刚体绕定轴的转动(一)

1、第三章第三章刚体绕定轴的转动（一）刚体绕定轴的转动（一）主讲主讲 刘果红刘果红 前言前言 一是主要研究对象变了，由一是主要研究对象变了，由质点质点变为变为刚体刚体。 二是主要研究的问题也变了，由二是主要研究的问题也变了，由平动平动变为变为转动转动。 AB 高速运转的飞轮高速运转的飞轮平动的汽车平动的汽车vv 一、刚体绕定轴转动的运动特征一、刚体绕定轴转动的运动特征： 刚体中某一直线上的点保持不动（对刚体中某一直线上的点保持不动（对固定参考系而言），其它各点都以该直固定参考系而言），其它各点都以该直线上的相应点为圆心，在垂直于该点的线上的相应点为圆心，在垂直于该点的平面内作半径不同的圆周运动。平

2、面内作半径不同的圆周运动。 直线直线转轴转轴 这种运动称这种运动称刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动 刚体绕定轴的转动的三个特点：刚体绕定轴的转动的三个特点：1）刚体上各质点都在各自的平面内作）刚体上各质点都在各自的平面内作半径不同半径不同的的圆周运动圆周运动。2）各质点作圆周运动的）各质点作圆周运动的平面垂直于轴平面垂直于轴 线，圆心在轴线上。线，圆心在轴线上。 3）各质点绕轴运动的）各质点绕轴运动的角速度角速度是相同的，是相同的，这就意味着角速度的时间变化率也这就意味着角速度的时间变化率也是相同的，即各质元的是相同的，即各质元的角加速度角加速度相相同。同。0P iirv 二、转动惯量二、转动

3、惯量转动惯量转动惯量描述定轴转动刚描述定轴转动刚体的转动惯性大小体的转动惯性大小 niiiniiikrmrmE1221222121 转转Jrminii 21（1）在在SI单位制中，单位制中，J的单位为的单位为kg1、转动惯量的定义、转动惯量的定义m/2m/2(a) m(b) oo221iiivmE 2221iirm 221 JEk转转（2）定轴转动刚体的转动动能定轴转动刚体的转动动能 两点说明：两点说明：1）对转轴）对转轴固定固定的刚体来说，的刚体来说，J是个定值是个定值。 2）对于）对于质量离散的转动系统质量离散的转动系统，可直接用定义式来计，可直接用定义式来计算转动惯量；算转动惯量；对质量

4、连续分布的刚体对质量连续分布的刚体，（，（1）式中的求）式中的求和号应以定积分来代替：和号应以定积分来代替：dmrJrmJii 22（1） 为质量元为质量元 ， 为质量元到转轴的垂直距离为质量元到转轴的垂直距离dmr若刚体质量为线分布若刚体质量为线分布dldm dldm 若刚体质量为面分布若刚体质量为面分布dsdm dsdm 若刚体质量为体分布若刚体质量为体分布dvdm dvdm Jrminii 21（1） iirv 例题：例题： 求质量为求质量为m长为长为L的匀质细杆绕垂直于杆且通过的匀质细杆绕垂直于杆且通过端点的转轴的转动惯量。端点的转轴的转动惯量。dxLmdxdm x odxxLmdmx

5、dJ22 22031mLdxxLmdJJL ox2222121mLdxxLmJLL o 转动惯量转动惯量2、转动惯量的物理意义、转动惯量的物理意义物体的平动动能物体的平动动能 221mvEk 刚体的转动动能刚体的转动动能221JEk转类比：类比： vmJJ为描述刚体定轴转动惯性大小的物理量为描述刚体定轴转动惯性大小的物理量 转动惯量转动惯量3、决定转动惯量大小的三个因素、决定转动惯量大小的三个因素1)转动惯量与刚体的总质量有关转动惯量与刚体的总质量有关2)在质量一定的情况下，转动惯量与质量的分布有关在质量一定的情况下，转动惯量与质量的分布有关m,R m,Roo2mRJ 环环221mRJ 盘盘

6、Jrminii 21（1） 转动惯量转动惯量3、在总质量一定且质量分布也一定的情况下，转、在总质量一定且质量分布也一定的情况下，转动惯量与所给定轴的位置有关。动惯量与所给定轴的位置有关。oo m,L231mLJo 2121mLJo 转动惯量转动惯量4、 转动惯量的可加性转动惯量的可加性 一个具有复杂形状的刚体，如果可以分割成若干个简单一个具有复杂形状的刚体，如果可以分割成若干个简单部分，则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分部分，则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯量之和。对同一轴转动惯量之和。22224)2)(3(1212mLLmmLLmJ 2mm L 3moL

7、三、刚体绕定轴的转动定律三、刚体绕定轴的转动定律1、力矩、力矩两点说明：两点说明：1）在定轴转动中，刚体不是逆时针转动就是顺）在定轴转动中，刚体不是逆时针转动就是顺时针转动，因此力矩可用正、负号表示。时针转动，因此力矩可用正、负号表示。 2）定轴转动的刚体，如同时受几个外力共同作）定轴转动的刚体，如同时受几个外力共同作用，合外力矩的量值等于这几个力各自力矩的代用，合外力矩的量值等于这几个力各自力矩的代数和。数和。 0d rFd力臂力臂(力的作用线到转轴的垂直距离）力的作用线到转轴的垂直距离）FrM FdFrM sin（3） 2、刚体绕定轴的转动定律刚体绕定轴的转动定律类比：类比：amF 质点动

8、力学：质点动力学：F可改变平动物体的运动状态可改变平动物体的运动状态m描述平动物体平动惯性大小描述平动物体平动惯性大小a是平动物体的加速度是平动物体的加速度 刚体定轴转动：刚体定轴转动： M可改变刚体的转动状态可改变刚体的转动状态 J描述转动刚体的转动惯性的大小描述转动刚体的转动惯性的大小 JM （4） 与与a相当的物理量是角加速度相当的物理量是角加速度dtdJM 对转动定律的讨论：对转动定律的讨论：1）转动定律定量地给出了刚体转动的规律性：）转动定律定量地给出了刚体转动的规律性： JM 2） M、J、 都是对同一转轴而言。都是对同一转轴而言。 JM mg 如质量为如质量为m长为长为L的匀质细

9、杆从水平的匀质细杆从水平位置由静止释放，求杆与竖直方向位置由静止释放，求杆与竖直方向成成 角时杆的角加速度。角时杆的角加速度。o sin2LmgM 231mLJ Lg2sin3 对转动定律的讨论：对转动定律的讨论： 3）转动定律是）转动定律是瞬时瞬时作用规律。作用规律。 在转轴一定的情况下，在转轴一定的情况下，J为定值，定轴转动的为定值，定轴转动的刚体所受的合外力矩刚体所受的合外力矩M与角加速度与角加速度 是是同时产生，同时产生，同时变化，同时消失。同时变化，同时消失。 例题例题 如图所示，质量均为如图所示，质量均为m的两物体的两物体A、B，A放在倾角为的放在倾角为的光滑斜面上，通过定滑轮由光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长不可伸长的轻绳与的轻绳与B相连。定相连。定滑轮是半径为滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为的圆盘，其质量也为m，物体运动时，绳，物体运动时，绳与滑轮与滑轮无相对滑动无相对滑动，求绳中，求绳中张力张力及物体的及物体的加速度加速度。mBA ATmgN A sinmgTmaA (1)mgBT BTmgma (2)解：解： 例题例题答案：答案：gamgTmgTBA5)sin1(25sin235sin32 221)(mRRTTAB(3)4(Ra ATBTmgNo 小结小结3、转动