第1章质点运动学毛骏建

1、机械运动机械运动 一物体相对于另一物体空间位置随时间一物体相对于另一物体空间位置随时间发生变化发生变化, , 或一物体的某一部分相对于其另或一物体的某一部分相对于其另一部分的位置随时间而发生变化的运动一部分的位置随时间而发生变化的运动. .力学力学运动学：运动学： 研究物体在空研究物体在空间的位置随时间间的位置随时间的变化规律以及的变化规律以及运动的轨道问题，运动的轨道问题，而并不涉及物体而并不涉及物体发生机械运动的发生机械运动的变化原因变化原因静力学：静力学： 工程力学工程力学中用的较多中用的较多动力学：动力学： 以牛顿运动定以牛顿运动定律为基础，研究律为基础，研究物体运动状态发物体运动状态

2、发生变化时所遵循生变化时所遵循规律以及发生机规律以及发生机械运动的原因械运动的原因1-1-1 质点质点：质点：具有一定质量的，大小具有一定质量的，大小和形状可以忽略的理想物体。和形状可以忽略的理想物体。太阳太阳地球地球可以把地球绕太阳的运动看做是质点的运动。可以把地球绕太阳的运动看做是质点的运动。1-1-2参考系和坐标系 描述物质运动具有相对性描述物质运动具有相对性用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。 物质的运动具有绝对性物质的运动具有绝对性为描述物体的运动而选取的参考物体。为描述物体的运动而选取的参考物体。坐标系：坐标系：参考系：参考系：1-2-1

3、 位置矢量与运动方程热带风暴位置矢量位置矢量 （位矢）（位矢）位矢用坐标值表示为：位矢用坐标值表示为：k zj yi xr位矢的大小为：位矢的大小为：222zyxr位矢的方向：位矢的方向：rzryrxcoscoscosP(x,y,z)rzyxO从坐标原点从坐标原点O出发，指向质点出发，指向质点所在位置所在位置P的一的一有向线段有向线段ktzjtyitxr)()()(运动方程：运动方程：)(trr矢量形式矢量形式(直直角坐标角坐标) ：参数形式：参数形式：轨道方程：轨道方程：0),(zyxFxOzyr)()()(tzztyytxx设质点做曲线运动设质点做曲线运动t时刻位于时刻位于A点，位矢点，位

4、矢t+ t时刻位于时刻位于B点，位矢点，位矢ArBr 位移矢量：位移矢量： 在在 t 时间内，位矢的变化量（即时间内，位矢的变化量（即A到到B的有向的有向线段），简称线段），简称位移位移。zyxOBrBArArABrrrAB在直角坐标系中在直角坐标系中kzj yi xr222)()()(zyxrrzyxO BrBArAsrstt00 limlimrsddrs速度是反映质点运动速度是反映质点运动快慢快慢和和方向方向的物理量的物理量速度：速度：单位时间内质点所发生的位移。单位时间内质点所发生的位移。 平均速度tB时刻位于时刻位于B点点在在 t 时间内发生位移：时间内发生位移：ABrrrBAOzyx

5、ArBrr设质点做一般曲线运动设质点做一般曲线运动tA时刻位于时刻位于A点点平均速度：平均速度：平均速度的方向与平均速度的方向与 位移位移 r的方向一致的方向一致 瞬时速度瞬时速度AArBBrr质点在某一时刻所具有的速度质点在某一时刻所具有的速度Ozyxvtrvtrtrddlim0tv1sm单位：单位：1sm单位：单位：速度的方向为轨道上质点所在处的速度的方向为轨道上质点所在处的切线切线方向。方向。速度的矢量式：速度的矢量式：速度的三个坐标分量：速度的三个坐标分量：kyxzvjvivvtztytxzyxdd,dd,ddvvv速度的大小：速度的大小：222zyxvvvvv在在 t时间内，质点所经

6、过路程时间内，质点所经过路程 s 对时间的变化率对时间的变化率tsvtststddlim0v一般情况：一般情况：vv 因此sr当当 t0时：时：vv 则srrdd srBA1sm单位：单位：加速度是反映速度变化的物理量加速度是反映速度变化的物理量 t 时间内，速度增量为：时间内，速度增量为：12vvv平均加速度：平均加速度：平均加速度的方向与速度增量的方向一致。平均加速度的方向与速度增量的方向一致。v2v1vt1时刻，质点速为时刻，质点速为t2时刻，质点速度为时刻，质点速度为1v2vxozy1v2v2r1rtav1sm单位：单位：当当 t0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。时，平均加速度的极

7、限即为瞬时加速度。220ddddlimtrttatvvkajaiaazyx222222ddddddddddddtztatytatxtazzyyxxvvv222zyxaaaa当当 t 趋向零时，速度增量趋向零时，速度增量 的极限方向。的极限方向。v1sm单位：单位：运动方程是运动学问题的核心1. 已知运动方程，求质点任意时刻的速度以及加已知运动方程，求质点任意时刻的速度以及加速度速度 22ddddddtrtatrtrrvv2. 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程及初始条件求质点的运动方程tttata00dd,ddvvvvtt

8、rrtrtr00dd,ddvv运动学的两类问题例例1 1 已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为jti tr22192 求：求：（1）轨道方程；（）轨道方程；（2）t =2s 时质点的位置、速度时质点的位置、速度 以及加速度；以及加速度； （3）什么时候位矢恰好与速度垂直？）什么时候位矢恰好与速度垂直？2219,2tytx(1)消去时间参数消去时间参数22119xy（2）jijirt114)2219(2222j titr42ddvjit822v11222sm25. 8sm82vj titr42ddvjta4ddv2sm4a方向沿方向沿 y 轴的负方向轴的负方向（3）（4）j tijti tr

