等价关系与集合的分类

1、 10等价关系与集合的分类一、关系定义10.1设A是集合，D =对，错。一个A A到D的映射R叫做A的元间一个关系如果R(a,b)二对，那么说a与b符合关系R，记作aRb ；如果R(a,b)二错，那么说a与b不 符合关系R。例1设A= R (实数集)。R : (a,b) 对，假设 b - a 0； (a,b) 错，假设 b - a 乞 0 ；R2 : (a,b)对，假设 a =b； (a,b)错，假设 a = b ；R3: (a,b)对，假设a =2b； (a,b)错，假设a = 2b ；R4 ：(a,b)对，假设a2 b2 =1; (a,b) 错，假设a2 b2 = 1 ；都是实数R的元间的

2、关系。其中R,R2分别是通常的:：:的关系和=的关系。作为一种特殊的关系，有定义10.2集合A的元间一个关系叫做一个等价关系，如果满足以下规律：(1) a a, -a A,(自反性)；(2) ab= b a， a,b A (对称性)；(3) a b, bc= a c a,b,c A (传递性)。假设a b，那么称a与b等价。例1中R2是等价关系。二分类定义10.3设一个集合A分成假设干个非空子集，使得A中每一个元素属于且只属于一个子集，那么这些子集的全体称为A的一个分类。每一个子集称为一个类。类里任何一个元素称为这个类的一个代表。刚好由每一类一个代表作成的集合叫做一个全体代表团。注：由定义可知

3、，A的非空子集S二A1是A的一个分类当且仅当其满足以下性质：(1) A = Ai召当i = j时，AiAj =：，即不同的类互不相交。例 2 设 A 二1,2,3,4,5,6，贝US = 1,2, 3. 4,5,6是 A 的一个分类，但是 S2 = 1,2, 2,3,4, 5,6不是 A 的一个 分类，因为1,22,3,4 =2。S3二1,3,4,5也不是A的一个分类，因为2不 属于任何一个子集。等价关系与集合的分类的关系由以下两个定理可以看出。定理10.1集合A的一个分类决定 A的元间的一个等价关系。证明 设S=AJiwl是A的一个分类。规定a b = a与b属于同一个类显然是A的一个关系。

4、下证它是一个等价关系。(1)显然，-a A, a a ； (2) - a,b A，假设a b，那么，a与b属于同一个类，从而b a ；(3)-a,b,cA ,假设 a b,b c ， 贝U a与b属于同一个类b与c属于同一个类，于是a与c属于同一个类，从而a c。因此是A上的一个等 价关系。定理10.2集合A的一个等价关系决定A的一个分类。证明-aA，令a=：x. A|xa，那么A的子集族S=：a|aA是A的一个分类。事实上(i) -a A，由于a a，于是a a。所以a是一个非空子集，并且a二A ；a三A(ii)假设a b-：，贝U c a b，于是 c a,c b，从而 a b，由此得到a

5、二b(a,有 x a,而 a b,于是 x b，故 b，所以a5b。同理b5a，所 以a =b)。所以不同的等价类互不相交。例3 A二Z(整数集)，n(0)N (自然数集)。规定aRbu n |(a-b)。易知这是一个等价关系(1) aRa ：= n | 0 自反性， 假设 aRb ：= n |(a-b)= n | (b - a) bRa 对称性， 假设 aRb,bRc,那么 n |(a -b), n | (b - c)，于是 n |(a -c) = aRc传递性)。称为模 n 的 同余关系，记作a = b(n)。此等价关系决定 A的一个分类，称为模 n的剩余类，记作 Zn。其元素为0= ,-2 n, -n,0, n,2n, , 1 = ,-2 n 1,-n 1,1, n 1,2 n 1/