《概率论与数理统计》第二章基础知识小结

1、概率论与数理统计第二章基础知识小结第二章、基础知识小结离散型分布变量分布函数及其分布律1.定义：PXXiPi(i1,2,3,)Xx1x2x3xkPP1P2P3Pk2、分布律pj的性质:Pk0,k1,2,;Pk1k13、离散型随机变量的分布函数：F(x)PXxPkxkx4、分布函数F(X)的性质：(1)0F(x)1F(x)就是不减函数，Px1Xx2F(x2)F(x1)0(3)F()0,F()1,即limf(x)0,limf(x)1xx(4)F(x)右连续，即F(x0)limF(xx)F(x)x0(5)PaXbPXbPXaF(b)F(a)PXa1PXa1F(a)5、三种常见的离散型随机变量的概率分

2、布(1)0-1分布(XB(1,p)X01PPq(2)二项分布(XB(n,p)PkPXkCkpkqnk,k0,1,2,n(3)泊松分布(xp()kPkPXke,k0,1,2,n,k!二、连续型随机变量分布函数及其概率密度1、连续型随机变量的分布函数即概率密度定义：xF(x)PXxf(t)dt其中，F(x)为X的分布函数，f(x)为X的概率密度。2、概率密度的性质f(x)0(2) f(x)dx1b(3) PaXbF(b)F(a)f(x)dxa(4)F(x)f(x)3、三种常见的连续型随机变量(1)均匀分布(XU(a,b)1f(x),axba0,其他(2)指数分布(xE()f(x)e x,x 00,

3、 x 0(3)正态分布(XN(,2)(x)2f(x)(4)标准正态分布(XN(0,1)及其性质f(x)22性质:A、(x)1(x)1B、(0)2(5)非标准正态分布标准化设XN(,2)，则X-11z=N(OJ)三、随机变量函数的概率分布1、离散型随机变量函数的概率分布设离散型随机变量X的分布律为:Xx1x2*3xkPP1P2P3Pk则X的函数Yg(X)的分布律为：Xg(x1)g(x2)g(x3)g(xk)PPiP2P3Pk2、连续型随机变量函数的分布设X的连续型随机变量，其概率密度为fX (X)。设g(x)就是一严格单调的可导函数淇值域为,且g(x) 0。记xh(x)为y g(x)的反函数,则

4、Yg(X)的概率密度为fY(y)fX(h(y)|h(y)l, 0,y其他特别地，当时,fY(y)fx(h(y)|h(y)|,y本章历届试题1、（2013、10、2）、设随机变量xN（,2），（x）为标准正态分布函数则PXx=A、(x)B、1-(x)2、（2013、10、13）、设随机变量X服从参数为1的指数分布，则1PX1=一、e解:因为，随机变量X服从参数为1的指数分布所以,X的概率密度为f（x）e x, x 00,其他xx11PX1edxe【(0e)-11eX 1,则Y的概率密度3、（2013、10、14）、设随机变量XN（1,1）Y2一、1二fY(y)=e、4、（2013、10、29）、

5、设随机变量X的概率密度为f (x)cx, 00,x 4, 其他.求:(1)常数c;(2)X的分布函数F(x);(3)P|X|2、解:(1)由f(x)dx1得:“2c ,18c 1,c8一、，4.cxf(x)dx°cxdx/X、G，0<x<4fW='8!0,其她x由F(x)f(t)dt4导:当XWO时,F(x)0当0x4时,F(x)。?16当x > 4时,F(x)=0Odt +» GOr4t 乂Jo8dt+J4Odt = 1即X的分布函数为F(x) =! 0, x < 0 2>0Vx<4 b 1, x>4 P| x| 2 P

6、2 x 222 f (x)dx20dx2 x 一dx0 82 x16P|x| 2P 2 x 2 F(2) F(2)22 0165、(2013、4、P a X b(3)、设随机变量 )X的分布函数为F(X)则A、F(b-0)-F(a-0)R F(b-0)-F(a)C、F(b)-F(a- 0)D F(b) F(a6、(2013、4、14)、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则，、,1PX11、ek分析:泊松分布的分布律为pxPXk3e,k0,1,2,解:由于随机变量X服从参数为1的泊松分布，所以,、11PxPXk=e1,k0,1,2,k!，、，、，、1i1PX11PX11PX01e1-0!e0,