9、4221922v)182(4)219(4422ttttt0)3)(3(8ttts3,021tt两矢量垂直两矢量垂直857528arctan例例2 2 设某一质点以初速度设某一质点以初速度 做直线做直线运动，其加速度为运动，其加速度为 。问：质点在。问：质点在停止前运动的路程有多长？停止前运动的路程有多长？10sm100iv2sm10iavvv10ddtat d10dvvttt10ln,d10d000vvvvvvt100e vvttxtxtdedd,dd100vvv两边积分：两边积分：txttxded01000 v1e101100txv)1 (1010texm10m)01 (10)e1 (100

10、) 11 (10)e1 (10100100 xxm100 xxxt100evv例例3 路灯距地面高度为路灯距地面高度为h，身高为，身高为l 的人以速度的人以速度v0在在路上匀速行走。求：（路上匀速行走。求：（1）人影头部的移动速度；）人影头部的移动速度；（2）影长增长的速率。）影长增长的速率。Ox2xx1hl （1）hxlxx21212)(hxxlh两边求导：两边求导：txhtxlhdddd)(12012dd,ddvvtxtx其中：lhh0vv（2）令令 为影长为影长12xxb0v-vvtxtxtbdddddd12 以以 代入代入lhh0vv得得lhl0vvtene自然坐标系：自然坐标系：把坐

11、标建立在运动轨迹上的坐标系统。把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。规定：规定：sOP 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为te 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为neQ sneteQPsss(t)ss ttetsedd vvtenesOPQ stevttdddd)(teavvttddddtteevv 速度大小的变化率，其方向指向曲线上质点速度大小的变化率，其方向指向曲线上质点所在点的切线方向所在点的切线方向 t22ttddddetsetavtddetv：teddtttet2P1P tetsO)()(ttttettee-0, 0t当：ttt)tan(eee有ttee方向n0t0t

12、limlimddettetettttet tettettet2P1P tetsOsnnn0tdd1limddeeeetststtvn2tddeetvv沿法线方向沿法线方向n2tnddeetavvattddddtteevvn0t0tlimlimddettetett加速度的大小：加速度的大小：2t2naaa加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：tnarctanaa例：抛体运动例：抛体运动nata gn2tntddeetaaavvABsRxyO 质点所在的矢径与质点所在的矢径与x 轴的夹角。轴的夹角。 质点从质点从A到到B矢径转过的角度矢径转过的角度 。逆时

13、针转向逆时针转向 为正为正顺时针转向顺时针转向 为负为负tttddlim0tttddlim0角量表示匀加速圆周运动的基本公式：02022000221ttt角量和线量的关系：角量和线量的关系：Ra tRs tRtsdddd22nRRavtRtddddvRv2nRa vRzryOx可以把角速度看成是矢量可以把角速度看成是矢量 ！方向由右手螺旋法则确定方向由右手螺旋法则确定 ： 右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指的指向即为角速度矢量的方向。的指向即为角速度矢量的方向。 线速度与角速度的关系： rvtrrttddddddvvraRrr为切向加速度为切向加速度方

14、向沿着运动的切线方向。方向沿着运动的切线方向。 R2vvvv方向指向圆心方向指向圆心v为法向加速度为法向加速度vRzryOx例例4 半径为半径为r = 0.2 m的飞轮，可绕的飞轮，可绕 O 轴转动。已知轴转动。已知轮缘上一点轮缘上一点M的运动方程为的运动方程为 = -t2+4t ，求在，求在1秒时秒时刻刻M点的速度和加速度。点的速度和加速度。42ddtt2ddt11sm4 . 0sm)412(2 . 0)42(trrv22tsm4 . 0sm2 . 0)2(ra2222nsm8 . 0sm)412(2 . 0ra22n2tsm89. 0aaa4 .634 . 08 . 0arctanarct

15、antnaanataaoxvM例例5 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周运动，其路程的圆周运动，其路程s随时随时间间t 的变化规律为的变化规律为 ，式中，式中b，c为大于为大于零的常数，且零的常数，且 。求（。求（1）质点的切向加速）质点的切向加速度和法向加速度。（度和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速）经过多长时间，切向加速度等于法向加速度。度等于法向加速度。Rcb 2ctbtsddvctaddtvRctbRa22n)( vntaa cRcbt解得解得221ctbts(b) 车做匀速直线运动时，车做匀速直线运动时，地面上的人观察到石子做地面上的人观察到石子做抛物线运动。抛物线运动。vv(a) 车做匀速运动时车上车做匀速运动时车上的人观察到石子做直线的人观察到石子做直线运动。运动。vvvrrrr0trtrtrdddddd0两边求导两边求导SxyO0rrSyOxtrddv物体相对于物体相对于 系的速度系的速度Strdd00v 系相对于系相对于 系的速度系的速度SStrdd v相对速度：相对速度：物体相对于物体相对于 系的速度系的速度Svvv0aaa000aaa例例6 一观察者一观察者A坐在平板车上，车以坐在平板车上，车以10 m/s的速率沿的速率沿水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈 60角向上角向上斜抛出一石块，此时站在地面上的观察