第五章解释变量包含虚拟变量的回归模型

1、第五章 解释变量包含虚拟变量 的回归模型 一、虚拟变量的基本含义一、虚拟变量的基本含义 二、虚拟变量的引入二、虚拟变量的引入 三、虚拟变量的设置原则三、虚拟变量的设置原则一、虚拟变量的基本含义一、虚拟变量的基本含义v许多经济变量是可以定量度量可以定量度量的，如：如：商品需求量、价格、收入、产量等。v但也有一些影响经济变量的因素无法定量度量无法定量度量，如：如：职业、性别对收入的影响，战争、自然灾害对GDP的影响，季节对某些产品（如冷饮）销售的影响等等。v为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提高模型的精度，需要将它们“量化”。 这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量”来完成的。根据这些因素的属性

2、类型，构造只取“0”或“1”的人工变量，通常称为虚拟变量虚拟变量（dummy variables），记为D。v例如例如，反映文化程度的虚拟变量可取为，反映文化程度的虚拟变量可取为： 1， 本科学历 D= 0， 非本科学历v 一般地，在虚拟变量的设置中：v 基础类型、肯定类型取值为基础类型、肯定类型取值为1；v 比较类型，否定类型取值为比较类型，否定类型取值为0。概念：概念： 同时含有一般解释变量与虚拟变量的模同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型 称 为 虚 拟 变 量 模 型 或 者 方 差 分 析型 称 为 虚 拟 变 量 模 型 或 者 方 差 分 析（analysis-of varian

3、ce: ANOVA）模型模型。 一个以性别为虚拟变量考察企业职工薪金的模型：iiiiDXY210其中：Yi为企业职工的薪金，Xi为工龄， Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。二、虚拟变量的引入二、虚拟变量的引入 虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方式：加法方式加法方式和乘法方式乘法方式。 上述企业职工薪金模型中性别虚拟变量的引入采取了加法方式。 在该模型中，如果仍假定E(i)=0，则 企业女职工的平均薪金为：企业女职工的平均薪金为：1. 1. 加法方式加法方式iiiiXDXYE10)0,|( 企业男职工的平均薪金为：企业男职工的平均薪金为：iiiiXDXYE120)() 1,|(几何意

4、义：几何意义： 假定20，则两个函数有相同的斜率，但有不同的截距。意即，男女职工平均薪金对工龄的变化率是一样的，但两者的平均薪金水平相差2。v可以通过传统的回归检验，对2的统计显著性进行检验，以判断企业男女职工的平均薪金水平是否有显著差异。 年薪Y 男职工 女职工 工龄X02 又例又例：在横截面数据基础上，考虑个人保健支出对个人收入和教育水平的回归。 教育水平考虑三个层次：高中以下， 高中， 大学及其以上。 011D 其他高中 012D 其他大学及其以上 这时需要引入两个虚拟变量：模型可设定如下：iiiDDXY231210 在E(i)=0 的初始假定下，高中以下、高中、大学及其以上教育水平下个

5、人保健支出的函数：v高中以下：iiiXDDXYE1021)0, 0,|( 高中：iiiXDDXYE12021)()0, 1,|( 大学及其以上：iiiXDDXYE13021)() 1, 0,|( 假定32，其几何意义： 大学教育 保健 高中教育 支出 低于中学教育 收入 还可将多个虚拟变量引入模型中以考察多种还可将多个虚拟变量引入模型中以考察多种“定定性性”因素的影响。因素的影响。 如如在上述职工薪金的例中，再引入代表学历的虚拟变量D2：iiiDDXY231210012D本科及以上学历本科以下学历职工薪金的回归模型可设计为：女职工本科以下学历的平均薪金：iiiXDDXYE13021)() 1,

