关于范德蒙德行列式的性质探讨

1、山东师范大学范德蒙德行列式的应用探讨李珊珊 摘要：范德蒙德行列式作为一种重要的、著名的行列式性质独特、形式优美，利用范德蒙德行列式能大大降低我们解题时的难度，起到事半功倍的效果. 本文将介绍范德蒙德行列式的概念及其性质，并且给出范德蒙德行列式在行列式计算，向量空间理论，线性变换理论，多项式理论和微积分问题五个方面较全面的具体应用，并对方法和技巧做出概括和总结. 关键词：范德蒙德行列式；向量空间；线性变换；多项式；微积分中图分类号：O13Discussion on The Application of Vandermonde Determinant Li Shan-shanAbstract: T

2、he determinant is an important tool in Mathematics. It is the basis of the follow-up to the content system, such as linear equations, matrix, vector spaces and linear transformations. And it has a wide range of applications. As an important and famous determinant, Vandermonde determinant has not onl

3、y unique structure, but also exquisite form. Using Vandermonde determinant can greatly reduce our computation on solving problems. That is also the essence of using Vandermonde determinant. This article will introduce the concept of Vandermonde determinant and its calculation method and properties.

4、Whats more, this article will summarize Vandermonde determinant in determinant computation, vector space, linear transformation theory, theory of polynomial and solving the problems of calculus in specific applications. And the article in the methods and techniques of Vandermonde determinant will ma

5、ke a summary. Keywords: Vandermonde determinant; vector space; linear transformation; polynomial;Calculus 1. 引言 行列式在高等代数中是一个重要的数学工具，活跃在数学的各个分支. 行列式最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中. 它的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的. 18世纪，法国著名的数学家范德蒙德（A.T.Vandermonde,1735-1796）将行列式的理论脱离线性方程组，而放到理论高度作为专门的理论进行研究，并在此基础上确立了行列式的一些性质，使行列式逐步成为一门

6、独立的数学研究课题. 范德蒙德行列式是范德蒙德在1772年提出的一种著名的行列式，具有重要的理论研究价值和广泛的应用价值. 利用范德蒙德行列式和它的一些性质，我们可以使计算变得更为简单、直接，从而大大的提高对高等代数和数学分析中问题的计算速度. 自上世纪50年代以来，数学工作者对范德蒙德行列式的计算方法和在一些应用方面进行了研究. 不同研究者的角度、出发点和研究方向均不相同. 例如：北京大学第三版高等代数教材（高等教育出版社，王萼芳 石生明修订）中就提到了范德蒙德行列式在行列式计算和多项式根的存在性问题中的应用. 在一些高校的学报中我们也可以找到许多范德蒙德行列式的应用. 如：徐杰在范德蒙德行

7、列式的应用（职校论坛，2009）中探讨了应用范德蒙德行列式证明向量的线性相关性问题；张文治、赵艳在范德蒙德行列式应用三则（北华航天工业学院学报，2007）中给出了构造范德蒙德行列式计算缺项行列式；程伟健、贺冬冬在范德蒙德行列式在微积分中的应用（大学数学，2004）中研究了利用范德蒙德行列式求高阶无穷小和证明K阶导数极限存在问题等等. 综上所述，虽然国内外对范德蒙德行列式的应用研究比较多，但是对应用方法技巧的总结、归纳还比较欠缺和零散，系统性、规范性不足. 针对这种情况，本文较为系统的探讨范德蒙德行列式的应用，并对方法和技巧做出了总结. 2. 范德蒙德行列式的概念及其性质定义 形如的行列式，称为

8、阶范德蒙德（Vandermonde）行列式，记为. 范德蒙德行列式构造独特、形式优美，并且有独特的性质. 下面将给出范德蒙德行列式的各种性质. 首先，范德蒙德行列式拥有普通行列式的所有性质. （1）行列互换，行列式不变； （2）以一个数乘行列式的一行（列），相当于用这数乘此行列式； （3）行列式某一行（列）是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和； （4）如果行列式中两行（列）成比例，则行列式为零； （5）把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变； （6）行列式中两行（列）的位置，行列式符号改变. 其次，我们给出范德蒙德行列式的五个更特别的性质. 性质1 对任意的，并且的充要条件是这n

9、个数中至少有两个相等，其中表示同类因子的乘积. 证明： 对进行数学归纳. 当时，结果正确. 假设对于结论成立，即 . 则对于阶的情况有，在中第行减去第行的 倍，第行减去第行的倍，以此类推，由下向上依次减去上一行的倍，有 = =. 后面这是一个阶的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差的乘积，而包含的差全在前面出现了. 因之，结论对阶范德蒙德行列式也成立. 根据数学归纳法，可知 . 由=，可知的充要条件是这个数中至少有两个相等，证毕. 注 2.1 因为，所以范德蒙德行列式还可以写成，行列式的值不变. 性质2 若将范德蒙德行列式顺时针旋转，可得，则有 . 证明：因为，所以，交换行列式的第

