上海市黄浦区2016年高三数学一模

1、黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷（文科） 2016年1月考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码；3本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1不等式的解集用区间表示为 2函数的最小正周期是 3直线的一个方向向量可以是 4若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 5若

2、无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 6若函数在区间上有且只有一个零点，则 7若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为 8若对任意不等于的正数，函数的反函数的图像都过点，则点的坐标是 9在的二项展开式中，若二项式系数的和为，则二项式系数的最大值为 （结果用数字作答）10在中，若，且，则 11为强化安全意识，某学校拟在未来的连续天中随机抽取天进行紧急疏散演练，那么选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示） 12已知，若曲线与曲线无交点，则 13已知点（）和抛物线：，过的焦点的直线与交于、 两点，若，且，则 14若非零向量，满足，且，则与的夹角为 二、选择题（本

3、大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15已知复数，“”是“为纯虚数”的 答 ( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件16已知，下列不等式中正确的是 答 ( )A BC D17已知为直线上一动点，若点与原点均在直线的同侧，则、满足的条件分别为 答 ( )A， B， C， D，18已知，是各项均为正数的等差数列，其公差大于零若线段，的长分别为，则 答 ( )A对任意的，均存在以，为三边的三角形B对任意的，均不存在以，为三边的三角形C对任意的，均存在以，为三边的三角形

4、D对任意的，均不存在以，为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 已知三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为10 （1）若侧棱垂直于底面，求该三棱柱的表面积 （2）若侧棱与底面所成的角为，求该三棱柱的体积20（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 如图，已知点是单位圆上一点，且位于第一象限，以轴的正半轴为始边、为终边的角设为，将绕坐标原点逆时针旋转至 （1）用表示、两点的坐标； （2）

5、为轴上异于的点，若，求点横坐标的取值范围21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，某地要在矩形区域内建造三角形池塘，、分别在、边上米，米，设， （1）试用解析式将表示成的函数； （2）求三角形池塘面积的最小值及此时的值22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知，是由（）个整数，按任意次序排列而成的数列，数列满足（） （1）当时，写出数列和，使得（2）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列 （3）若，是，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（），并用含的式子表示 （参考：）23（本题满分18分）本题共

6、有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形 （1）若，且为正方形，求该正方形的面积 （2）若直线的方程为，和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，证明：（3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式 4 黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（文理）参考答案（2016年1月）一、填空题(本大题满分56分) 1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12(理) (文) 13 14二、选择题(本大题满分20分)15B 16C 17A 18C 三、解答题(本大题满分74分)19(本

7、题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分解（1）因为侧棱底面，所以三棱柱的高等于侧棱的长，而底面三角形的面积，（2分）周长，（4分）于是三棱柱的表面积（6分） （2）如图，过作平面的垂线，垂足为，为三棱柱的高（8分）因为侧棱与底面所成的角为，所以，可计算得（9分）又底面三角形的面积，故三棱柱的体积（12分）20(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分解（1）由题设，点坐标为，（2分）其中（）（3分）因为，所以点坐标为，即（5分）（2）设（），于是， 因为，所以，即，（8分）整理得，由，得，（10分）此时，且，于是，且（）得，且因此，点横坐

8、标的取值范围为（12分）21(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解（1）直角三角形中，直角三角形中，正方形中，由，得，于是，代入并整理得（4分）因为，所以，从而（6分）因此， （）（2），（8分）将代入上式，得，（10分）当时，当且仅当时，上式等号成立（12分）因此，三角形池塘面积的最小值为平方米，此时米（14分）22(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分(理) 解（1）因为为正方形，所以直线和的方程为和（1分）点、的坐标、为方程组的实数解，将代入椭圆方程，解得根据对称性，可得正方形的面积（4分）（2）由题设，

9、不妨设直线的方程为（），于是直线的方程为设，于是有，又，（6分），将代入上式，得，（8分）对于任意，上式为定值，必有，即，（9分）因此，直线和的斜率分别为和，此时（10分）（3）设与圆相切的切点坐标为，于是切线的方程为 点、的坐标、为方程组的实数解 当或时，均为正方形，椭圆均过点，于是有（11分） 当且时，将代入，整理得，于是，（13分）同理可得（15分）因为为菱形，所以，得，即，（16分）于是，整理得，由，得，即（18分）综上，满足的关系式为(文) 解（1），；，（2分），；，（4分）证明（2）若（），则有，于是（6分）当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数因为，均为正整数，所以不存在

10、满足（）的数列（10分）解（3）（）（12分）因为，于是（14分） （16分）（18分）23(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分(理) 证明（1）若（），则有，于是（2分）当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数，因为，均为正整数，所以不存在满足（）的数列（4分）解（2）（）（6分）因为，于是（8分）（10分）证明（3）先证 ，这里，（），因为，为从到按任意次序排列而成，所以，为从到个整数的集合，从而，（12分）于是由，得，因此，即（14分）再证由，得，（16分）因为，即，所以，即（18分）(文) 解（1）因为为正方形，所以直线和的方程为和（1分）点、的坐标、为方程组的实数解，将代入椭圆方程，解得根据对称性，可得正方形的面积（4分）证明（2）由题设，直线