目：国家重点基础研究发展计划（973 计划）（2014CB046901）； 上海市自然科学基金项目（11ZR1438700）；国家杰出青年基金项目（51025932）收稿日期：20131010第 7 期王华宁，等. 考虑岩体时效深埋隧洞施工过程的理论解析开挖、锚喷与衬砌支护的全过程模拟与解答1335时，开挖步序、支护时刻对围岩力学响应有很大影响。交通、水工深长隧道和矿山深井巷道，其所处深部地

11、层水平应力与垂直应力趋近，而圆形又是最常见的洞 型。本文用黏弹性模型体现岩体时效特点，尝试求解 深埋圆形隧洞考虑开挖、锚喷、衬砌全施工过程的力 学响应理论解。对考虑断面开挖过程且存在一次及二 次弹性衬砌问题已由文献1，2给出，本文重点解决 锚固后岩体如何合理等效以及计算方法的建立。精确 解虽然只针对简化模型，但可以更直观、方便地揭示 相关参数对结构应力、变形的影响，工程中可据此进 行初步设计。同时，文献3中对连续完整岩体中锚杆 加固对岩性和岩体宏观响应的研究意义也给予积极评 价。锚喷支护是隧洞一种主动支护形式，锚杆的连接 作用和混凝土在损伤岩体中的渗透，都可大大提高锚 固后岩体的强度和整体性，

12、从而维护隧道稳定。国内 外学者通过采用数值3-5、试验6-7、解析方法8-13来研究锚喷支护机理及支护效果。在解析研究中，由于精确考虑单根锚杆局部作用非常困难，因此多采用等效 方法。文献8将锚杆与岩体的摩擦力均匀化后作为体 力 F (r) 加在岩体上（见图 1（b）；对无摩擦锚杆， 文献5，13将锚杆作用到岩体的集中力等效均布到两 端边界上，并通过位移协调求取该力（图 1（c）。 这两种方法用改变加固岩体受力状态等效体现锚杆的 支护作用。但有研究表明，注浆及喷射混凝土在岩体 中的渗透对其力学特性也有影响14。为综合体现锚喷 支护宏观作用而得到整体支护效果的定性、定量规律， 可将锚固岩体等效为均

13、匀材料(等效材料法)，通过等 效材料参数体现锚固对岩体力学特性的加强8-12。此 外，实验表明7，由于锚杆的施加，锚固岩体体现出 一定的正交各向异性特点。文献12用圆柱型正交各 向异性弹性体（见图 1（d）， Er ¹ Eq ）模拟锚喷支护的整体作用，并根据锚杆间距、长度等参数得到等效弹性模量和泊松比，但仅针对弹性岩体的加固，且 并未考虑支护的延迟和断面、纵向开挖的空间效应以 及衬砌的施加。前述研究认为开挖与锚固在 t=0 时刻瞬时完成， 因此锚固区与未加固区为两种材料，可直接分区计算。 本文认为锚喷支护可在开挖完毕后任意时刻施加，施 加前后材料特性发生变化，因此需要建立针对时效岩

14、体特性变化时相应计算方法。锚固后，本文采用等效 材料法，用圆柱型正交各向异性弹性体模拟锚固后岩 体；同时考虑断面和纵向开挖及任意时刻施加支护， 导出岩体与锚喷与衬砌支护共同作用时结构响应的封 闭解析解。此外，本文等效锚固体的解答可应用文献 12的处理方法，进一步得到锚杆和围岩中的应力。 图 1 常用锚喷支护的等效方法 Fig. 1 Equivalent methods for rock mass reinforced by rockbolt1 分析模型及锚固区的模拟 1.1 计算模型及假定 对大断面隧洞，钻爆法常采用断面分部开挖，或 先用 TBM 施工法开挖圆形导洞而后扩挖成型15。圆 形隧洞

15、也可采用扩孔式 TBM 施工，通过一至两次扩孔形成最终洞型16。设开挖完毕后在 t 时刻施加锚杆1并喷薄层混凝土作为初次支护，而在 t2 时刻继续施加衬砌支护。以下是 6 个假定：（1）隧洞深埋，处于静水应力场中，初始地应力 为 p0 。（2）围岩视为均匀、各向同性材料；用黏弹模型 模拟岩体的时效特性。（3）隧道断面为圆形，半径由零逐步开挖至设计 半径 R1 ，用开挖函数 Rd (t ) 表征断面的任意开挖过程。 Rd (t ) 随时间变化的函数可写为ìR(t ) (0 t < t0 )Rd (t) = íR，(1)(tt )î 10式中， t 为开挖完成时