10、1列与第列，则根据行列式的性质（6），行列式的值变为原来的-1倍，即有，再交换所得行列式的第2列和第列，行列式变为原来的倍，即有 ，依次进行下去，得到最终的行列式，这样进行了次，于是，结论得到证明. 性质3 若将范德蒙德行列式逆时针旋转，可得=，有. 事实上，与性质2 的证明类似，依次交换行列式的两行，我们容易得到性质3 的结果. 性质4 若将范德蒙德行列式旋转，可得=，有. 事实上，类似于性质2和性质3的证明，连续进行两次性质2 或性质3 的变换，就可以得到性质4 的结果. 性质 5 阶准范德蒙，其中是中个数的一个正序排列，表示对所有阶排列求和. 证明：在行列式中增补第行和列相应的元素. 考

11、虑阶范德蒙德行列式，按第列展开，有，其中分别是的代数余子式. 于是. （1）对于，由根与系数的关系（Vieta定理）有，由（1）式，可知.3. 关于范德蒙德行列式应用的探讨前面介绍了范德蒙德行列式的概念及其性质，接下来我们将从行列式计算，向量空间理论，线性变换理论，多项式理论和微积分问题五个方面探讨范德蒙德行列式的应用. 3.1 范德蒙德行列式在行列式计算中的应用 范德蒙德行列式在行列式计算问题中起着举足轻重的作用. 利用范德蒙德行列式计算行列式已经被确立为一种特殊的方法被广泛使用. 下面我们来看几个例子：例1 计算行列式.解：法1 构造阶范德蒙德行列式，则行列式为中元素的余子式，将行列式按列

12、展开得，其中的系数为.又，由根与系数的关系有的系数是，因此在中的系数为，所以.法2 由范德蒙德行列式的性质 5， 这里.例2 证明阶循环行列式，其中，是所有的次单位根. 证明：由于是所有的次单位根，其所构成的阶范德蒙德行列式，令，再由行列式的乘法，的第行第列的元素是，规定.由于，所以.于是.又，因而.而右端的数恰好为行列式的第行第列的元素，即上面的行列式也等于，且原循环行列式的值为，由行列式的形状可知：.于是再根据行列式的性质有. 通过对上述例题的分析，可归纳出构造和利用范德蒙德行列式来计算行列式的一些技巧： 观察要计算的行列式是否具有范德蒙德行列式的的某些结构特征； 通过适当的方法构造范德蒙

13、德行列式； 结合范德蒙德行列式以及题目的要求进行行列式的求解； 阶循环行列式的解法以多项式理论为基础，结合范德蒙德行列式进行求解，方法简便易行，具有一定的实用价值. 3.2 范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用向量空间有时也称为线性空间，它是线性代数最基本的概念之一，也是我们在高等代数的学习中接触到的第一个抽象的概念. 向量空间与其子空间的关系问题，向量空间中向量的线性相关性问题都是向量空间研究的重点和难点，对逻辑推理有较高的要求. 对于判断、证明、计算向量空间中相应问题多往往比较难. 但将其与行列式适当结合，特别是与范德蒙德行列式相结合时，题目就会变得容易理解和掌握，如下面几个例子： 例3

14、设是数域上的维向量空间，则不能写成它的有限个真子空间的并. 证明：对进行数学归纳. 当时，显然成立. 设时，令是的一组基，设, 其中是中元素的集合，令，其中是单位向量，则易证是双射,从而中有无穷多个不同的元素. 设（）为的真子空间，则中的元素在中的个数小于.否则，若,即,则由知的系数行列式为范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式的性质 1知系数行列式非零，故. 进而矛盾, 从而中只有有限多个元素在，即不能写成它有限个真子空间的并的形式. 例4 设V是数域F上的n维向量空间，任给正整数，则在V中存在m个向量，其中任取n个向量都线性无关. 证明：因为，所以只需在中考虑即可. 取 , , .令,为任意常数

15、.因为是范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式的性质1知，所以线性无关. 再由，所以结论成立. 在向量空间理论中，我们经常会碰到需要用范德蒙德行列式转化的问题，通过转化我们很容易地得到所需要的结论. 而这就要求我们充分掌握范德蒙德行列式以及它的结构特征，达到灵活的使用. 3.3 范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用 线性变换反映了线性空间中元素之间的一种最基本的联系，它是线性函数的推广. 线性变换与行列式、矩阵联系密切. 利用行列式，尤其是范德蒙德行列式，来解决线性变换的特征值与特征向量问题能达到事半功倍的效果. 例5 如果是线性变换的全部两两不同的特征值，则当时，必有.证明：注意到，对等式左右两边

