协方差相关系数

1、问题问题 对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系. ( )( )EXE XYE Y数X,Y独立时，值独立时，值0 0；若0，则：X,Y一定不独立；故该值反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系4.3 协方差和相关系数 称( )( )E XE XY E Y为 X ,Y 的协方差. 记为: cov( , )( )( )X YE XE XYE Y称)(),cov(),cov()(YDYXYXXD为（X , Y ）的协方差矩阵可以证明可以证明: 协方差矩阵协方差矩阵 为为 半正

2、定矩阵半正定矩阵协方差的定义协方差的定义定义定义常用的协方差的计算公式常用的协方差的计算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX (2)()()( )2Cov(, ).D XYD XD YX Y证明证明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD 协方差的性质协方差的性质 );,Cov(),Cov()1(

3、XYYX ;, , ),Cov(),Cov()2(为为常常数数baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称)()(),cov()()()()(YDXDYXYDXDYEYXEXE为X ,Y 的 相关系数，记为:cov(,)()( )XYX YD XD Y事实上，),cov(YXXY 若, 0XY 称 X ,Y 不相关.无量纲 的量相关系数的定义相关系数的定义()XXXq )()(| ),cov(|2YDXDYX证证 令2( )( )()g tEYE Yt XE X)(),cov(2)(2XDtYXtYD0)

4、(tg对任何实数 t , Cauchy-Schwarz不等式0)()(4),(cov42YDXDYX即)()(| ),cov(|2YDXDYX相关系数的性质相关系数的性质. 1)1( XY. 1,:1)2( bXaYPbaXY使使存在常数存在常数的充要条件是的充要条件是证明证明(1) Cauchy-Schwarz不等式保证. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存在常数存在常数的充要条件是的充要条件是1, XY事实上事实上20000200)()( )(0XbaYEXbaYDXbaYE , 0)(00 XbaYD. 0)(00 XbaYE由方差性质知由方差性质知. 100 XbaYP或或0)(2

5、00 XbaYE, 10)(00 XbaYP使使若存在常数若存在常数反之反之 ba ,1 XbaYP. 0)(2 XbaYE)(min2,bXaYEba )(200XbaYE )()1(2YDXY . 1 XY, 10)(2 XbaYP, 10)( XbaYP故有故有)(02XbaYE 求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 1 已知 X ,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解解 1 0 p qX Y P ,)(,)(,)(,)(pqYDpqXDpYEpXE,)(pXYE1,),cov(XYpqYX

6、 .),(),(222121相关系数相关系数的的与与试求试求设设YXNYX解解 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf由由,e21)(21212)(1 xxfxX.,e21)(22222)(2 yyfyY例例2.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxfyxYXdd),()(),Cov(21 而而.ddee)(1212112222121)1(212)(21221xyyxxyx ,1111222 xyt令令,11xu ututuYXtudde )1(21),Cov(2222122122 tuutudede22222122

7、ttuutudede212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有.)()(),Cov( YDXDYXXY于是于是结论结论;,)1(的相关系数的相关系数与与代表了代表了参数参数中中二维正态分布密度函数二维正态分布密度函数YX. )2(相互独立相互独立与与等价于等价于相关系数为零相关系数为零与与二维正态随机变量二维正态随机变量YXYX.23,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 设设分别服从分别服从已知随机变量已知随机变量?)3(.)2(.)1(为什么为什么是否相互独立是否相互独立与与问问的相关系数的相关系数与与求求的数学期望和方差的数学期望和方差求求Z

8、XZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE .31 例例3)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 Cov(,) ()( )0.XZX ZD XD Z故:,)3(可知可知立两者是等价的结论立两者是等价的结论关系数为零和相互独关系数为零和相互独由二维正态随机变量相由二维正态随机变量相.是相互独立的是相互独立的与与ZX)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 例例4（略）（略） ?,),cos(,cos,2, 0的相关系数的相关系数和和求求是常数是常数这里这里的均匀分布的均匀分布服从服从设设 aa 解解, 0dcos21)(20 xxE ,21dcos21)(2022 xxE , 0d)(cos21)(20 xaxE ,21d)(cos21)(2022 xaxE ,cos21d)cos(cos21)(20axaxxE 数为数为由以上数据可得相关系由以上数据可得相关系.cos