7、x17、(2013、4、15)、设随机变量X的概率密度为f(x)1y1,用Y2,X1X表示对X的3次独立重复观察中事件X3出现的次数，则PY3_0、分析:YB(3,p),PY>3=01r+8r+81解:p=PX>3=If(x)dx=Idx=-)3J3x311JdX = 3p=PX>3=1-PX<3=1-ff(x)dx=1-J-00f1f_2一1J-dx=Jxdx=-x+C=-+C由于,Y表示对X的3次独立重复观察中事件X3出现”的次数,所以i|31(Y=0123)PY>3=0PY>3=1-PY<3=1-PY=O-PY=1-PY=2-PY=3)8 4 2

8、1 ss = (J27 9 9 277、(2014、4、2)设随机变量x的分布律为X-102P0、10、30、6F(x)为X的分布函数，则F(0)二B、0、3A、0、1C、0、4D、0、6F(0)=Px=-1+Px=0=0、1+0、3=0、48、(2014、4、14)设随机变量X服从区间1,5上的均匀分布，F(x)为X的分布函数，当1<x邸,F(x尸4f3。(0,其她t|xx-1当1W1<5时,F(X)=J=d=9、(2014、4、15)设随机变量X的概率密度为f(x)2x,0 x0,其他,1，e则P X1210、(2014、4、16)已知随机变量XN(4,9),PXcPX<

9、c，则常数c=>P(X>c)=1-PX<c=PX<吐所以PX<c=|=(P(0)x-4由于XN(4,9),所以z=-N(0,l)kJ,概率论与数理统计第二章基础知识小结/V _ J.PX < c = P* <=叭0)c4=0,c=411、(2014、4、29)设随机变量XN(0,1)，记Y=2X,求:(1)PX<-1;(2)P|X|<1;(3)Y的概率密度、(附：0.8413)解:由于X所以PX<-1=0>(-1)=1-0>(1)=1-0.8413=0、1587由于XN(OJ),所以P|X|<1=-1=2x0.841

10、3-1=0、6826由于XN(01),Y=2*所以丫N(0,4),那么丫的概率密度函数为(y-M)y1a=7e2，27rx08、（2013、1、3）以下函数中能成为某随机变量分布函数的就是（）A.F(x)x,0,B.F(x)xxe0,C.F(x)D.F(x)0,10,xe解:(A)F(limxF(x)limx1，淘汰(B)F()limF(x)xlimxexxlimx概率论与数理统计第二章基础知识小结(D)F(c)f()严141,x0时,F(x)单调增加，答案C)lim(1xex)1,x0时,F(x)有增有减，淘汰。xxx/xxxxF(x)1(xe)0xex(e)exe(x1)e0,x19、(2

11、013、1、4).设xN(0,i),x的分布函数为(x)，则P|X|2的值为A. 21(2)B. 2 (2) 1C.2(2)7100D.12(2)P|X|21P|X|212(2)122(2)k k/a(1,2,3)，则 a _610、(2013、1、14).设X的分布律为PX解：12361,a6aaaax一、e,x11、(2013、1、15)f(x)0,x0,其中0,若PX10.3，则PX2.11Y(ee0) 1 e 0.3解：PX1f(x)dx°edxeln107_1x2xPX2oedxOed(x)e._210,1022l吟ln-1049ee10-22021n4951°(ee)1e71-0100100概率论与数理统计第二章基础知识小结12、(2013、1、16)设X的分布律为X2101P0、30、20、40、1贝(JP2X10、6.解：P2X1PX1PX00,20.40.6213、(2013、28)设连续型随机变量X的分布函数为F(x)0,x0Ax2,0x1Ax,1x21,x2试求：(1)系数a;(2)x的概率密度；(3)p0X2解:由于连续型随机变量X的分布函数为F(x)0,x0Ax2,0x1A