16、刻， R(t ) 为根据断面开挖过程0确定的函数。当 R(t ) 采用分段函数时，可以模拟扩孔式 TBM 施工或具有超前导洞的开挖方式。（4）为避免考虑纵向开挖（掌子面推进）时三维 计算的困难，用作用在研究截面内边界的虚拟支护力17p0 (t) 等效纵向开挖所造成的三维效应，并可表示为17aap0 (t ) = p0 1 - c (t ) ，(2)式中，纵向开挖系数 c (t ) Î0,1 。依据有限元计算和现 场 量测数 据 ，本文 取 c (t) = 1 - 0.7 e- m1 × x ，其中 1.5818m1 =， x = vl × t ， vl 为纵向开挖

17、速度。R1（5）由于锚杆仅沿径向分布，而且其弹性模量比岩体大，因此等效后锚固岩体径向与环向的力学特性岩 土 工程 学 报2014 年1336存在差别，这一现象在试验中也得到了验证7。因此，本文将支护后的锚固岩体等效均匀化为径向与环向特 征相异的圆柱型正交各向异性体。（6）认为锚喷和衬砌支护在不同时刻瞬时施工完 成。由以上假定，本问题可简化为平面应变问题（图2），其中 R2 是锚固区的外边界半径， R3 是衬砌的内 边界半径，r，q，z 为柱坐标。受锚杆加固作用的岩 体孔口区域称为锚固区；而未打入锚杆的远离孔口区 域称为原岩区。 p1 (t) 为锚固区与原岩区的相互作用 力，未支护前的阶段，该力

18、可由文献2结果计算得到， 而锚喷和衬砌支护后该力未知，即构上的作用，后文中的衬砌即为后续施加的永久衬砌。当初喷厚度较大时，本文中衬砌结构也可模拟其作用， 但该情况下无法考虑永久衬砌。与已有研究8-13不同， 由于考虑开挖过程而使支护有延迟，即并非在 t=0 时 刻施加，因此必须考虑支护前后材料特性发生变化（黏 弹性材料变为各向异性弹性材料）时锚固区的模拟和 计算方法。下面先对一维情况进行分析。图 3（a）给出 Burgers 黏弹性模型的一维示意图。 本文假定锚喷支护使岩体黏弹性模型中的黏壶在支护 时刻“凝固”不再发生与时间相关的变形，而已发生 的黏性变形也得以凝固保留。另外，对锚固后的岩体，

19、通过并联一个弹簧（弹性模量为 Eb ）计入锚喷对刚度 的加强（ Eb0 ）或未修复损伤对刚度的折减（ Eb0 ）， 如图 3（b）所示。对 t = 0 时刻开始作用的常应变 e0 ， 引起的应力为s 0 (t ) = e 0Y (t ) ，其中Y (t ) 为松弛模量。 由常用模型的Y (t ) 表达式19可见，其随时间将逐渐变ìR2 (t) ùR2 (t ) éaï p0 ê1 -ú + p0 (t)(0 t t1 )(t1t t2 ) 。(3)(tt2 )R2R2ïë2 û2íp1 (t )

20、 = ï p11 (t )ï p (t )12î小，从而表征材料刚度减小的劣化过程。若在 t 时刻1锚固，则黏壶凝固， Y (t ) º Y (t1 ) ( tt1 )。由黏弹性理p2 (t) 为锚固区与衬砌之间的相互作用力，可表示为(t ) = ì0(t t2 )19论，对作用于t i 时刻( t it1 )的应变增量 Dei ，t 时刻p。(4)í p2(t )(tt )( tt )应力增量为î 2221Ds i = De iY (t1 - t i )。(5) 图 3 岩体及锚固体模型示意图 Fig. 3 Physica

