函数恒成立问题(端点效应)

1、函数恒成立专题01:可求最值型基础知识：(1)不等式f(X)_0在定义域内恒成立，等价于f Xmin _0 ；(2)不等式f(X)<0在定义域内恒成立，等价于f Xmax辽0。【例1】【重庆文】若对任意的x . 0， f(x)=12x4ln x-3x4-c弐2c2恒成立，求c的取值范围。【例2】函数f (x) =(x 1)ln(x 1) -kx 1在区间(-1, ：)上恒有f(x) . 0，求k可以取到的最大整数。【变式1】函数f (x) = -2x24x, g(x alnx(a 0)，若f(x)辽4x-g(x)恒成立，求a的取值范围。【变式2】【2012新课标文】设函数f x二ex -

2、ax-2I求f (x)的单调区间；II若a =1，k为整数，且当x 0时，(k)f (x) x 10，求k的最大值。【变式3】【2012新课标理】已知函数f (x)满足f(x f (1)exJ - f (0)x -x22I求f(x)的解析式及单调区间；1I 若 f (X)?X2 ax b，求(a 1)b 的值。专题02:分离变量型基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟【例1】【2010天津】函数f(x) =x2 1，对任意x 3, ： , f (°) - 4m2 f (x) _ f (x -1) 4 f (m)恒成立，求实数 m 的取值范围。 卜2

3、m【变式1】【2010安徽】若不等式(a-a2)(x2 1)0对一切* 0,2】恒成立，求a的取值范围。【例2】若函数f(xx2 ax -在1上单调递增，求a的取值范围。x 2丿1【变式2】【2012湖北】若f (x)x2 bln(x 2)在(-1,=)上是减函数，求b的取值范围 1【变式3】【2014江西】已知函数f(x)=(x2 bx b) .1-2x(b R)，若f (x)在区间(0,-)上单 3调递增，求b的取值范围。第10页共2页专题03:端点与一次函数、二次函数基础知识：(1)研究发现，恒成立与区间的端点有很深的渊源。 首先来看一些恒成立的问题, 通过这些常见的例子，我们要把函数恒

4、成立问题与端点之间的这一层面纱一点一 点揭开。(2) 次函数的恒成立很简单，如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题，那 就要尽量转化。【例1】【2009北京】若f(x) =xex(k=0)在(-1,1)上单调递增，求k的取值范围引申：我们的习惯思维都是默认字母x为函数的自变量，而像a, m,t这样的字母代表参数,但其实x,a,m,t这样的字母只是一个代号而已，是人为赋予了其身份，这意味着自 变量和参数的身份并非绝对，若题目需要求解参数的取值范围，在此需要牢记一 点：将待求的变量视为参数，不要受惯性思维的限制而非要将x视为函数的自变(3)对于一次函数或任何单调函数而言，最值必在端点处取得。若函数

5、不单调，那情形又如何呢？设f (x)二ax2 bx c(a . 0) 在:-，上不单调且恒大于零，那么f(x)在:,b上递减，在- b上递增，故f(x)的最大值也必然在端点处 -2a.IL 2a取得。所以对于任何一个函数f (x)而言，若他在区间上是先减后增，则其最大值必在端点处取得，同理，若函数在区间上先增后减，其最小值必在区间端点处取 得，具体表达如下： f (x) =ax2+bx+c(a >0)在k1, x2】上非正，等价于丿"")-0,J(xJ<0； f (x) =ax2+bx+c(a vO)在 k1, x2 吐非负，等价于"“)-°

6、，J(xJ>0;【例1】已知函数f(x) =x3 ax2 bx c在区间-1,0上单调递减，则a2 b2的取值范围是4【例2】函数f (x) =-x3-mx2-3m2x+1在区间(1,2 )上单调递增，贝U实数m的取值范围是3第10页共4页专题04:端点效应基础知识：从前面的例子可以看出，将函数恒正(恒负)等价于在区间端点处恒正(恒负) 即可。但那只是针对一小部分题，对于大多数情况来说这是不对的，但这不意味 着端点就没有任何作用了。【例1】已知函数f (x) =x3 3(a 1)x? _6ax，当a 。时，若函数彳住)在区间1,21上是单调函数，求a的取值范围.【例2】【2008江苏】设