6、 0,|(女职工本科以上学历的平均薪金：iiiXDDXYE132021)() 1, 1,|(iiiXDDXYE1021)0, 0,|(iiiXDDXYE12021)()0, 1,|(于是，不同性别、不同学历职工的平均薪金分别为：男职工本科以下学历的平均薪金：男职工本科以上学历的平均薪金：2. 2. 乘法方式乘法方式v加法方式引入虚拟变量，考察：截距的不同。截距的不同。v许多情况下：往往是斜率就有变化，或斜率、截或斜率、截距同时发生变化距同时发生变化。v斜率的变化可通过以乘法的方式引入虚拟变量来斜率的变化可通过以乘法的方式引入虚拟变量来测度测度。 例例：根据消费理论，消费水平C主要取决于收入水平

7、Y，但在一个较长的时期，人们的消费倾向会发生变化，尤其是在自然灾害、战争等反常年份，消费倾向往往出现变化。这种消费倾向的变化可通过在收入的系数中引入虚拟变量来考察。tttttXDXC210如，设01tD反常年份正常年份消费模型可建立如下：v这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中，从而可用来考察消费倾向的变化。v假定E(i)= 0，上述模型所表示的函数可化为： 正常年份：ttttXDXCE)() 1,|(210 反常年份：ttttXDXCE10)0,|( 当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加法与乘法形式的虚拟变量加法与乘法形式的虚拟变量。v例例，考

8、察1990年前后的中国居民的总储蓄-收入关系是否已发生变化。 表中给出了中国19792001年以城乡储蓄存款余额代表的居民储蓄以及以GNP代表的居民收入的数据。表表5.1.1 19792001年年中中国国居居民民储储蓄蓄与与收收入入数数据据（亿亿元元）90年前储蓄GNP90年后储蓄GNP19792814038.21991910721662.51980399.54517.8199211545.426651.91981523.74860.3199314762.434560.51982675.45301.8199421518.846670.01983892.55957.4199529662.3574

9、94.919841214.77206.7199638520.866850.519851622.68989.1199746279.873142.719862237.610201.4199853407.576967.219873073.311954.5199959621.880579.419883801.514922.3200064332.488228.119895146.916917.8200173762.494346.419907034.218598.4 以Y为储蓄，X为收入，可令：v1990年前： Yi=1+2Xi+1i i=1,2,n1 v1990年后： Yi=1+2Xi+2i i=1,2

10、,n2 则有可能出现下述四种情况中的一种：(1) 1=1 ，且2=2 ，即两个回归相同，称为重合重合回归回归（Coincident Regressions）；(2) 11 ,但2=2 ，即两个回归的差异仅在其截距，称为平行回归平行回归（Parallel Regressions）;(3) 1=1 ，但22 ，即两个回归的差异仅在其斜率，称为汇合回归汇合回归(Concurrent Regressions)；(4) 11，且22 ，即两个回归完全不同，称为相异回归相异回归（Dissimilar Regressions）。平行回归汇合回归相异回归 可以运用邹氏结构变化的检验邹氏结构变化的检验。这一问题

11、也可通过引入乘法形式的虚拟变量来解决。 将n1与n2次观察值合并，并用以估计以下回归：iiiiiiXDDXY)(4310Di为引入的虚拟变量：01iD年后年前9090 于是有：iiiiXXDYE10), 0|(iiiiXXDYE)()(), 1|(4130可分别表示1990年后期与前期的储蓄函数。 在统计检验中，如果3=0的假设被拒绝，则说明两个时期中储蓄函数的截距不同，如果4=0的假设被拒绝，则说明两个时期中储蓄函数的斜率不同。v具体的回归结果为：具体的回归结果为： (-6.11) (22.89) (4.33) (-2.55) 由3与4的t检验可知：参数显著地不等于0，强烈示出两个时期的回归

12、是相异的，储蓄函数储蓄函数分别为：分别为：1990年前：1990年后：iiiiiXDDXY4765. 03 .138028881. 0154522R=0.9836iiXY4116. 07 .1649iiXY8881. 015452邹氏结构变化的检验和虚拟变量法的比较邹氏结构变化的检验和虚拟变量法的比较v邹检验只是告诉我们结构是否已经变化，而不能告诉我们当有变化时候是因为只是斜率相异或只是截距相异，或两者均相异。但是虚拟变量法不仅告诉我们两个回归是否有差异，而且落实到差异的起因由于截距或由于斜率或由于两者。v我们只要做一个回归，因为其他的回归可以方便地由它导出。v这个单一的回归可以用来做各种假设

