200411武汉科技大学高等代数小鱼的铺获取资源

1、科技大学研究生入学试题页数：3 页（总页数）2004 年课程名称：高等代数说明：1.可使用的工具：计算器（）2.答题内容写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上无效一、填空（共 5 小题 30 分）æ 128öç1矩阵ç 0÷25÷ 的相似标准形为 ç 03÷0èø2 + 2x - 2 在有理数域上一定（ 填： 可约、不可2多项式f (约）。3如果 b 可被向量组a1,a 2 ,L ,a r 线性表出，则：秩（a1,a 2 ,L ,a r ）秩（a1,a 2 ,L ,a r , b ）。æ

2、12ö A = ç÷ 是正定矩阵，则k 4。2kèø5已知四阶方阵 A 的特征值为 2，0，0，4。B 与 A 相似，则 B 的特征多项式 f B (l) =。二、单项选择题（共 5 小题 30 分）1设 A 为n 阶正交阵（ n ³ 2 ），则 A 的特征值不可能是 A） 1C） -1B） iD） 22 A 为m ´ n 阶矩阵，其秩= r < n ，则方程组 Ax = b A） 有无穷多个解C） 无解B）有唯一解D）不一定有解3 A 为n 阶实对称阵，则 A 正定的必要而非充分的条件是 A）A 的行列式大于 0n

3、阶可逆方阵C 使得 A = CT CB）C）D）A 与阵合同A 的特征值全大于 0。4已知n 阶方阵 A 与对角阵相似，则 A） 秩（ A ）= nB） A 有n 个不同的特征向量；C） A = ATD） A 有n 个不同的特征值。5 A 、 B 都为n 阶方阵， AB = 0 ，则 A） A = 0 或 B = 0B） R( A) = 0 或 R(B) = 0C） | A |= 0 或| B |= 0D） tr( A) = 0 或tr(B) = 0三、（10 分）bLbLa3La1 bbb a2 bLbb b bLan计算n 阶行列式d =LLbLLb四、（10 分）V = a + bt +

4、 ct 2| a, b, c Î R1，求由基f1 (t) = 1， f 2 (t) = t ， f3 (t) = 1 + t ，2到基g1 (t) = -t ， g 2 (t) = 1 + t ， g3 (t) = t2的过渡矩阵。3 ) = (+五、（f () ，求一个正交替换使得二次型 f 为标准形。并其正定性。æ A0 ö六、（15 分） AB 为可逆方阵，求 X = ç÷ 的逆矩阵。CBèø七、（40 分）2 - 2 为其零化多项式，1A 为n 维线性空间V 上的线性变换，且 f (求证： A 可逆；并用 A 的一

5、个多项式表示 A-1 。2. AB 为n 阶实方阵，若 A 正定，且 B¢AB = 0 ，求证： B = 03. A 为m ´ n 阶方阵， b 为一个n 维列向量。已知方程 Ax = b 有唯一解，求证 AT A 的主子式全部大于 0。1、1、2， V = x Î R3 | ( A - E)2 x = 0 ，4已知三阶方阵 A 的特征值为1V2 = x Î R | ( A - 2E)x = 03求证：对任意h Î R3 ，都a ÎV 与 b ÎV 使得12h = a + b 。科技大学2005 年研究生入学考试试题考试科目

6、及代码：高等代数 420共 3 页第1页说明：1.适用专业：应用数学 0701042.可使用的工具：计算器 （ ）3.答题内容写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上无效一、填空（6 小题，共 30 分）æö÷1.设 A = ç()-1，则 A= *。ç÷ç 0÷1è1y y2ø1x x21z z2= 。2.3.若 = (0)= (1+ k,1), = (1,1), = (1,1+ k )21+ k,kk可由1,1,123唯一线性表示，则k =。4.若对任意的列向量 x ，均有 Ax = 0 ，则矩阵

