10道经典高中数学题

1、1.设Sn是等差数列An的前n项和,又S6=36,Sn=324,S(n-6)=144,则n=?Sn是等差数列S6=a1*6+6(6-1)/2*d=36，则2a1+5d=12.& 最后六项的和S=an*6-6(6-1)/2*d=6an-15d S(n-6)=Sn-S=324-(6an-15d)=144,则2an-5d=60. &+:a1+an=36 Sn=(a1+an)/2*n n=18解:Sn-S(n-6)=a(n-5)+a(n-4)+.an=324-144=180 而 S6=a1+a2+.a6=36 有 Sn-S(n-6)+S

2、6= a1+a2+.a6+ a(n-5)+a(n-4)+.an =6(a1+an)=180+36=216 那么 (a1+an)=36 Sn=n(a1+an)/2=324 即 36n/2 =324 所以 n=18 2.已知f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),f(an)和g(an)满足，a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0(1)是否存在常数C，使得数列an+C为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由。（2）设bn=3f(an)-g(an+1)2，求数列bn的前n项和Sn (1)存在 C=-1证明如下 (an+1-an)g(an)+f(an)=0 将f(

3、x)、g（x)带入并化简 得 4an+1 - 3an -1 =0 变形为4(an+1 -1)=3(an -1) 所以an-1是以3/4为等比 1为首项的等比数列(2)an-1=(3/4)n bn=3f(an)-g(an+1)2 将f(an) g(an+1)带入 不要急着化简 先将an+1 - 1换成 3/4 (an-1)化简后bn=-6(an -1)2=-6*(9/16)nbn是首项为-27/8等比是9/16的等比数列Sn=a1(1-qn)/(1-q)=54/7(9/16)n-54/7已知函数f(x)=x2+ax+b,当实数p,q满足p+q=1,试证明pf(x)+qf(y)>=f(px+

4、qy)pf(x)+qf(y)>=f(px+qy) <=> px2+pax+pb+qy2+qay+qb>=(px+qy)2+apx+aqy+b <=> px2+qy2>=(px+qy)2 <=> px2+qy2>=p2x2+q2y2+2pqxy <=> (p-p2)x2+(q-q2)y2>=2pqxy 将q=1-p代入，化简得 (p-p2)(x2+y2)>=2(p-p2)xy x2+y2>=2xy p-p2>0 <=> p>p2 <=> 0<=p<=1 3.某

5、公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分次进货，每次购买元件的数量均为，购一次货需手续费500元已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？解：设购进8000个元件的总费用为S，一年总库存费用为E，手续费为H则X=8000/n,E=2*1/2*8000/n,H=500n 所以SE+H2*0.5x+500*8000/x=8000/n+500n=500(16/n+n)>=4000当且仅当16/n=n即n=4时总费用最少，故以每年进货4次为宜 4.已知f(x)=

6、ax22ax+1=0有两正根x1,x2,且1<x2/x15.(1)求x1的取值范围(2)求a的取值范围某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为： 。(1)在该时段内，当汽车的平均速度v是多少时，车流量最大，最大流量是多少（精确到0.1）(2)要使在该时段内车流量超过10千米/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为：5.已知正方形ABCD的边长是13,ABCD外一点P到正方形ABCD各顶点的距离是13。M、N分别是PA、BD上的点。PM：MA=BN；ND=5；8，求MN6.已知函数f(

7、x)=4sinxsin2(/4+x/2)+cox2x1)设w>0为常数,(1)若y=f(wx)在区间-/2，2/3上是增函数，求w的取值范围(2)设集合A=x/6<=x<=2/3,B=xf(x)-m<2若,A属于B,求实数m的取值范围 解.f(x)=2sinx1-cos(x+/2)+1-2sin²x=2sinx(1+sinx)+1-2sin²x=2sinx+1(1)y=f(wx)=2sinwx+1因在区间-/2，2/3上是增函数，所以最小正同期T=2/w2(/2+2/3)即0<w6/7,即-3/7wx4/7而-/2+2kwx/2+2k时，f(x