21、l models for viscoelastic rock and reinforced rock若在支护后t j 时刻(t j t1 )作用应变增量 De j ，对 应 t( tt1 )时刻应力增量： 图 2 整体及锚固区、衬砌的分析模型 Fig. 2 Mechanical models for rock, rockbolt reinforcement region and liner1.2 锚固区的模拟 从微观上讲，岩石时效特性可看作微裂隙不断扩 展的宏观表现。黏弹性模型中采用可产生随时间相关 黏性流动的黏壶元件来体现弹性阶段中的时效特点。 当开挖完毕，近孔口范围进行锚喷支护后，岩体整体

22、 性大大提高，同时注浆和喷射混凝土渗透到岩体中修 复损伤，从而使锚固区不再具有时效特性而更接近弹 性体的特点。同时，由于径向施加锚杆，锚固后岩体的整体径向和环向材料特性也不同7, 12。为方便研究 锚喷支护对岩体的宏观作用，本文将锚固区，包括加 固岩体、锚杆，等效为径向、环向特性不同的圆柱型 正交各向异性弹性体，轴向（z 向）的材料特性与环 向相同。当初次喷射混凝土（初衬）厚度较小时，其 作用主要是封闭开挖面和修复损伤，可不考虑其在结Ds j = De j Y (0) + Eb 。(6)因应变作用于支护后，式（6）中的弹性模量考虑了并联弹簧的作用。由黏弹性问题 Boltzmann 叠加原理可

23、得锚固后某时刻总应力( tt1 )：nms (t ) = s 0 + å Ds i + å Ds ji =1j =1nm01å i1iå j= e Y (t ) +De Y (t - t ) +De Y (0) + E 。(7)bi =1j =1对连续变化的应变可写为积分形式：de (t )t1s (t ) = e Y (t ) + ò Y (t - t )dt +0 11dt0t de (t )Ydt + e (t + ) - e (t - )Y ，(8)ò111 1dtt1式中， Y1 = Y (0) + Eb 。对黏弹性模型，积

24、分型一维应力、应变关系为第 7 期王华宁，等. 考虑岩体时效深埋隧洞施工过程的理论解析开挖、锚喷与衬砌支护的全过程模拟与解答1337t de (t )s (t ) = e Y (t ) + ò Y (t - t )dttt-。(9)bbG t ( ) = G 1ea+ a2 e(K =¥ )12，(13)0dt0M式中，对比式（8）、（9），式（8）可改写为= b2GM (hM + hK ) - b1GKhM2B3t de (t )Ydt + e (t + ) - e (t - )Y 。(10)，a, b=s (t ) = s (t - ) +ò11(b - b

25、)B21111 1B2 +B2 - 4B1 B32B3dtt12 1 2-增量应力与应变：Ds (t) = s (t ) - s (t1 ) ，De (t) = e (t ) -= b2GKhM - b1GM (hM + hK ) , ba=,22-(b2 - b1 )B2e (t1 ) ，则得到 t ³ t1 时段的增量应力和应变关系为B2 -B2 - 4B1 B32Ds (t) = Y1De (t)。(11)B1 = GM GK，B2 = GM hM + GM hK + GKhM ，B3 = hM hK 。GM ， GK 为剪切模量，hM ，h K 为黏性系数。代入式（12）得径

26、向位移为显然，增量应力、应变关系是以Y1 为弹性模量的线弹性形式。若锚固并未完全修复损伤，可令 Eb0 ，即等效锚固体的弹模比原岩区的初始弹模略小。同时，锚杆施加后也可能对刚度有提高。因此，Eb 将反映锚 固和劣化的综合影响，其值需通过试验确定，本文未 涉及该参数的取值方法。在文献12中，对弹性加锚 岩体，由锚杆材料、几何分布参数及岩石弹性参数可 确定等效锚固体的弹性模量，其并未考虑材料劣化。 若为三维问题，锚固前为各向同性黏弹性岩体； 锚固后增量应力、应变为圆柱型正交各向异性弹性的 本构关系，即图 3（b）中径、环向模型的 Eb 不同。 因此，可以先按一般黏弹性问题的求解方法进行11tu R

27、 (r, t) =òm(t )dt + m(t ) +r2h1r2G1r0- G2 tG2 t1te h2ò m(t )eh2 dt ，(14)2h r02ìïR2 (t )( pa (t ) - p )(0 t t )式中， m (t ) = íd 001。2ïîR2 ( p1 (t ) - p0 )(tt1 )原岩区应力：R 2 öR 2üæRs =- p ç1 -÷ - p (t )，ï 2 2 -t t1 时段的求解，再进行 tt1 时段的增量求解并叠加。r

