XX年中考数学一轮复习有理数讲义

1、XX年中考数学一轮复习有理数精品讲义 XX年中考数学一轮复习精品讲义 有理数 本章小结 小结1本章概述 本章的知识要点主要包括有理数的意义和有理数的运 算两部分内容，其课标要求是：理解有理数的意义，能用数 轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解 相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值；理 解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单 的混合运算；理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简 化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题；会用科学记 数法表示较大的数，并能按要求取近似数. 小结2本章学习重难点 本章的重点是：有理数的意义及运算； 本章的难点是：负数概念的建

2、立以及对有理数运算法则 的理解. 学好本章的关键是能够运用有理数的运算法则正确进 行运算，并且能够掌握好有理数的运算顺序及符号的确定. 小结3本章学法点津 .学习本章知识要注重从算术到代数的过渡，要克服学 习小学数学时的思维局限性，考虑问题时不能忽略负数的可 能性. .注重学习方法的更新和能力的提升.学习中要多观察 思考、讨论交流、探究反思、归纳总结，从而提升自己的思 维能力. .注重数学思想的运用.掌握数形结合、分类、转化、 类比等数学思想是学好数学的重要保障. 知识网络结构图 重点题型总结及应用 题型一绝对值 理解绝对值的意义及性质是难点，由于 |a|表示的是表 示数a的点到原点的距离，因

3、此|a| 0.可运用|a|的非负 性进行求解或判断某些字母的取值. 例1如果a与3互为相反数，那么|a+2|等于 A. 5B. 1c. -1D. -5 解析：a与3互为相反数，则a= -3，所以|a+2| =卜3+2| =卜1| = 1. 答案：B 例 2 若 2+|b+2| = 0,贝V a+b=. 解析：由于20, |b+2| 0,又2与|b+2|互为相反数， 因此 2 = 0 且|b+2| = 0,贝V a = 1 , b= -2，所以 a+b= -1 . 答案：-1 规律 若几个非负数的和为 0,则这几个数分别为 0. 题型二有理数的运算 有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数

4、学 运算的基础.要熟记法则，灵活运算，进行混合运算时，还 要注意运算顺序及运算律的应用. 例3XX的相反数是 A. 1B. -1c . XXD -XX 解析：由于指数 XX为奇数，所以XX= -1，其相反数为 1. 答案：A 例4计算：； 解： =4-9 X =4-4 = 0 . 题型三运用运算律简化运算过程 运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数 分别结合在一起相加，可以简化运算过程.例5计算下列各题. 1-49 . 5+10. 2-2-3 . 5+19; 分析：混合运算，应按法则进行，同时注意灵活运用运 算律，简化运算过程. 解：原式=+10 . 2+-2 = 50. 2-55

5、= -4 . 8; 原式； 原式 原式= 点拨 正、负数分别结合相加；分数中，同分母或分母有倍数 关系的分数结合相加；除法转化为乘法，正向应用乘法分配 律；逆向应用分配律 a= ab+ac,即ab+ac = a. 题型四利用特殊规律解有关分数的计算题 根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采取运算 顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解 题过程、简化计算、解决问题的目的. 例6计算下列各题. 分析：带分数相加，可将带分数中整数部分与分数部分 拆开分别相加. 本题若按常规计算方法比较麻烦，但若用运算律可简化 运算. 由于 ,，所以将原算式变形裂项后，再进行计算. 算式中，后一个分

6、数的分母是前一个分数分母的 2倍， 可在算式中加上最后一个分数，再减去，加上的与前一个分 数运算，所得的和再与前一个分数运算，依次向前进行，最 终求得运算结果. 解：原式=-5- 原式原式= 点拨 利用规律特点，灵活解分数计算题，需要认真观察，注 意经常训练，提高思维的灵活性. 题型五有理数运算的应用 用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活 中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用 较多.做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算. 例7有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克 数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下： 1. 2, -0 . 8, 2. 3, 1.

