线性代数：第六章 二次型

1、 第一节二次型的概念二次型的概念 第二节化二次型为标准型化二次型为标准型 第三节 惯性律、二次型的规范形惯性律、二次型的规范形 第四节 二次型的正定性二次型的正定性第六章 二次型6.1 n定义元二次型12,nnx xx含 个变量的二次齐次多项式21211 112 1 213 1 311222 223 2 32221( ,) 222 22 ,nnnnnnn nf x xxa xa xxa xxa xxa xa x xa x xa xx称为2,nxx的一个n元二次型ija系数为实数的二次型，简实二次型：称二次型第一节二次型的概念二次型的概念22212312313,2454 f x x xxxxx

2、x例：是二次型123121323, f x x xx xx xx x是二次型 ()ijjiaaij令 111212122221122112122122212(,) +nnnnnnnnnnnnf x xxxx xx xx xxxaaxx xxaaaaaxaax11nnijijija x x12111 11221221 122221 122( ,) () () ()nnnnnnn nnn nf x xxx a xa xa xx a xa xa xx a xa xax矩阵表示：11 1122121 12222121 122( ,)nnnnnnn nnna xa xa xa xa xa xx xxa

3、xa xax1112112122221212( ,)nnnnnnnnaaaxaaaxx xxaaaxTX AX12( ,)Tnf x xxX AX二次型的矩：阵表达式: fA二实对称型矩阵次的矩阵 : fA实对二次矩阵型称的二次型12( ,)nf x xx解解,a,a,a321332211 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例112312323120(,)(,) 223033Txf x xxx xxxX AXx12212,aa1211222111111211212221221212(,

4、) (,) nnTnijijniiniijniinninnnnnnnf xxxXAXa x xXCYd yd yd yCXCYcccxcccxccyf xxxxdc二次型通过非退化线性变换化成的称为。其中：是可逆矩阵；非退化线性变二次换型的标准形：定定义义6 6. .2 211111122211211nnnnnnnnnnyxc ycyyxcycyyxcycy 即第二节化二次型为标准型化二次型为标准型一、正交变换法一、正交变换法12 ( ,), Tnf x xxX AXXQY对任意n元二次型， 必存定在正交变换 1使得理6.2211()TTTnnX AXYQ AQ Yyy1212( , n, n

5、nAnQA 其中，为实对称矩阵 的 个特征值；的 个列向量是 的对应于特征值的 n个单位正交特征向量。）解解：1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A1722det()21442414AE 9182 222123121323 171414448 .fxxxx xx xx xXQY将二次型通过化正变换成标准形交例例从而得特征值从而得特征值:.18, 9321 90,AE X1将代入 得基础解系2 2求特征向量求特征向量23180,AE X将代入得基础解系2,2,1,0()TX 3.( 2,0,1)TX 3 3将特征向量正交化将特征向量

6、正交化11 ,X取1.(1 2, 1, 1)TX22,X2333222(,),(,)XX 得正交向量组得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 1 325245 2 315445 .2 30545Q所以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵Q于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx1222123212312331()() ()() (,)

7、9181 , 918188.TTTTTTfX AXQYA QYYQ AQ AQdiaQ YYYYYyy yyyyyyyg 且有化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次 1,321 xxxf曲面曲面. 323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 例例：求一正交变换，将二次型：求一正交变换，将二次型513 153 ,333A 二次型的矩阵为解解),9)(4()det( EA可求得可求得, 9, 4, 0321 的特征值为的特征值为于是于是A.111,011,211 321 ppp对应特征向量为对应特征向量为将其单位化得,626161 111 ppq

8、,02121222 ppq.313131 333 ppq故故正正交交变变换换为为,31062312161312161 321321 yyyxxx.94 2322yyf 化二次型为化二次型为123(,)1 .f x xx由于正交变换具有保形性，可知 表示 椭圆柱面 二、配方法二、配方法用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变问题问题有没有其它方法，也可以把二次型化有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法