7、 A = 。5. 设 A 为n 阶方阵， Ax = 0 有非零解，则 A 必有一个特征值为。6多项式 x4 - 2x +1的有理根是。二、单项选择题（5 小题，共 30 分）¹ 0 ，A* 是 A 的伴随矩阵，则( A* )* = 。1. 设 A 为n 阶矩阵（ n ³ 2 ），且AA n-1 AA n+1 AA n-2 AA n+2 AA 为m ´ n 阶矩阵，且秩R( A) = r < n ，则方程组 Ax = b。2.有唯一解有无穷多个解不一定有解无解3.设 A为n 阶方阵， k 是非零，则 kA =。k nAkAk nAkA如果(x2 -1, g(x

8、) = 1 ，且(x2 -1)4.g(x)h(x) ，则。( x +1)( x -1)( x -1)( x + 1)g(x),h(x)g(x),h(x)( x +1) g(x) ， ( x -1)h(x)( x +1) g(x) ， ( x -1) h(x)设l0 是n 阶矩阵 A 的特征向量，且齐次线性方程组(l0 E - A) x = 0 的基础解系为1 与2 ，则 A 的属于l0 的全部特征向量是。5.1 和21 或2k11 + k22 （ k1, k2 为不1 + 2的）三、（15 分）a1111a2 0 L010a3 L 0L L L LL100Lan计算n 阶行列式 d =，其中a

9、1a2 L an ¹ 0 。L1四、（15 分）设* 是非齐线性方程组 Ax = b 的一个解， , , L , 是对应的齐次方程组12n-r的一个基础解系，证明： *, , , L ,12n-r线性无关。五、（15 分）¹ (-1)n ，证明下面的实二次型是正定的设 a a L a1 2n) = ( x)2 + ( x)2 +L + ( x)2 + ( x)2+ a x+ a x+ ax+ a x。f (n-1n-1 nn11 222 3nn 1六、（15 分）æ 1 ö设 = ç 2 ÷, = (22) ，证明矩阵 A = 满足：

10、 An-1= 2n-1 A 。ç ÷ç 1 ÷è ø七、（15 分）设 A 为线性空间V 的线性变换，证明： AV Í A-1(0) 当且仅当 A2 是零变换。八、（15 分）设 A(t) 是定义在区间 a £ t £ b 上的 n ´ n 矩阵函数， f (t) 是定义在区间a £ t £ b 上的n 维列向量函数， x, x ' 是n 维列向量， (t) 是n 维一阶齐线性微分方程组x ' = A(t) x（1）的基解矩阵。试寻求n 维一阶非齐线性微分方程

11、组x ' = A(t) x + f (t)（2）的形如j(t) = (t)c(t)（3）的定义在区间a £ t £ b 上且满足初始条件x(t0 ) = 0t0 Îa, b（4）的解，其中， c(t) 是待定的n 维列向量函数。科技大学2006 年研究生入学考试试题考试科目及代码： 高等代数 （420） 说明：1.适用招生专业：应用数学0701042.可使用的常用工具：计算器3.答题内容只能写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效。4.考试时间 3 小时，总分值 150 分。一、填空题（每小题 5 分，共 30 分）1已知 A ， B 均为n 阶矩阵，且

12、A2 - AB = E ，则秩( AB - BA + A) = 2设 A* 是三阶矩阵 A 的伴随矩阵，若| A |= 1 ，则| (2 A) -1 - 3A* |=33如果(x - 1)2 | ( Ax 4 + Bx2 + 1) ，则 A =， B = 4若实向量组a1 = (0,4,2 - t) ，a = (2,3 - t,1) ， a = (1 - t,2,3) 线性相关，则TTT21实数t = æ 712öæ 13ö设矩阵 A 与 B 相似，其中 A = ç÷ ， B = ç÷ ，则 x = ø5

13、yx24èøèy = æ11k00 öç÷0 ÷ 是正定矩阵，则k 满足条件 6设 A = ç1ç 0÷2kèø二、单项选择题（每小题 5 分，共 30 分）1设 A ， B 为n 阶方阵， A 非零且 AB = 0 ，则 A.B = 0B.| B |= 0 或| A |= 0C.BA = 0D. ( A - B)2 = A2 + B 22设 A 为n 阶方阵，且 A3 = 0 ，则(E - A)-1 = A.E - A + A2C.E + A - A2E + A