7、 7, -1 . 5, -2 . 7, 2, -0 . 2，则这 8 箱 橘子的总重量是多少？ 分析：本题运用有理数的加法、乘法解决问题.先求出 总增减量，再求出8箱橘子的总标准重量，两者之和便为这 8箱橘子的实际总重量. 解析：1. 2+2. 3+1. 7+2+ =1. 2-0 . 8+2. 3+1. 7-1 . 5-2 . 7+2-0 . 2 =+ =6-5+1 = 2. 贝U 15X 8+2 = 122. 答案：这8箱橘子的总重量是122千克. 例8一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了 8千米，到达“华能”修理部，又向北走了 3. 5千米，到达 “捷达”修理部，继续向北走了 7.

8、 5千米，到达“志远” 修理部，最后又回到批发部. 以批发部为原点，以向南方向为正方向，用 1个单位长 度表示1千米，你能够在数轴上表示出 “华能” “捷达” “志 远”三家修理部的位置吗 ？ “志远”修理部距“捷达”修理部多远 ？ 货车一共行驶了多少千米 ？ 解：能.如图1-6-1所示. 由数轴可知“志远”修理部距“捷达”修理部4.5- = 4.5+3 =7. 5. 货车共行驶了 |8|+卜3 . 5|+卜7 . 5|+|3| = 8+3. 5+7. 5+3 =22. 题型六探索数字规律 找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题 目灵活多变.解题时要认真观察、分析思考，找出规律，并

9、运用规律解决问题. 例9某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一 个分裂成两个，2 . 5小时后，这种细菌可分裂为 A. 8 个 B . 16 个 c . 32 个 D.64 个 解析：本题数字的规律是1 24 8，每半小时细菌 个数变为原来的2倍，所以经过2 . 5小时，细菌个数应变 为原来的25倍，即32个. 答案：c 例10观察图1-6-2，寻找规律，在“ ？”处应填上的数 字是 A . 128B. 136 c . 162D . 188 解析：观察图个数字特点可发现：8 = 4+2+2; 14 = 8+4+2; =14+8+4;所以“ ？”= 88+48+26= 162. 答案：c思

10、想方法归纳 本章中所体现的数学思想方法主要有： .数形结合思想：在本章中，自始至终利用数轴来定义 或描述有理数的概念和运算，数轴成为理解有理数及其运算 的重要工具.这种把数与形结合起来进行研究的思想方法， 是学习数学的重要思想方法. .分类讨论思想：a与-a哪个大呢？a的绝对值等于什么？ 在本章中，我们都是通过分类讨论解决问题，分类讨论可以 把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题来处理，这是数 学中处理问题的一种重要思想方法.不重复、不遗漏是对分 类讨论提出的基本要求.例如，我们常把有理数分成正有理 数、负有理数和零三类，如果遗漏了零，只考虑正有理数和 负有理数两种情况，就会犯错误. .转化思

11、想：有理数的加法是通过符号法则转化为绝对 值的加减法进行的；有理数的减法是通过转化为加法进行 的；有理数的除法是通过转化为乘法，或者说有理数的乘除 法是通过符号法则转化为绝对值的乘除法进行的. .数形结合思想 数轴是数形结合的重要工具，涉及含字母或绝对值符号 的问题，借助数轴往往有利于问题的迅速解决. 例 1|a| |b| , a0, bvo,把 a、b、-a、-b 按由小到 大的顺序排 列. 分析：将a、b、-a、-b在数轴上对应点的位置找出来， 就可以比较大小了. 解：由a0, bv 0可知，a为正数，b为负数，a、b所 对应的点分别在数轴上原点的右边和左边 . 由于|a| |b|，从绝对