7、函数f (x)二ax3-3x 1，若对于x 1-1,1总有f(x)_0恒成立，则a说明：在例1和例2中，都是事先考虑函数在端点的情形，虽然通过端点不能得到最终结果， 但例1通过端点可以不必考虑单增情形，例 2通过端点可以缩小a的范围，我们 把这种通过端点来缩小参数取值范围的方法称为“端点效应”。函数在端点处的取值有以下三种情形：(1) f(x)在区间a,b 的端点a和b处均有定义且f(a)"0,(b)P(2) f(x)在区间a,b的端点a或b处无定义或区间是无限区间 a, =，-：，b ；(3) f (x)在区间a,b的端点a或b处有f(a)=0或f(b) =0。一、端点处的取值有意

8、义且不为 0【例1】【2008天津】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x) = x2，若对任意的x t,t 2 1，不等式f(x，t)2f(x)恒成立，则t的取值范围是()A. 2,：B. 2,C. 0,21D. 1- 2,-J 1- 2,-【例2】若f (x) =ax2 一(3_a)x+2_a>0在0,1上恒成立，贝U实数a的取值范围是【变式1】【2013全国卷】已知函数f (x x3 3ax2 3x 1,当x 2,壯=；时,f (x) _ 0 ,求a 的取值范围。【变式2】【2012江西】已知函数f (x) = lax2(a 1)x 1 ex在0,1上单调递减，求a的取

9、值范 围。【变式3】【2010天津】已知函数f(xax3x2 1,a 0，若在区间-丄上f(x) 0恒 2 1 2 2成立，求a的取值范围。二、端点处的取值没有意义且趋于无穷f(x)=lnx的定义域是0,=，且当x趋于0时，f(x)=lnx趋于负无穷，当x趋于：时，f (x) = In x趋于正无穷，为了后面方便表述，记f (0) = -：，f ( ：)二:：。然后不管函数f (x)在区间的端点a处有没有意义，也不管a是否为无穷，我们均记f (a)为当x趋于a时f(x)的值。这样的记法为了后面的叙述。1【例1】【2012新课标】当0：x乞1时，4x：logax，则a的取值范围是()2A. 0,

10、12b/,1)C.(1,晁)D.G/2,2)I 2丿I2丿【例2】函数f (x)二a In x x2 -(1 a)x(x 0)，若f (x)丄0对定义域内任意x恒成立，求实数 2a的取值范围。【例3】【2012天津】函数f (x) = x-1, x ，f (mx) mf (x) ： 0恒成立，则实数m的取x值范围是.【例4】【2013新课标】设函数f(xx2 4x 2,g(x2ex(x 1)，若x 一-2时，f(x)乞kg(x)， 求k的取值范围。【例5】【2009江西】已知函数f (x) = 2mx2 一2(4 一 m)x 1, g(x)二mx，若对于任一实数x ,f (x)与g(x)的值至

11、少有一个为正，则 m的取值范围是.【变式1】不等式loga(x2 -2x 3B -1(2)恒成立，则实数a的取值范围是()C. 1,31【变式2】【2011北京】设函数f(x) =(x-k)2ek，若对于任意的0,=,都有f(x) J，求实数k的取值范围。【变式3】【2014江苏】已知函数f(x)二，其中e是自然对数的底数，若关于x的不等 式mf(x)乞e»，mT在0：上恒成立，求实数m的取值范围。【变式 4】【2012 北京文】已知 f (x) = m(x-2m)(x m 3), g(x) = 2x - 2，若-x R, f(x) ： 0 或g(x) v0，则m的取值范围是.【变式

