猜想、证明与拓广

1、综合与实践综合与实践猜猜 想、证想、证 明明 与与 拓拓 广广提出问题，猜想探究提出问题，猜想探究 问题问题1 1、当任意给定一个正方形时，是否存、当任意给定一个正方形时，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的已知正方形的2 2倍？倍？解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2 ，则边长应为 a ，此时周长应为4 a ，不是4a的两倍， 22提出问题，猜想探究提出问题

2、，猜想探究2a2aa由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为2 .结论：不存在这样的正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍。a a周长变大为周长变大为2 2倍倍面积变大为面积变大为2 2倍倍提出问题，猜想探究提出问题，猜想探究问题2、当任意给定一个矩形时，是否存在另一个矩形，它的周长与面积分别是已知矩形周长与面积的2倍？提出问题，猜想探究提出问题，猜想探究如果已知矩形的长和宽分别为2和1,3和1，4和1,5和1呢？结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流. 活动说明：1、以四人小组为单位进行探究活动。2、每小组选一种情况进行说

3、明。3、整理写出解答过程。探究活动：探究活动：拓展思维，证明猜想。拓展思维，证明猜想。222mnmnx221mnmnx解：设定矩形的长为n，宽为m，则周长是2(n+m),面积是mn，有另一个矩形的周长与面积是原矩形的2倍，则周长应为4(n+m),面积为2mn.得方程x2(n+m)-x=2mn解得： 当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？ 结论 任意给定一个矩形，必然存在另一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍。问题（3），任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？问题拓广，自主探究。问题拓广，自主探究。 2121小明的

4、结论小明的结论 小明认为这个结论是正确的，理由是：既然任意给定一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍，也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”，那么，原矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半。 你同意小明的观点吗？如果已知矩形的长和宽分如果已知矩形的长和宽分别为别为2和和1,3和和1，4和和1,5和和1呢？结论会怎样呢呢？结论会怎样呢?你是你是怎么做的怎么做的?和同伴交流和同伴交流. 活动说明：活动说明：1、以四人小组为单位进、以四人小组为单位进行探究活动。行探究活动。2、每小组选一种情况进、每小组选一种情况进行说明。行说明。3、整

5、理写出解答过程。、整理写出解答过程。探究活动：探究活动： 当矩形满足什么条件，才存在一当矩形满足什么条件，才存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半？已知矩形的周长和面积的一半？问题拓广，自主探究问题拓广，自主探究 mnxmnx2121时矩形存在当mnmn622分析：设所求矩形的长为分析：设所求矩形的长为x x，列方程为，列方程为问题拓广，自主探究问题拓广，自主探究 总结反思，方法提炼总结反思，方法提炼 （2 2）本节课学习的数学方法）本节课学习的数学方法: :猜想、证明、猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思拓广、感受由特殊到

6、一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性想方法，体会证明的必要性. .（1 1）本节课的问题解决综合运用了所）本节课的问题解决综合运用了所学知识学知识, ,体会知识之间的内在联系体会知识之间的内在联系. .总结反思，方法提炼总结反思，方法提炼 （3 3）一个几何存在性问题，可以转化为方）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思路源程是否有解的问题，两种列方程的思路源于优先于优先“固定固定”所求矩形的周长或优先所求矩形的周长或优先“固定固定”所求矩形的面积，同时也让学生所求矩形的面积，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的思维有助于开阔学生的思维. .布置作业，巩固所学布置作业，巩固所学1 1、181181页页1,