12、值的几何意义可知，表示数 a的 点离原点的距离比表示数 b的点离原点的距离远，而互为相 反数的两个数绝对值相等，即|a| = |-a| , |b| = |-b| ,于是 a、b、-a、-b在数轴上的位置如图 1-6-3所示. 故由小到大的顺序排列为-a v bv -b v a. 提示 比较数的大小，可在数轴上把这些对应点表示出来，按 从左到右的顺序确定后，就能写出这些数的大小关系.从本 例看，我们还可以进一步得到 -a v bv 0v -b v a. 例2有理数a、b在数轴上对应点的位置如图 1-6-4 所 示，贝U必有 A. a+b OB. a-b v oc. ab OD.v 0 解析：由数

13、轴可知 0v av 1, bv -l v 0且|b| |a|，因 此有 a+bv 0a-b 0, abv 0,v 0.故选 D. 答案：D 点拨 本题要注意读懂图形，掌握数轴上点的性质，还要注意 有理数的四则运算法则. .分类讨论思想 例3比较2a与-2a的大小. 分析：由于a可能为正数，也可能为负数和 0,所以应 分a0, av 0, a= 0三种情况讨论. 解：当 a0 时，2a -2a ;当 av 0 时，2av -2a ;当 a =0 时，2a = -2a . 规律 解此类题时用分类讨论的思想方法来完成. .转化思想 例 4 计算：13+23+33+43+ +993+1003 的值.

14、分析：直接求解，当然不行，必须探索规律，将运算进 行转化. 解：.T3 = 1, 13+23= 9= 32 = 2, 13+23+33= 36= 62 = 2, 13+23+33+43= 100 = 2,， 由此可知 13+23+33+43+993+1003= 2 =50502 = 25502500. 点拨 利用转化思想可将“复杂问题”转化为“简单问题”， 把“陌生”问题转化为“熟悉”的知识解决.本题中把“立 方”运算转化为“平方”运算，把“求和”运算转化为“乘 方”的运算. .用“赋值法”解题 在做选择题和填空题时， 问题的结论如果运用法则、 定 义等推导，有些题容易，而有些题很复杂，对于那

15、些推导过 程比较复杂的题目可采取“赋值法”，这样就能又快又准地 得出结论. 例5-n的相反数是 A. -B . +nc. -nD .- 解析：可设=2, n = 1,则-n = 1.又-=-3 , +n= 3, -n =1 , - = -1 .故选 D. 答案：D 点拨 赋值时取值要符合题意，但又不能特殊，本题中， n不 能取0,得出结论后再用其他值试一试， 女口： = 3, n= -2等. 例 6 如果 a0, bv 0, |a| |b|，那么 a+b0, a-b0 . 解析：由前提条件设 a= 3, b= -1 ,则a+b= 2, a-b = 4. 答案： 例7若中的x, y都扩大到原来的

16、5倍，则的值 A.缩小，B.不变c.扩大到原来的5倍D.缩小到原来 的 解析：取 x=3 , y = 2, 5x = 15,= 10,= 5. 答案：B 点拨 “赋值法”只能在客观题上并且用其他方法不易解出时 使用，一般不提倡使用，但可以作为检验结论是否正确的方 法。 赋值时要符合题设的前提条件，所赋的值不能特殊，并 且要具有 代表性. 在有些问题中，赋值一定要考虑全面， 避免漏解、错解. 中考热点聚焦 考点1相反数、倒数、绝对值的概念 考点突破：此类题在中考中的考查为基础性题目，一般 为选择题或填空题.解决这类问题要掌握相反数、倒数、绝 对值概念的内涵和区别. 例1的相反数是 A. B. c

17、. D. 考点：倒数。 专题：计算题。 分析：根据倒数的意义，两个数的积为 1,则两个数互 为倒数，因此求一个数的倒数即用 1除以这个数. 解答：解：的倒数为，1 + =, 故选：A. 点评：此题考查的是倒数，关键是由倒数的意义，用 1 除以这个数即是. 的倒数是 A. B. c. -D.- 解析：根据倒数的概念，可知乘积为 1的两个数互为倒 数，所以的倒数是. 答案：B 例2-2的相反数是 A. 2B.- 2 c. D.- 考点：相反数。 专题：计算题。 分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数就是 相反数，进行判断. 解答：解：根据相反数的定义，- 2的相反数是2. 故选A. 点评：本