28、0èr 21r 2øï(15)ýR 2 öR 2æ。ïs R =- p ç1 +÷ + p (t )22ïq0èr 21r 2øþ2 用支护力表示的原岩区、锚固区及衬砌位移、应力表达 本文为轴对称平面应变问题，只有径向位移及径 向、环向、z 向应力不为零。以下计算中正应力拉为 正；位移远离洞心为正。下面对原岩区、锚固区及衬区分支护前后时段代入 p1 (t ) 的表达式即可得到支护前后的围岩位移和应力。2.2 锚固区的应力与位移 锚固后应力增量应该满足相应的边界条件如

29、下：Ds S= Dp (t) = - p (t ) - pa (t ) + pa (t ) ，üï (16)r = R1r200 11砌给出用支护力 p (t ) 与 p (t ) 表达的应力与位移。ýïþ12s rS+ p1 (t1 ) 。D= Dp2 (t ) = - p1 (t ) 2.1 原岩区的应力与位移 若岩石材料体积不可压缩（可压缩的情况可类似 导出，见附录），施工引起的径向位移为2r = R2根据圆柱型正交各向异性弹性理论20，可得锚固区的径向位移增量：R22l (1 ) (é p × r (t ) - Q(

30、t ) × r (t ) ù-10DuS r tt + pa t- pa tr ( , ) =A l - Ap2 ( ) 0 ( ) 0 ( 1 ) ×2210u Rú ，1 - c=- Lrêêë(12)r02sG(t )úûcl +1 -( p (t) - p (t ) (r / R )l + ( A l + A ) ( p (t) +0 11 120 1 2式中， r (t ) ， Q(t) 分别为黏弹区边界半径和应力。L -1× 表示对× 的 Laplace 逆变换，G(t)为

31、黏弹模型的 剪切松弛模量， (×) 表示对 (×) 的 Laplace 变换。Burgers 黏弹性模型（见图 3（a）能够全面反映 材料瞬时弹性、弹性后效、黏性流动及应力松弛特性， 符合岩石在较高应力水平下蠕变的第二阶段；同时， 可退化为 Boltzmann 模型( hM ®¥ ) 、Kelvin 模型 (hM ®¥ 且 EM ®¥ )、Maxwell 模型( EK ®¥ )，因此 导出的公式适用性更强。本文即针对 Burgers 模型进 行推导。体积不可压缩时，其剪切和体积松弛模量为 aa

32、l +12llp0 (t ) - p0 (t1 )c0 - ( p1 (t ) - p1 (t1 )c0 (R2 / r) ，(17)式中，n 2n n ×nE (E -n 2 E )1 zq qr zr zq q z zr r ，A0 =-, A1 =+EEE, l =E (E -n 2 E )Eqzqzrzzq qc = R1 , E , E , E 是沿 r,q , z 弹性主方向的弹性模量，r q z0R2n ij ( i, j = r,q , z )是由于在 i 方向拉伸而在 j 方向引起收缩的泊松系数。径向与环向应力增量为 p1 (t1 ) - p1 (t ) (r /

33、R2 ) - ( R2 / r ) c0 l -1l +1 2lSDs (r, t =)+r2l1 - c0岩土工程学报2014 年1338éë p (t ) + pa (t ) - pa (t )ùû (r / R )l -1 - (R / r)l +1 GK (t -t ) ö A p(t )h æ1200 122K ç1 - ehK见附录。 令g (t ) = f (t) +2 1 1÷ +，(18)11ç÷(1 - c2l )c- (l +1)GèøK0 0 p (t

34、 ) - p (t) (r / R )l -1 + (R/ r)l +1 c2lA p (t )(t - t ) - p (t ), j (t ) = p (t ) - p (t ) ，则式（25）DsS (r, t) = 1 1 1 2 2 0 +3 1 1 1 1 11可化简为111 1q(1 - c2l )l -10ëé p (t ) + pa (t ) - pa (t )ûù (r / R )l -1 + (R / r )l +1 é- GK (t -t )ùt200 122j (t ) ê A e hK。(19)j