14、+ A2E - A - A2B.D.3已知 A2 = E ，则必有 A.A + E 可逆C.A ¹ E 时， A + E 可逆B.A - E 不可逆D.A ¹ E 时， A + E 不可逆4设 A 是三阶非零矩阵，满足 A2 = 0 ，则非齐次线性方程组 Ax = b 的线性无关的解向量个数最多为 A.1 个C.3 个B.2 个D.4 个5设 A 是三阶矩阵，且有特征值 1，-2，4。则下列矩阵中，矩阵是 A.E - AC.2E - AA + 2EA - 4EB.D.æ11111öæ 300öç÷ç

15、47;6 A = ç11÷ ， B = ç 000÷ ，则 A 与 B ç11÷ç 00÷0èøèøA.C.B.D.合同且相似合同但不相似不合同但相似既不合同也不相似三、（15 分）LLLL2122222L2223L2222L2008计算行列式： D =L2四、（15 分）æ- 1- 1 ö20- 1A = ç 1÷设 f ( A) = (E - A)(E + A) -1,2，求E + f ( f ( A)-1ç÷&

16、#231;- 1- 2÷èø五、（15 分）设 n 阶矩阵 A 的列向量组为a1,a 2 ,L ,a n ， B 的列向量为a1 + a 2 ， a 2 + a3 ，L ,a n-1 + a n ， a n + a1 ，试问，当秩( A) = n 时，齐次线性方程组 Bx = 0 是否有非零解？并证明你的结论。六、（15 分）2 + 3x ， (a > 0) ，已知 f 通过某正交变换可化f (x ,112 3f = y1 + 2 y2 + 5 y3 ，求参数a 及所用的正交变换矩阵。222为七、（15 分）在 P 2´2 （方阵所形成的线性空间）

17、中定义线性变换 A 如下： 对任意的12 ö2´2æ ab öæ10ö÷ Î P22 øA(x) = ç÷x cd= ç0÷0， 求A在 基E11，xxè 21èøèø= æ 01ö= æ 00ö E= æ 00ö 下的矩阵 A 。Eç÷ E00ç1÷0ç÷01122122èø&

18、#232;øèø八、（15 分）A 为n 维线性空间V 上的线性变换，求证： dim A(V ) + dim A -1 (0) = n科技大学研究生入学试题页数：4 页（总页数）2007 年课程名称：（420）高等代数说明：1.可使用的工具：计算器 （）2.答题内容写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上无效。3.适用专业:应用数学、概率论与数理统计。4.考试时间 3 小时，总分值 150 分。注意：以下试题中： A* 表示 A 的伴随矩阵， AT 表示 A 的转置，tr( A) 表示 A 的对角元素的和。一、填空（共 5 小题 30 分）æ 210ö

19、;ç1矩阵ç 1÷20÷ 的逆矩阵为 。ç 03÷0èø2已知(x - 1)2 | ax 4 + bx 2 + 1，则(a, b) =。æ a11a12 a22a13 öç÷a23 ÷ ，3 A = ç a21Aij （ i = 1,2,3 ； j = 1,2,3 ）是其代ç a÷aaè 3133 ø32æ 1a20b ö数式，已知 A-1 = ç 0÷çc ，

20、47;ç 03÷è则a11 A11 + a12 A12 + a13 A13ø=。4曲面 x 2 + 2axy + y 2 + z 2 = 1 为椭球，则a 应满足的条件是： 。5 A 为2 ´ 4 阶矩阵， B 为4 ´ 2 阶矩阵，已知 AB 的特征值为2 和 5。 则 BA 的四个特征值分别为 。二、单项选择题（共 5 小题 30 分）1设 A 为n 阶方阵（ n ³ 2 ），则| A |= 0 的充分必要条件是 A） B） C）D）A 中必有两行元素成比例； A 中必有一行元素全为 0； A 的行向量组线性相关 ；A