18、题考查了相反数的定义.应该从相反数的符号 特点及在数轴上的位置关系进行判断. 若|x -引+ |y + 2| = 0,贝U x + y的值为 考点：非负数的性质：绝对值。 专题：计算题。 分析：根据非负数的性质，可求出x. y的值，然后将x, y再代入计算. 解答：解： |X -引 + |y + 2| = 0, x 3= 0, y + 2= 0, x = 3, y = 2, 则 x + y 的值为：3 2= 1, 故答案为：1 . 点评：此题主要考查了绝对值的性质， 根据题意得出x, y的值是解决问题的关键. -XX的相反数是. 考点：相反数。 分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，改变符

19、 号即可. 解答：解：- XX的符号是负号， - XX的相反数是XX. 故答案为：XX. 点评：本题考查了相反数的定义， 是基础题，比较简单. 考点：绝对值。 分析：根据绝对值的定义；数轴上一个数所对应的点与 原点的距离叫做该数绝对值解答即可. 解答：解：I - 2|=2 , 故答案为2. 点评：本题考查了绝对值的定义，解答时要熟记绝对值 只能为非负数，属于基础题. 如果a与1互为相反数，则|a|等于 A. 2B. -2c . 1D. -1 解析：由a与1互为相反数可知，a= -1 ,所以|a| = |-1| =1 .答案：c 考点2有理数的运算 考点突破：有理数的运算是初中数学的重要基础，是

20、历 年中考的必考内容.对有理数运算的考查往往融合在实数运 算、整式运算之中，单独出现的题型不多，属中、低档难度.做 有理数的计算题时，要牢记运算法则和运算顺序. 例3的结果是 A. 4B. 1c. D. 考点：有理数的乘法. 专题：计算题. 分析：根据有理数乘法法则：异号得负，并把绝对值相 乘来计算. 解答：解：2 X =-=-1 . 故选B. 点评：考查了有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得正， 异号得负，并把绝对值相乘. 计算73+3之值为何 A、9B、27c、279D、407 考点：有理数的乘方。 专题：计算题。 分析：先根据有理数的乘方计算出各数，再根据有理数 加法的法则进行计算即可.

21、 解答：解：原式=343 - 64 =279. 故选c. 点评：本题考查的是有理数的乘方，熟知有理数乘方的 法则是解答此题的关键. 计算之值为何 A、- 1B、- c、- D、- 考点：有理数的混合运算。 专题：计算题。 分析：根据运算顺序，先算乘法运算，根据有理数的异 号相乘的法则可知，两数相乘，异号的负，并把绝对值相乘， 然后找出各分母的最小公倍数进行通分，然后根据分数的加 减运算法则即可算出原式的值. 解答：解：原式=+, 故选B. 点评：此题考查了有理数的混合运算， 是一道基础题.学 生做题时应注意运算顺序. 计算3+ 52 - 2之值为何 A. 2B. 5c. 3D. 6 考点：有理

22、数的乘方。 专题：计算题。 分析：根据有理数的乘方运算顺序，先算乘方，再算加 减. 解答：解：3 + 52 - 2=- 27 + 25-4=- 6,故选 D. 点评：有理数乘方的顺序以及法则，正数的任何次幕都 是正数；负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数； 0的 任何正整数次幕都是 0. 计算之值为何 A. 1.1B . - 1.8c . - 3.2D . - 3.9 考点：有理数的混合运算。 专题：计算题。 分析：遇到乘除加减混合运算， 应先算乘除再算加减.所 以这道题应先把1.6和2.5变成分数，然后把除法变成乘 法计算后，再算减法，算减法时根据减法法则减去一个数等 于加上这个数的相反数