9、12 ( ,)Tnnf x xxX AX定理6对任意 元二2次.型，可用配方法找到非退化线性变换XCY TX AX使得化为标准形。 (证明略)32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例31212122xxxxx 322322652xxxx 2321xxx 3223222xxxx 322322652xxxx 223()xx322322652xxxx 211232(2)xxxx 223()xx含有平方项含有平方项 322322232144xxxxxxx

10、 .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为111012 ,001det( )10, .CCCXCY由于是可逆矩阵是非退化线性变换。,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入2211221213232223321322222333233 224248282(44)6222()yy yyyyfyyy yy yyy yyy yyyy得.,6

11、22 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以112233110 110001yyyxxx即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 det( )20, .CCXCY 由于是可逆矩阵是非退化线性变换。12 ,

12、TfX AXT T二次型若被分别化为标准形：2211rrfyy221 1rrfzz1212111222,() : , : , T TTTTXYYPXXCYTXZP XXC Z设是两个非退化线性变换 即：也就是即：Z也就是( 0,0, ,1,2, . ( ) )iji jrrR Aij在和 （i,j=1,2, ,r）中，取正值的个数相同第三节 惯性律、二次型的规范形惯性律、二次型的规范形标准形中不为零的系数总是有r个22211221212341 , (,)2TnnnTXPYfX AXXPYffk yk yk ykpqrkkpqAf x xx xX AXy：设二次型 的秩为r， 无论用何种实的可逆

13、变换把 化成标准形：则n个系数中，取正数系数的个数 与取负数系数的个数 总是不变，且总有如： 设 rank(惯性定理（惯性律3 ）)=r=2222234222212341234 2, 1, 2, 1,420 (,)1053 TX QZyyyf x xx xpqrpqpqrpqX AXzzzzpq 正惯性指数 ，负惯性指数22221111ppppp qp qffd yd ydydy的任一标准形均如： ( ) 0 (1,2,)jpqR Ardjp q其中，:pq正系数的个数 负系数的个数222211 (11-)ppp qffzzzzpqnp qff再进一步做可逆变换， 可变成： 个正系数都是 ，排

14、列在前， 个负系数都是- ，个零系数排列在后称为 的。对 而言其规范，规范形形惟一。12 ( ,)Tnf x xxX AX设二次型，不定二次型：既非正定又非负定的二次型6.3定义正定二次型经非退化线性变换，正定性不变。12 ( ,)TnXx xx对 任意非零向量，总有1212( ,)0( ,)0nnf x xxff x xxfAA，则称 是。，则称 是。正定二次型的矩阵 称为；负定二次正定二次型负型的矩定二次型正阵 称为定矩阵负定矩阵。性质性质1第四节第四节 二次型的正定性二次型的正定性 TfX AXpn为正定的其正惯性指数21 , niifpnXQYfy 充分性。设 的正惯性指数 因为有非退

15、化变换化二次型 为规范形证:211 ( , ,0)TnXx xx0YQ X对任意有210 TniifX AXy且有 f为正定的。6.3定理f必要性。反证法.设 是正定二次型。222211. ppp qpn fXQYfyyyy假设经非退化变换化为规范形12(,) (0,0, 1, 0,0)TnTYy yy0取向量 第第p+1项项Y0XQY02222212 ( ,)100000nf x xx f与的正定性矛盾。证毕 1 AAn为正定矩阵的充要条件是： 的 个特征值推论全为正数22111, TTnnnfX AXXQYfX AXyyAnQ： 对存在正交变换使得其中， ，是 的 个特征值。证是正交矩阵。

16、22111 TnnnpnfX AXyyAn 正惯性指数标准形的系数 ，都是正数 即： 的 个特征值全为正数。 A为正定矩阵 , 2 TACAC C为正定矩阵的充要条件是： 存在可逆矩阵使得推论22212 , TTnAApnfX AXXPYfyyyY EY证：充分性。设 为n阶正定矩阵， 则 的正惯性指数有可逆变换使得其规范形: ()()() TTTTTTX AXPYA PPYYYYYEEP APAP则有：即：，11111()( )() () C, TTTAPE PPPPAC C 则令：则必要性。反推即得。det( )0AA 正定，则推论2TACAC C证：若 正定，由推论 知，存在可逆矩阵 ，

