向量的数量积及其应用教案

1、平面向量的数量积及其应用讲师：王光明一、复习目标深刻理解平面向量数量积的定义及其几何意义。能应用向量数量积解决有关向量垂直问题，向量的长度、夹角的问题，能将其它章节某些问题转化为可用向量数量积解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力。二、基础知识知识点回顾1、两个向量的夹角是如何规定的？两个向量的夹角的取值范围是什么？如下图，已知两个非零向量和作=，=，则AOB=（0180）叫做向量与的夹角，记作，.2、平面向量数量积的定义是什么？其几何意义是什么？如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0. 注意数量积是一个实数，

2、不再是一个向量的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。在上的投影为=，它是一个实数，但不一定大于03、平面向量数量积有哪些性质？设是单位向量，=.（1）=|cos.（2）当与同向时，=|；当与反向时，=|，特别地，=|2，或|=.（3）=0.(、都是非零向量)注意：零向量的方向是任意的，因此可以和任意向量平行，但却不可以与任何向量垂直2 / 15（4）cos=.（5）|.4. 平面向量数量积运算律：（1）=；（2）（）=（）=（）；（3）（+）=+思考讨论5.向量数量积的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则（1）=x1x2+y1y2；（2）|=；（3）cos，=（4）=0x1

3、x2+y1y2=0.三、双基训练1.已知、均为单位向量，它们的夹角为60，那么|+3|等于A.B.C.D.4解析：|+3|=.答案：C2.已知=（，2），=（3，6），且与的夹角为钝角，则的取值范围是 解析：与的夹角为钝角，cos 0且cos-1，又cos =得3已知为非零的平面向量. 甲： （ ）甲是乙的充分条件但不是必要条件；甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的充要条件； 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件若=，则| =|（其中、分别为与，与的夹角）若|0，则 |=|cos.与不一定相等，|与|不一定相等.与也不一定相等.甲乙 若=则|=|且与，与夹角相等， 乙甲四、平面向量的数量积

4、的应用例1、已知=（cos，sin）,=（cos,sin）(0)，（1）求证： 互相垂直；（2）若的相等(kR且k0)，求（1）证法一：=（cos，sin）,=（cos,sin）（cos+cos，sin+ sin）, （cos-cos，sin- sin）=（cos+cos，sin+ sin）（cos-cos，sin- sin）=cos2-cos2+sin2- sin2=0证法二：=（cos，sin）=（cos,sin）1，1= =0证法三：=（cos，sin）, =（cos,sin）1，1,记a，b，则|=1,又，O、A、B三点不共线。由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边

5、形OACB是菱形，其中，由菱形对角线互相垂直，知（2）解：由已知得又(kcos+cos)2+(ksin+sin)2=k2+1+2kcos(),(cos-kcos)2+(sin-ksin)2=k2+1-2kcos(), 2kcos()= -2kcos()又k0cos()000, =评述：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证例2. 如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这

6、个最大值.解法一： 故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0。解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设，则且设点的坐标为，则， 故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0.例3 如图，已知三角形PAQ顶点P（3，0），点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上，（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹E的方程；（2）设直线与轨迹E交于B、C两点，点D（1，0），若BDC为钝角，求k的取值范围讲解 （1）由解 （1）由（2）依题意B、D、C三点不共线， ，则 y1y2=k(x1+1)k(x2+1)=k2x1x2+(x1+x2)+1将代入得 五、课堂练

7、习1.若 =（2，3）， =（4，7），则在方向上的投影为A.B.C.D.解析：在方向上的投影为=.答案：C2.已知| |=10，| |=12，且（3 ，）（， ）=36，则与的夹角是A.60B.120C.135D.150解析：由（3， ）（， ）=36得 =60.cos，=.又0，180，=120.答案：B3.若向量垂直于向量和， = +（、R，且0），则A. B. C. 不平行于，也不垂直于 D.以上三种情况均有可能解析：，=0，=0.=（+）=（）+（）=+=0.答案：B4.已知平面上三点A、B、C满足|=3，|=4，|=5，则+的值等于_.解析：|2+|2=|2，ABC为直角三角形，其中B=90.+=0+|cos（C）+|cos（A）=25.答案：25六、小结：1.本节课复习的主要内容是平面向量的数量积及其几何意义，以及用数量积处理向量垂直问题，向量的长度、夹角问题。2.平面向量在解几中的运用其目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。这一部分内容我们将在解几复习中进一步深入探究。七、课后作业1、同步训练412、已知F1（1，0），F2（1，0），A（，0），动点P