8、)单调递增则必有k=0,即-/2wx/2时递增，则必有2w/3/2,即w3/4所以w的取值范围(0,3/4(2)|f(x)-m|=|2sinx+1-m|<2,则m-3<2sinx<1+m即(m-3)/2<sinx<(1+m)/2而当/6x2/3时，有1/2sinx1因为A属于B，必有(m-3)/2<1/2且(1+m)/2>1解得1<m<4 fn(x)=a1x+a2x2+.anxn fn(-1)=(-1)n*n7.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD将ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角C-AB-D

9、的大小为，则SIN=？由AO垂直于平面BCD,CD在平面BCD内,知 AO垂直于CD又CD垂直BC,且AO交BC=O,故CD垂直于平面ABC又 AB在平面ABC内,故CD垂直于AB,又DA垂直于AB,且CD交DA=D,故AB垂直于平面ACD,又 AC在平面ACD内,故AB垂直于AC,又AB垂直于AD故角CAD是二面角C-AB-D的平面角在三角形CAD中,由CD垂直于平面ABC,AC在平面ABC内,可知CD垂直于AC又 CD=3,AD=4,故sin角CAD=CD/AD=3/48.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，角ABC=90度，BC=2，AC=23，且AA1A

10、1C，AA1=A1C。（1）求侧棱AA1与底面ABC所成的角大小（2）求侧面A1ABB1与地面ABC所成的二面角大小（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离解：（）作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC， A1AD为A1A与面ABC所成的角。AA1A1C，AA1A1C， A1AD45°为所求。 （）作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB。 A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。 由已知，ABBC，得EDBC。又D是AC的中点，BC2，AC2， DE1，ADA1D，tgA1EDA1D/DE=。 故A1ED60°

11、;为所求。 （）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。连结HB，由于ABBC，得ABHB。 又A1EAB，知HBA1E，且BCED， HBCA1ED60°。 CHBCsin60°为所求。解法二：连结A1B。 根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥CA1AB的高h。  由V锥CA1ABV锥A1ABC得1/2SAA1Bh1/2SABCA1D， 即 1/3×2h=1/3×2×h= 为所求。 9.图2，直三棱柱ABC-A1B1C1体积为V，点Q,P分别在侧棱AA1和CC1上，AP=

12、C1Q，四棱锥B-APQC体积为（V/3）连结A1C设四棱锥B-APQC的高为h易知梯形APQC的面积=（AP+CQ）*AC/2=（C1Q+CQ）*AC/2=C1C*AC/2=ACC1的面积故四棱锥B-APQC体积=梯形APQC的面积*h/3=ACC1的面积*h/3=三棱锥B-ACC1的体积=三棱锥C1-ABC的体积=1/3棱柱ABC-A1B1C1体积=V/310.已知a>0且a1,数列an的前项和为Sn，它满足条件(a的n-1次方）/Sn=1-1/a，数列bn中,bn=an×lga的n次方（1）求数列bn的前n项和Tn（2）若对一切n正整数，都有Bn<B(n+1)（下标

13、），求a的取值范围 解：(1)当n=1时，有(a-1)/a1=1-1/a，解得：a1=a； 当n>1时： 因为(an-1)/Sn=1-1/a=(a-1)/a，所以Sn=a(an-1)/(a-1)， 继而推得：S(n-1)=aa(n-1)-1/(a-1). 所以an=Sn-S(n-1)=a(an-1)/(a-1)-aa(n-1)-1/(a-1)=an. 而a1=a=a*1，符合上式，所以数列an的通向公式an=an. 则bn=n*an*lga. 设数列bn的前n项和是Tn，则 Tn=1*a1*lga+2*a2*lga+3*a3*lga+n*an*lga aTn= 1*a2*lga+2*a3*lga+(n-1)*an*lga+n*a(n+1)*lga 两式相减，得：(1-a)Tn=lga*(a1+a2+a3+an)-n*a(n+1)*lga=(lga)*a(1-an)/(1-a)-n*a(n+1)*lga 所以Tn=a(lga)(1-an)/(1-a)2-n(lga)*a(n+1)/(1-a).(2)由题意： b(n+1)-bn=(n+1)*a(n+1)*lga-n*an*lg