23、把其变成加法，最后利用同号两数相 加的加法法则计算即可得出值. 解答：解：原式= X, =2.5 0.7 , =+ , =-3.2 . 故选c. 点评：此题考查有理数的混合运算，是一道基础题.做 题时注意运算顺序. -3的值等于 A、1B、- 5c、5D、- 1 考点：有理数的减法。 分析：根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这 个数的相反数. 解答：解：2 - 3= 2+=- = - 1.故选 D. 点评：此题主要考查了有理数的减法，比较简单，是一 个基础的题目. 计算2+3 = A. -2B . -1c . 0D. 2 解析：2+3 = 1 + = 0.答案：c 例4计算|-1|+2

24、=. 解析：卜1|+2 = 1+4 = 5.答案：5 考点3数轴 考点突破：在中考中，对数轴的考查常与有理数的比较 及运算结合在一起，是近几年中考题中的热点.解决数轴的 有关问题时要注意数形结合思想的运用. 例5如图，在数轴上点 A表示的数可能是 A.1.5B. - 1.5c. - 2.6D.2.6 【答案】c 数轴上点A、B的位置如图所示，若点 B关于点A的对 称点为c,则点c表示的数为 【答案】5 如图1-6-5所示，数轴上A、B两点分别对应有理数 a、 b,则下列结论正确的是 A. a+b OB. ab 0c. a-b OD. |a|-|b| 0 解析：由数轴知 a0, bvo,且|a|

25、 0, |a|-|b| 0.答案：c 考点4科学记数法 考点突破：科学记数法是中考中的高频考点，属中考必 考内容.把一个大于 10的数表示成科学记数法，要写成 a x I0n的形式，其中1 |a| 10, n为正整数. 例6根据XX年第六次全国人口普查主要数据公报，江 西省常住人口约为 4456万人.这个数据可以用科学记数法 表示为 A.4.456 x 107 人 B.4.456 x 106 人 c.4456 x 104 人 D.4.456 x 103 人 考点：科学记数法一表示较大的数。 分析： 科学记数法的表示形式为 ax 10n的形式， 其中1 |a| 1时，n是正数；当原数的绝对值v

26、1时， n是负数. 解答： 解： 将4456万用科学记数法表示为 4456万=4.456 X 107 .故选 A. 点评：此题主要考查了科学记数法的表示方法.科学记 数法的表示形式为 ax 10n的形式，其中1 1 已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对 值最小的有理数，则 a, b, c三数的和为 A. 1B. -lc . 0D.不存在 -1+2-3+4-5+6-99+100 的值等于 A. 5050B. -5050c . 50D. -50 数轴上到表示-2的点的距离为3的点表示的数为 A. 1B. -5c+5D . 1 或-5 当av 3时，|a-3|-的值为 A. 6-2aB

27、. 0c. 2a-6D. -2a 下列各组数中，互为相反数的是 A . 3 与 B . 2 与 4c.-25 与 2D. 7 与 |-7| 关于近似值0 . 01050的有效数字的个数和精确度，下 列说法正确的是 A .五个有效数字，精确到十万分位 B.四个有效数字，精确到十万分位 c.三个有效数字，精确到万分位 D.两个有效数字，精确到万分位 据中国经济周刊报道，上海世博会第四轮环保活动 投资总金额高达820亿元，其中820亿用科学记数法表示为 A. 0. 82X 1011B. 8. 2X 1010c. 8. 2X 109D. 82X 108 0.a和-a的积一定是 A.正数B.负数c.非正数D.非负数 二、 填空题 1. 某粮店出售的三种品牌的大米袋上，分别标示质量为 g, g, g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 g. 有理数-3 . 7, 2, 2, - , 0, 0. 02中，属于正数的有； 属于负数的有. 3.若a、b互为倒数，c、d互为相反数，则 4-33 =. 三、 解答题 已知x+3= 0, |y+5|+4 的值为4, z对应的点到-2对应 的点的距离是7,求x、y、z这三个数两两之积的和. 计算：X 24-