16、同时逐次作用，得，用矩阵表示为 . （2）矩阵的行列式是范德蒙德行列式，并且由于两两不同，从而是可逆矩阵. 在（2）式两边右乘,得，所以. 例6 设数域上的维向量空间的线性变换有n个互异的特征根则：（i）与可交换的V的线性变换都是的线性组合，其中e为恒等变换；（ii）线性无关的充要条件是，其中.证明：（i）设是与可交换的线性变换，且，则是的不变子空间. 令且，则有下方程组 , （3）可知（3）的系数行列式是范德蒙德行列式，且系数行列式，因为互异，由范德蒙德行列式的性质 1知.于是方程组（3）有唯一解，所以是的线性组合. （ii）先证明充分性. 因为，所以.且，因而是可逆矩阵. 又由是的一组基，

17、可知线性无关. 再证必要性. 设是分别属于的特征向量，则构成的一组基，因而有. 若则是的属于的特征向量，故结论成立. 若存在使，不妨设全不为零，而，因而有，则.利用范德蒙德行列式的性质 1可知有一个阶子式不为零，所以秩（）=，从而，又因为线性无关，所以. 而,矛盾. 所以，其中. 在高等代数中，线性变换一直是最难的部分之一，题目的变化也很多. 在这些题目中，我们巧妙地运用范德蒙德行列式来使复杂的问题得到解决. 3.4 范德蒙德行列式在多项式理论中的应用 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛. 虽然多项式在整个高的代数中相对独立，然而却为高等代数的基本内容提供了理论依据. 研究多项

18、式、多项式根的存在性问题、多项式求根问题是多项式理论中的重难点. 而多项式的求根问题又与行列式相关联，巧妙应用它们之间的联系，会起到化繁为简的作用. 例7 设，若至少有n+1个不同的根，则. 证明：为的n+1个不同的根，则有齐次线性方程组. （4）将看作方程组（4）的未知量. 因为方程组（4）的系数行列式D是范德蒙行列式，且，由克莱姆法则知方程组（4）只有零解，从而有，即是零多项式. 例8 设是数域F中互不相同的数，是数域F中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F上次数小于n的多项式，使.证明：设，由，知 . (5）因为互不相同，所以方程组（5）的系数行列式.由克莱姆法则知方程组（5）有

19、唯一解，即存在唯一的数域F上次数小于n的多项式，使得. 在多项式理论中，涉及到求根问题的有很多. 在分析有些题目时，范德蒙德行列式是能够起到关键的作用. 主要应用在多项式组成的方程组中，系数组成的行列式是范德蒙德行列式. 若系数行列式不为零（即范德蒙德行列式的性质 1），则由克莱姆法则知方程组只有零解. 熟练有效地运用范德蒙德行列式，对我们最终解决问题会有直接的帮助. 3.5 范德蒙德行列式在微积分中的应用 无穷大量、无穷小量、高阶导数和极限是微积分的主要内容. 这些概念的正确理解和掌握对学好微积分是必要的. 在解决这类问题的时候，有时巧妙地构造范德蒙德行列式变换形式，可以使问题得到容易理解的

20、解答. 例9 设f(x)在区间I上n阶可导，若对， ，(是正常数）. 证明：若存在个正常数，对，. 证明：设，由泰勒公式，对，由此得，所以有其中. 令， （6）则，. 由于方程组（6）的系数行列式D为右边的行列式为的范德蒙德行列式，由知，由克莱姆法则知，存在与x无关的常数，使得,由此推得，.例10 设函数f(x)在x=0附近有连续的n阶导数，且，若是一组两两互异的实数，证明：存在惟一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小. 证明：由题设的条件，可得，在处带有皮亚诺余项的麦克劳林展开式为： （） （）. （）,得. 当时，若为比高阶的无穷小，则有，这是以为未知数的线性方程组，其系数行列式有，所以上述方程组有惟一的解，即存在唯一的一组实数，使得当时，为比高阶的无穷小. 例11 设f(x)至少有k阶导数，且对某个实数有 . （7）试证：，其中. 证明：由条件（7）知，要证明，只要将写成与的线性组合的形式即可，利用泰勒公式， （8）其中. 这是关于的线性方程组，其系数行列式为，后一行列式是范德蒙德行列式，且有，所以D=1. 于