35、 (t) =òt1+ A údt + g (t ) ( tt )。(26)112311(1 - c2l )c- (l +1) l -1êëúû00则锚固区总位移和总应力为通过函数延拓并用 Laplace 变换法22求解上述积分方 程，可得uS (r, t ) = u R (r, t - ) + DuS (r, t ) ，ürr 1rïts S (r, t ) = s R (r, t ) + Ds S (r, t ) ，(20)j (t) =Q (t - t )g (t )dt + g (t ) ，ò(27

36、)ýrr 1r1111ts S (r, t ) = s R (r, t ) + Ds S (r, t ) 。ï1þqq 1q式中， Q (t ) 的表达式见附录 。进而由 j (t) 得到 11p11 (t ) = j1 (t ) + p1 (t1 ) 。将支护力 p11 (t ) 代入式（14 ）、（15）、（20）即可得到锚固后 t1 tt2 时段原岩区及锚固区的位移、应力的理论解。3.2 衬砌施加后的各区相互作用力求解 2.3 衬砌应力与位移 衬砌力学模型见图 2（c），边界条件为s Lü= 0 ，ïrr = R3(21)ýs

37、L=- p (t ) ïþ。rr = R12下面利用位移协调条件确定衬砌施加后( t > t )锚2固区对原岩区的支护力 p (t ) 和衬砌与锚固区之间的认为衬砌弹性，由弹性理论21可得衬砌的径向位移：12相互作用力 p22 (t ) 。位移协调条件为：衬砌与锚固区之间，(2n 2 + n - 1)r 2 - (n + 1)R 2 c2u L (r, t ) = p (t ) ×LLL1 1。(22)r2E (1 - c2 )rL1LSS-ur (R1 , t ) = Dur (R1 , t ) - Dur (R1 , t2 ) 。(28)原岩区与锚固区之

38、间，tt2 时径向与环向应力:ur (R2 , t) - ur (R2 , t2 ) = Dur (R2 , t ) - Dur (R2 , t2 ) 。(29)RR-SS-2æ R ös L (r, t )éù p (t ) r=± êc2 ç1÷2，m 1ú(23)1è r ø将式（22）、（17）代入式（28），并用 p (t ) 表示 p (t ) s L(r, t )1 - c2êëúû11222q得式中， c = R3 。R aal

39、+1p (t ) =- 2( p (t) - p (t )c - ( p (t ) -1R12200 2012(1 - c2l ) A05(t ) ( A l - A ) ( R / R )l + ( pa (t ) - pa (t )cl +1 -p11 2011200 203 支护力的求解 下面利用原岩区、锚固区、衬砌之间的接触条件 确定支护力 p1 (t ) 与 p2 (t ) 。由于应力协调已在边界条 件中体现，推导中只需满足位移协调条件。3.1 仅施加锚喷支护阶段的支护力求解 当 t1 tt2 ，仅存在锚喷支护。锚固区与原岩区 的位移协调条件为)l ( p12 (t ) - p11

40、(t2 )c0 ( A0l + A1 ) R2 / R1 ，(30)2l式中，l +1 élölö ùææA = R2 c0 ê( A l - A ) ç R1 ÷ + ( A l + A ) ç R2 ÷ ú +501012l1 - c0è R2 øè R1 ø úûêëR1(1 + n )(c2 - 2n + 1) 。L1LE (1 - c2 )L1将式（14）、（17）代入式（29），并根据

41、式（30）得RR-Sur (R2 , t ) - ur (R2 , t1 ) = Dur (R2 , t ) （tt1） 。将式（14）、（17）代入式（24）整理得(24)é- GK (t -t )ùt(t ) ê A e hKp (t ) = ò p+ A údt + f (t) ，(31)- GK (t -t )éù+ A3 údt + f1 (t )úû1212672têëúût2òtp11 (t ) ê A2 eê&

42、#235;hKp11 (t ) =( tt1 )，1 2 2 R2R2式中， A = - ， A =A = - 6782h R A 2h R A (25)K 2 8M 2 8R2R2R22R2 A cl +1lR式中，2，A = -2，A =A =- é A l(1 + c2l ) - A (1 - c2l )ù -2+22 0 02l ëû2342hK R2 A42hM R2 A400 1 02l 22G R1 - c(1 - c ) AM 200 5R2 R éll ùé A l (1 + c2l ) - A (1 -