13、检验。v由于合并而增加了自由度，参数估计的相对精度也有所改进。3. 3. 临界指标的虚拟变量的引入（分段回归）临界指标的虚拟变量的引入（分段回归） 在经济发生转折时期，可通过建立临界指标的虚拟变量模型来反映。 例如，例如，进口消费品数量Y主要取决于国民收入X的多少，中国在改革开放前后，Y对X的回归关系明显不同。 01tD*tttt则进口消费品的回归模型可建立如下：则进口消费品的回归模型可建立如下： ttttttDXXXY)(*210 这时，可以t*=1979年为转折期，以1979年的国民收入Xt*为临界值，设如下虚拟变量： OLS法得到该模型的回归方程为：则两时期进口消费品函数分别为：tttt

14、tDXXXY)(*210当tt*=1979年，ttXY10当tt*=1979年，titXXY)()(21*20三、虚拟变量的设置原则三、虚拟变量的设置原则 虚拟变量的个数须按以下原则确定：虚拟变量的个数须按以下原则确定： 每一定性变量所需的虚拟变量个数要比该定每一定性变量所需的虚拟变量个数要比该定性变量的类别数少性变量的类别数少1，即如果有，即如果有m个定性变量，只个定性变量，只在模型中引入在模型中引入m-1个虚拟变量。个虚拟变量。 例例 已知冷饮的销售量Y除受k种定量变量Xk的影响外，还受春、夏、秋、冬四季变化的影响，要考察该四季的影响，只需引入三个虚拟变量即可：011tD其他春季012tD

15、其他夏季013tD其他秋季则冷饮销售量的模型为：在上述模型中，若再引入第四个虚拟变量：ttttktkttDDDXXY332211110014tD其他冬季则冷饮销售模型变量为：tttttktkttDDDDXXY44332211110其矩阵形式为：D)(X,Y 如果只取六个观测值，其中春季与夏季取了两次，秋、冬各取到一次观测值，则式中的： 显然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的线性组合，从而(X,D)不满秩，参数无法唯一求出。 这就是所谓的这就是所谓的“虚拟变量陷阱虚拟变量陷阱”，应避免。000110010110001010010010100011)(616515414313212111kkk

16、kkkXXXXXXXXXXXXDX,k104321复 习v本学期考试范围是前五章，就是绪论，一元回归，多元回归，非线性，虚拟变量。v还要讲三章，但是不作考试要求。v还有一次上机实践考试重点v1.计量经济学由哪三个学科结合而成的独立学科？v2.为什么要引入随机扰动项，随机扰动项产生的原因是什么？为什么我们总是假设随机扰动项服从正态分布？v3.最小二乘法（OLS）的估计一（多）元线性回归模型的基本假设有哪些？如果满足这些经典假设OLS得到的估计量有什么优良性质？高斯马尔可夫定理的内容是什么？v4.计量经济学模型的检验有哪四种？ v5.一元回归中F值和t值的关系Ft2v6.t值和估计值、标准差的关系是什么？v7.多元回归的偏回归系数的解释v8.双对数模型的系数的解释，半对数模型的系数的解释。v9.在给出显著性水平比如为0.05看P值能判断出t和F检验是否能够通过，以及给出t分布的临界值的情况下也能判断t检验是否通过。v10.得到回归的结果能看出哪个是判定系数，残差平方和（RSS）和随机干扰项的标准差以及赤池信息准则（AIC）和施瓦茨准则（SC） 。以及判定系数的范围和趋于哪个值就较好，和AIC、SC是越大越好还是反之。其他的指标的意思能了解。v11.在对随机误差项