线性代数：第3章 线性方程组

1、第三章 线性方程组第一章中的克莱姆法则解决了部分线性方程组的求解问题。当系数矩阵行列式，或方程组的个数与未知量个数不相等时，克莱姆法则就无法给出解的存在性。另外即使可用克莱姆法则求解的线性方程组，其计算量也非常大，这一章主要解决一般线性方程组的求解问题。§1 解的有关概念对于一般线性方程组，记，则线性方程组可写成矩阵形式。记，称为线性方程组的增广矩阵。如果满足，则称为线性方程组的解；如果对任意X，均不成立，称线性方程组无解。有解的线性方程组也称为相容的线性方程组，无解的线性方程组称为不相容的线性方程组。定义1：设有线性方程组和，如果(I)的解全是(II)的解，且(II)的解也是(I)

2、的解，则称线性方程组(I)与(II)同解。如果线性方程组的解能用统一的形式来表示，称该解为线性方程组一般解（或通解）；相对应的具体的解称为特解。求解线性方程组就是把线性方程组经过同解变换化成容易求解的方程组。从而写出方程组的解。§2 线性方程组的解法定义2：下列变换称为方程组的初等变换：1) 交换两个方程位置；2) 某一方程的非零倍；3) 某一方程的倍加到另一方程上。性质1：方程组的初等变换是同解变换。按同解的定义验证每经过一次方程组的初等变换均不改变方程组的解即可。性质2：方程组的初等变换，对应于增广矩阵的初等行变换。事实上系数矩阵为简化阶梯形的线性方程组可直接写出方程组的解。由第

3、二章又知任一非零矩阵可以的经过一系列初等行变换化为简化阶梯形，从而由性质2可以利用增广矩阵的初等行变换来求解线性方程组。例1：解方程组 解：。所以方程组的解为。例2：解方程组 解： 。i)当时，方程组无解。ii)当时， 。所以方程组的解为 。 §3 解的理论由于初等变换不改变矩阵的秩，所以上述线性方程组的解法可以归结成下列定理。定理1：线性方程组有解的充分必要条件是秩()=秩()；有无穷解的充要条件是秩()=秩()；无解的充分必要条件是秩()<秩()。例3：讨论下列线性方程组解的情况 。解法一：因为由此可知：1）当时，秩()秩()3，方程组有唯一解。2）当时，。方程组有无穷多解

4、，解为（为任意数）。3）当时，2=秩()<秩()=3，所以方程组无解。解法二：因为方程组的系数矩阵为方阵，由克莱姆法则，当系数矩阵的行列式 时，即时，方程组有唯一解。当或时，同上代入方程组进行求解即可。对于线性方程组，当时，称为齐次线性方程组；当时，称为非齐次线性方程组。易知齐次线性方程组一定存在零解，所以齐次线性方程组经常关心的是它是否存在非零解。推论1：元齐次线性方程组仅有零解的充要条件是秩()=，有非零解的充要条件是秩()<。例4：满足什么条件，齐次线性方程组 只有零解。解：因为 ，当时，秩()<3 ，此时方程组有非零解。习题三1. 解下列线性方程组：1） ；2） ；3） 。2. 讨论，取什么值时，下列方程组有解，并求解。1） ；2） 。3. 证明方程组 有解的充分必要条件是。4. 判断下列方程组解的存在性：1） ； 2） 。5. 设有齐次线性方程组 ，。讨论方程组何时仅有零解？何时有无穷多解？提高题1. 证明：线性方程组 有解的充分必要条件是 的解全是 的解。2. 已知平面上三条不同直线的方程分别为：， ：， ：。证明：这三条直线交于一点的充分必要条件为 。已知方程组 （I） 与 （II） 。