43、c2l )ù ，f (t) 表达式æöæö22R1R2+2l ëû+ ( A c2l l + A c2l )ê( Al - A )ú，f (t ) 表达式00 1 01ç R ÷ç R ÷ ú2GM R21 - c00 10 0 1 02êè 2 øè1 ø ûë第 7 期王华宁，等. 考虑岩体时效深埋隧洞施工过程的理论解析开挖、锚喷与衬砌支护的全过程模拟与解答1339 图 4 各向异性

44、程度对孔口位移和应力的影响 Fig. 4 Influence of anisotropy on displacement and stresses at inner boundary of tunnelGæK (t2 -t ) ö4.1 锚固区各向异性程度的影响 各向异性是由于锚杆对径向和环向加强的程度不A p (t )hK ç1 - ehK见附录。令： g (t ) = f (t ) +6 11 2÷ +ç÷22GKèø同造成的。锚固区各向异性程度可用 G G比值体A7 p11 (t2 ) × (t -

45、 t2 ) - p11 (t2 )，j2 (t) = p12 (t ) - p11 (t2 )，则式（31）可化为rq现。对 Burgers 模型，G(0)=GM。因锚杆的加强作用(体现在图 3（b）中 Gb > 0 )，Gr 及 Gq 比 GM 大。Gr 或 Gq 与 GM 比值反映了加固程度。锚固区厚度 d1 = 2 m ，衬 砌厚度 d2 = 0.10 m ，t1 = 5 d 时施加锚喷支护，t2 = 6 天施加衬砌支护。针对以下取 5 组剪切模量比分析各 向异性程度对应力与位移的影响：（1） Gr Gq GM = 1 1 1 ，即各向同性。（2） Gr Gq GM = 1.5 1

46、 1 。（3） Gr Gq GM = 2 1 1 。（4） Gr Gq GM = 2 1.5 1 。（5） Gr Gq GM = 2 2 1 。（1）（3）是由径向的剪切模量逐渐增大而引起各向异性程度逐渐增大。（3）（5）是由环向剪切 模量逐渐增大而引起各向异性程度逐渐减小。图 4 给出各向异性程度引起孔口处( r = R1 )位移、径向应力及 环向应力的变化。对 Burgers 模型，经过若干年后，应力与位移才逐渐稳定。由图 4 可见，当径向刚度增 大而环向刚度不变时，此时各向异性程度变大，但位 移和应力几乎没变化，说明径向刚度的改变对位移、 应力影响不明显。保持径向刚度不变，当各向异性程

47、度增大（环向刚度减小）时，位移与径向应力增加， 环向应力减小。可见，由环向刚度变化引起的各向异 性程度对洞口的力学响应影响比较大，各量对环向刚 度变化比较敏感。因此，锚固区环向的加强在控制位 移上更有效。同时可以看出，各种情况下径向应力差 别不大。因该力为孔口径向应力，同时也是衬砌对围 岩的支护力，说明各向异性程度对支护力的影响有限。分析显示，锚杆和锚固岩体的整体锚固区承 担了更多的力，相比锚固前，其应力处于更不利状态， 但位移有明显减小。模型很好地体现了锚喷支护止流 变以及提高对外部围岩支护力的作用，但止流变基础éj2 (t ) ê A6 eêë- G

48、K (t -t )ù+ A7 údt + g2 (t ) 。úûthKj2 (t ) =òt2(32)同样用 Laplace 变换法可求得上述积分方程的解为tj2 (t ) = ò Q2 (t - t ) g2 (t )dt + g2 (t ) ，(33)t2式中， Q2 (t ) 表达式见附 录。由 j2 (t ) 进而得到 p12 (t ) = j2 (t ) + p11 (t2 ) 。将支护力 p12 (t ) 和 p22 (t ) 代入式（14）、（15）、（20）即可得到锚固并施加衬砌后 tt2时段原岩区及锚固区的位移、应力

49、的理论解。4 算例分析 在地下 600 m 左右开挖一圆形隧道，设计半径 R1 = 6 m ，初始地应力 p0 = 15 MPa 。在断面开挖中， 工程中会采用分次扩孔的阶梯式开挖方式。根据文献 1中分析，将阶梯式开挖等效为连续开挖方式对挖完 以后位移、应力影响很小。因此，为便于计算并着重 分析锚喷和衬砌支护的作用，断面假定为线性连续开 挖方式，即R(t ) = R0 + vr t，(34)式中， vr 为断 面开挖速 度 ，本例取 R0 = 1.0 m ，vr = 1.25 m/d ，则 t0 = 4 d 。围岩模拟为 Burgers 黏弹性模型的岩体，材料参数可由实验或反演的方法23确定：