12、5】【2012北京理】已知f (x) = m(x-2m)(x m 3), g(x) = 2x-2，若同时满足(1)Vxr, f(x)c0 或 g(x)£0 ； ( 2) 2x(-°°,-4)f(x)g(x)c0，则 m 的取值范围是.、端点处的取值为0(1) 若多项式函数f(x)满足f(a)=O,则f(x) 定可以分解成f (x) =(x a)g(x)这种形 式，其中g(x)也为多项式函数。【例1】【2009全国卷】已知f (x) = 3ax4 2(3a 1)x2 4x在-1,1上是增函数，求a的取值范 围。【例2】【2012浙江理】设aR，若x>0时均有

13、屁-1)x-l(x2 - ax-1)色0，则a=.1【例3】【2009天津】已知f(x)-x3 x2 (m2 -1)x,m 0, f(x)=0有三个不同的实根，分 3别为0,xX2(X1 ： X2)若对任意的x X1,X2 f (x) f(1)恒成立，求m的取值范围【变式1】【2008全国卷】设函数f(x)二ax3 -3x2，若g(x)二f (x) f (x)(0乞x乞2)在x=0处 取得最大值，求a的取值范围。【变式2】【2011湖北】已知x3-3x22x=mx有三个不同的实根，分别为0,为,乂2(为：X?)， 且对任意的X1, X21， x3-3x2 2x ： m(x-1)恒成立，求实数m

14、的取值范围。注意：若多项式函数有明显的根，分解因式能够将函数降次，特别是形如f (x ax3 bx2 cx的多项式函数，是高考中的常见情形，它可以分解成f (x) =x(ax2 bx c)，需掌握此多项式。(2) 若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式，这些函数虽然在端点处的值为零,但不能将它们分解，对此需用以下知识点： f(x) _0在 a,b 1 上恒成立，若 f (a) =0，则 f (a) _0 ;若 f (b) = 0，则 f (b)乞 0 f (x)空0在a,b 1上恒成立，若f (a) = 0，则f (a)岂0 ;若f (b) = 0，则f (b 0特别提醒：这里的结论只

15、是必要条件，不一定是充分条件。【例1】【2007全国I理】已知函数f(x)二ex-eI证明：f(x)的导数f (x) _2 ;II若对所有x _0都有f (x) 一 ax，求a的取值范围【例2】【2008全国I文】已知函数f(x) =x-1)-ax21I若a =-，求f (x)的单调区间;2I若x_0时，f(x) _0，求a的取值范围【例3】【2008全国I理】已知函数f (x)=sin x2 cosxI求f (x)的单调区间;I如果对任何x_0时，都有f(x)乞ax，求a的取值范围【例4】【2010新课标理】已知函数f (x)二ex-1-X-ax2I若a =0，求f (x)的单调区间；I若x

16、_0时，f(x)_0，求a的取值范围。【例5】【2013全国理】已知函数f(x)=ln(1 x)-x(1x)1 +xI若x 一0时，f(x)乞0，求的最小值；I设数列a f的通项an =1 1 11，证明：a2n -an 丄 ln 223 n4n【例6】【2014全国U理】已知函数f(x)二ex -2x.I讨论f (x)的单调性；U 设 g(x)二 f (2x) _4bf (x)，当 x 0 时，g(x) 0，求 b 的最大值; 川已知1.4142 ： .2 ： 1.4143,估计In2的近似值(精确到0.001).【例7】【2012大纲理】设函数f (x) =ax - cosx,x：= 0,.I讨论f (x)的单调性；U设f(x)乞1si nx,求a的取值范围。总结：对于无法求最值的恒成立问题，解题的基本步骤如下(1) 首先由端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的;(2) 然后利用这个范围去判断导数是否恒正或恒负；(3) 如果导数不变号，则由端点得到的范围就是最终答案，如果导数变号，则去判断函数的增减性(若函数先增后减，则最小值在端点处取得，若函数先减后增, 则最大值在端点处取得)。第10页共10页量，这个方法称为“变换主元法”。【例2】【2009福建】已知函数