21、中任意一行元素是其余各行的线性组合。= 0ì32已知线性方程组ïax + bx + cx = 0，í123ïa x + b2 x + c 2 x = 02î123则aA）bac 满足 bc 互不相等；B） a = b = c ；c 中恰有两个相等；D） a 2 + b2 + c 2 ¹ 0C）ab3 AB 为n 阶实对称阵，则 A）+ B 2 的行列式大于 0 ；A2n 阶方阵C 使得 A2 + B 2 = C 2 ；B）C） AB 正定 ；D） A + B 的特征值全大于 0。4 T 为n 维线性空间V 上的可逆线性变换，则不正确的

22、是 A） T 的特征值均不为 0B） T 的值域空间为VC） T 在任何基下的矩阵可逆D） T -1 (0) 的维数为1。5 A 、 B 都为n 阶可逆方阵，则。A） ( A + B) 2 = A2 + 2 AB + B 2B） ( AB) -1= A-1 B -1C） | A + B |=| A | + | B |D） ( AB)T = BT AT三、（10 分）讨论下述向量组的线性相关性：a1 = (a1 - b1 , a1 - b2 ,L , a1 - bn ) ，a 2 = (a2 - b1 , a2 - b2 ,L , a2 - bn ) ,，a n = (an - b1 , an

23、- b2 ,L , an - bn ) 。四、（10 分）V = aet + bt + c | a, b, c Î R1，D 为微分算子： Df = f ¢ ， f Î V求V 的一组基与维数，并求 D 在此基下的矩阵。五、（15 分）已知下述二次型是半正定的，但不是正定的。) = (a x + a x + a x ) 2 + (x +)2f (31 12 23 321求a1 , a2 , a3 。æ 00ö0ç÷六、（15 分） B = ç 100÷ ， A = lE + B ，求 B3 ， Bn ，

24、An 。ç 00÷1èø七、（40 分）1 A 、B 为n 维线性空间V 上的线性变换，且 AB = BA 求证：<1> 如果l0 是 A 的一个特征值，那么Vl = a | A a = l0a0是 B 的不变子空间。<2> A 、 B 有公共特征向量。2AB 为n 阶实对称阵，且 A 正定，求证：方程组 BABx = 0 ，与方程组 ABx = 0 同解3 A 为n 阶实对称阵， l1 ¹ l2 都是 A 的特征值，a1a 2 为相应于l1l2 的特征向量，求证a1a 2 正交。æ ab ö4 A

25、= ç÷ 为实方阵，其中b > 0, c > 0 ，求证 A 可与对角cdè阵相似。ø二 O O 九年招收研究生入学考试试题考试科目及代码： 高等代数 820适用专业： 应用数学、概率论与数理统计AA*AR( A)AATA一、填空(30 分共 6 小题)设 A 是 3 阶矩阵，且 A = 3 ，则 2 A*2xx121x112 设 f (x) =， A 是a 的代数式。 A + A + A + A = 11x1ijij11121314111x3 A 是 3 阶对称矩阵，特征值为 1，2，3，当t时， tE - A 是半正定的。æ l

26、 2 + löç÷4l 矩 阵 A(l) = çl÷ 的标准形为 ç(l +1)2 ÷èøæ 210 öA = ç 021 ÷ ， 则l E - A 的初等因子是 ç÷ç 001 ÷èø设 A = ( A1, A2 ) ，其中 A1 是m 阶矩阵，若 A 可用初等行变换化为矩阵(E, D) ，则D = 二、选择题（20 分共 4 小题）1、设 f (4 + 7- 8 ，则 x = 2 是 （A） f (x)

27、 的单根；（B） f (x) 的二重根；（C） f (x) 的三重根；（D） f (x) 的四重根。2、若 A, B 为正定矩阵，则 （A） AB, A + B 都正定；（B） AB 正定， A + B 非正定；（C） AB 非正定， A + B 正定；（D） AB 不一定正定， A + B 正定。3、 A 为n 阶矩阵，且 A2 = A ，则 R( A) + R( A - E)（A） £ n ；（B） = n ；（C） ³ n ；（D）以上三种情况都有可能。 4、已知 A 是 3 阶矩阵， R( A) = 1，则l = 0 （A）必是 A 的二重特征根；（B）至多是 A