17、使得 2detdet()det(det)0TACCC 6 4 .kAk方阵 的阶顺序主子式定义111212122212 (1)kkkkkkkaaaaaaknaaa 0 (1,2, )TfX AXAkn k二次型为正定的充要条件是：得各阶顺序主子式证明略。k (-1)0 (1,2, )()-6.5TkTTfX AXknfX AXfXA XA 二次型为负定的充要条件是：证：是负定的是正定的的各阶顺序定理主子式06.4定理1112121222122430()-( 1)0,00,0,kkkkkkkkAaaaaaaaaaA 1的各阶顺序主子式0证毕。负接定22212312136. 264262fxxxx

18、 xx x 判断二次型 是正定还是例负定。解：123211160104202111016211160380104AA 所以， 是负定的。222123121323522tfxxtxx xx xx x： 取何值时，4例+是正定的。22123111212511 1 10, 1,1254 1 125tAtttttttt 解：222101 540(54)01140 05540405ttAtttttttttf 要正定，则所以，当时， 正定。TBAB B：设 是实可逆矩阵，证明：例是正定矩阵。()() ATTTTTTTAB BBBB BA：是证实对称的。0()n,()TTTTYBXfX AXX B BXBX

19、BXX对维向令任意量0BY 由于 可逆，则122221212() (),0TTnnnyyBXBXY Yy yfyyyyfAy是正定二次型， 是正定矩阵(第六章习题2（1）)用正交变换化二次型为标准形，并写出变换矩阵：22212313224xxxx x2 2123202 0102022022222010( 1)(1)(1)2220222(1)()(1) (4)11014AA 解：求特征值：det(A- E)=的特征值为： ， ， 1123110 (A-0E)X=02022021011A-0E=010010010 020200000011X001xxcx 对 ：解方程组通解：基础解系：就是 的特征

20、向量。212223 (A1E)X=0102102100A1E=000000001201003000001 X100 xxcx 对 1：解方程组通解：基础解系：就是 1的特征向量。112333 (A4E)X=0202202101A4E=030010010202000000110 X011xxcx 对 4：解方程组通解：基础解系：就是 4的特征向量。123111222333123 , 111(1,0,1),0,2221(0,1,0)0,1,01111( 1,0,1),0,22211022(,)01011022, ()TTTTTTTTTXXXXqXXqXXqXQq q qXQYfX AXYQ AQ

21、Y 将正交组单位化：得到正交矩阵：用正交变换: 使得二次型2223(0,1,4)4TY diagYyy(第六章习题5) 判断下列二次型是正定，负定，还是不定：22212312231 34544fxxxx xx x（ ）12332024202530328024320122122det242242086280025025025fAAf 解： 的矩阵所以， 是正定的。(第六章习题5) 判断下列二次型是正定，负定，还是不定：1213233 26fx xx xx x（ ）210111031300fAf 解： 的矩阵所以， 是不定的。()n 0, 1,2,ijn niiAaAain） 设为 阶实对称阵，试

22、证：(1例)若 是正定的，则（习题六第8题0, 0TXAX AX：因为 是正定总有的证对任意，2110,0,0,1,0,0,1,0 0 (1,2, )0, 1,2,TijnnTijijiiiiiijiiXxxX AXa x xa xainain 取即其余所以，121111211221222212()n,1,2, )()rijn nnijiijjijn nnnnnnnnnrrAaccbc a ci jnBbcaaaccaaacBcaaacBB例（习题六第12题证（方法1） 设为 阶正定矩阵，c , , 是非零实数， =,(，试证：也是正定矩阵。：的 阶顺序主子式1111211221222222212120, (1,2, )0, (1,2, ) rrnrrrrrrrrrrcaaaccaaacc cccaaacAArnBBrnB 因为 正定，所以 的顺序主子式的顺序主子式所以， 是正定矩阵。1111111122111211n(,)002,()(),00()(), nnnnTijijijijnnijiijjijTnnTnnijiijjijnnTijijijiijjniTjX BXx x