50、GM =1498 MPa，hM =100600 MPa/d， GK =1535MPa，hK =13850 MPa/d， EL =25500 MPa，n L =0.2。经试算，锚固区泊松比的各向异性对力学状态影响不大，故取相同值 0.2。下面根据解答分析各向异性程度、 不同衬砌厚度及不同锚固区厚度对洞口应力、位移的 影响。为与工程习惯一致，以下图中给出各量负值随 时间的变化，即应力图中正值为压力，位移图中正值 为指向洞心的位移。岩 土工程 学 报2014 年1340上径向弹模的提高则对应力、位移几乎没有影响。因此，用等效均匀化方法进行锚固区模拟计算时，可以 将锚固区作为各向同性材料处理，根据锚杆

51、的布置、 实测等方法确定等效环向弹模即可。以上给出的应力为锚固岩体中的等效力，若进一 步研究岩体与锚杆的相互作用，则该力将在两种结构 中进行分配，由于锚杆承担了一部分力，岩体的实际 受力状态将比未加固前更安全。4.2 锚喷支护和衬砌施加时刻的影响 锚固施工需要时间，因此实际加锚时刻相比断面 开挖完成时刻有延迟。当锚固厚度 2 m，衬砌的厚度t2 = 10 d 时，图 5 给出不同锚固时刻对洞口位移和应力影响。可见越早施加锚固，对洞口的位移的控制越明显和有效。但洞口的径向应力（衬砌施加的支护力）， 对锚固时间并不敏感，因此对衬砌设计没有影响；但 越早施加锚固，洞口的环向应力就越大，锚固区承担 了

52、更大的力。本例中衬砌为永久支护，主要作为强度储备，其 受力和变形不能太大。因此何时施加需要根据具体情 况讨论。若锚固时刻均为 4 d 不变，图 6 给出衬砌施 加时刻对位移和应力的影响。衬砌越早施加，洞口的 位移就越小，同时径向力（支护力）越大，环向力越 小，即锚固区受力状态更安全，但衬砌受力更加不利。m， Gr Gq GM = 1.1 1 1 ，衬砌施加时间0.3 图 5 锚固时刻对孔口位移和应力的影响 Fig. 5 Influence of installation time of rockbolt on displacement and stresses at inner boundar

53、y of tunnel 图 6 衬砌施加时刻对孔口位移和应力的影响 Fig. 6 Influence of installation time of liner on displacement and stresses at inner boundary of tunnel 图 7 锚固区厚度对孔口位移和应力的影响 Fig. 7 Influence of thickness of reinforced region on displacement and stresses at inner boundary of tunnel第 7 期王华宁，等. 考虑岩体时效深埋隧洞施工过程的理论解析开挖、

54、锚喷与衬砌支护的全过程模拟与解答1341当 15 d 后施加衬砌时，衬砌最终受力将变化不大，且承担的围岩压力（支护力）为地应力的 30%左右。4.3 锚固区厚度的影响 在分析锚固区厚度影响时，衬砌的厚度 ( d2 = 0.10 m )保持固定。同时，Gr Gq GM = 1.1 1 1 。锚固区的厚度分别取 0，1，2，3 m。图 7 给出不同锚固厚度下洞口( r = R1 )处位移与应力随时间 的变化。由图可见，当锚固区的厚度 d1 ¹ 0 m 时，洞 口的位移与应力均随着锚固区厚度增大而逐渐减小， 径向应力的减小最不明显。因此，增大锚固厚度不仅 可减小位移，还可使锚固区应力处于更安全的状态。 当锚固区的厚度 d1 = 0 m 即仅施加衬砌时，位移和径 向应力随时间有快速和明显的增大，而环向应力呈略 微减小的趋势。当 d1 = 3 m 时，孔口的稳定位移比不 加锚固时的稳定位移减小 72%。此外，锚固厚度越大， 虽然s r 会变小，但变化并不大。1159 1166. (WANG Hua-ning, CAO Zhi-yuan, LI Yue.Analytical research of l