28、的二重特征根；（C）至少是 A 的二重特征根；（D）一重，二重，三重特征根都有可能。三、（15 分）a, b 取什么值时，线性方程组ì3 + x4 + x5 =ï+ x - x = aï345í+ x =ï45ïî3 + 3x4 - x5 = b有解？在有解的情形下，求解。四、（10 分）求向量组的极大线性无关组与秩a1 = (1, -1, 2, 4) ,a = (0, 3,1, 2) ,a = (3, 0, 7,14) ,a = (1, -1, 2, 0) ,a = (2,1, 5, 6) ,TTTTT2345五、（10

29、分）设线性空间V 4 中两组基（）a ,a ,a ,a ；（） b , b , b , b 满足12341234a1 + 2a2 = b3,a2 + 2a3 = b4 , b1 + 2b2 = a3, b2 + 2b3 = a4（1）（）到基（）的过渡矩阵C 。 （2）求向量a = 2b1 - b2 + b3 + b4 在基（）下的坐标。六、（15 分）求正交矩阵Q 使QT AQ 成对角形æ 22-2 öA = ç 25-4 ÷ç÷ç -2-45 ÷èø七、（10 分）在 R3 中，定义变换T

30、() = (2+ x , x )3231（1）验证T 是线性变换。（2）求T 在基e1 = (1, 0, 0), e2 = (1,1, 0), e3 = (1,1,1), 下的矩阵。八、（40 分，共 4 小题）1、设b1 = a2 + a3 +L + ar , b2 = a1 + a3 +L + ar ,L , br = a1 + a2 +L + ar-1 ，证明b1, b2 ,L , br 与a1,a2 ,L ,ar 有相同的秩。2、设由向量组a1,a2,L ,am 生成的空间为 L = a | a = l1a1 + l2a2 +L + lmam , li Î R ， 证明空间

31、L 的维数等于向量组a1,a2,L ,am 的秩。3、设 A, B 都是正定矩阵，证明tr( AB) £ (max li )trB ，其中li 是 A 的特征值，trB 表i示矩阵 B 的迹（即矩阵对角线元和）。4、设 P 是主对角线上全为 1 的上三角矩阵， B = PT AP ，证明 A 与 B 对应的顺序主子式有相同的值。二 O 一 0 年招收研究生入学考试试题考试科目及代码： 高等代数（） 适用专业： 答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。考试时间 3 小时，总分值150分。第 1 页 共 4 页注意：以下试题中： A* 表示 A 的伴随矩阵

32、， AT 表示 A 的转置，tr ( A) 表示 A 的对角元素的和， R( A) 表示 A 的秩。一、填空（共 5 小题 30 分）æ x1 öç÷1A 为m ´ n 阶实矩阵，已知 AT A = 0 ，则线性子空间S = x = ç x2 ÷ | Ax = 0 的ç M ÷ç÷è xn ø维数为：。2 f (x) = x 4 + 1，在复数域中将 f (x) 分解成不可约多项式的乘积， 则 f (x) =。3向量组a1 = (1,1,1) ，a 2 = (1,2

33、, a) ，a 3 = (1,4, a ) 线性无关的充分必要条件是2a。4. 已知 f (+ 2x )2 + (x + bx )2 为实正定二次型，1212则b。5. 写出一个 3 阶方阵，使得它不与对角阵相似。答：.第 2 页 共 4 页二、单项选择题（共 5 小题 30 分）1设 A 为 n 阶实可逆方阵（ n ³ 2 ），则 A） AT A 为正定阵；B） A2 为正定阵；C） AT A 为正交阵；D） A2 为正交阵。æ a11a12La1n öæ b1 öç÷ç÷2 A = ç a2

34、1a22La2n ÷ ， b = ç b2 ÷ ，已知线性方程组ç LLLL ÷çL÷ç÷ç÷è am1am2Lamn øèbm øì a11x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = b1ï a x + a x +L+ a x = bï 21 122 22n n2 有唯一解，则 íLïïîam1 x1 + am 2 x2 +L+ amn xn = bmA） m > n ；B） m < n ；C） m = n ；D） m ³ n 。3. A 为 3 阶实方阵，特征值为 0，1，