线性代数与解析几何习题讲解

1、线性代数与解析几何习题讲解习题习题1 部分习题部分习题1.(5)xyyyxyyyx计算下列行列式：333222=xyyxyxyxy解：原式332=23xyxyc1+c2c1+c32=xyyyxyyyx解法 ：222xyyyxyxyxyyx20000 xyyyxyxy2131rrrr2(2 )()xy xy2.(1)abxabaxcdycdcy证明下列等式：()()abxa dyc bxcdy解：根据二阶行列式的定义：adbcaycxabaxcdcy2.0(2) 10baabefcddc证明下列等式：00 1 010e cbfdaa ebcfd 解：根据3阶行列式的定义：左式=adbcabcd4

2、. (1) 17 52 6ij求相应的i,j值：成偶排列；：由于排列是7阶排列，i,j是 3,4解 或 4,312345673,4(17 523+46)ij当时，03 12 1 1 08 3417 52 63,4ij是偶排列，此时，4,3 17 52463ij 时，是奇排列，不符合要求。1 212 15. ,nn niiimi ii i如果排列的逆序数为求排列 的逆序数。1 21 22 , ,nqnpqnpiiimiiiii iipqC： 若 ()=排列中任何两个数按排列中的次序配对（其解中），共有种配对.122,pqnnCmiimiii在排列中有个配对是正序的，有 个配对是逆序的。1221(

3、),nqnpnCmi ii ii iqpm在排列中有个配对其中是逆序的，有 个配对是正序的。1221(1)2nnni ii in nCmm()=6. 计算各排列的逆序数并判断排列的奇偶性。（1）2653841712345678 + =6+0+2+3+1+0+1+0=13：(26538解417)= 26538417是奇排列。2(1)21n n（ ）(1) 2n n：(n(n-1)21)=解441nknk当或时，排列是偶排列；否则为奇排列。32 (22)42(21)(23)31nnnn（ ） 24222132321 2 (22)42(21)(23)31nnnnnnnn解：()=414nknk 当或

4、3时，排列是偶排列；否则为奇排列。(1)(2)1 0(21)(23)3 1nnnn 2(1)2(31)2n nnnn1235417ijaa a a 写出5阶行列式中含有因子的项。2525(251)1235411223541525 (-1) 3,4 4,3jjjja a aa aa a aj j解：含有因子的项：其中，是或(2 51 )(2 51 )122354151223534433443415 (-1)+(-1)a a a a aa a a a a所求项：34122354154312235415=a a a a aa a a a a27311408( )0152123xxf xxx 在多项式

5、中，求 的系数。2(42)(131 24 3)1123134422443(41)1132322344132 ( 1)( 1)( 1)xa aaaaaa aaaa a ：项解含有 的：222262= ( 1)5 1 ( 1)02( 1) ( 1)23xxxxx 290nDnnD 证明：如果 阶行列式 含有多于个元素 为零，则n0. D=0.D：行列式 不为零的元素少于n个, 行中至少 有某一行的元素全为则解1000000000ababbaba 用行列式的定义计算下列行列式：（3）(1234)(1324)1122334411233244(4231)(4321)1422334114233241( 1

6、)( 1) ( 1)( 1)a a a aa a a aa a a aa a a a 式解：原0412252264222( 1)( 1)( 1)( 1)()aa bb abab 12101000100010naaa 用行列式的定义计算下列行列式：（5）( 12(1)12132,1( 1)nnnn na a aa 式解：原11( 1)1 11( 1)nnnnaa 3333333333333333111234412334122341 利用行列式的性质计算下列行列式：（4）33333333333333333333333333331 +2 +3 +42341 +2 +3 +41231 +2 +3 +4

7、4121 +2 +3 +4341：原式解3333333333333333123411231 +2 +3 +414121341 （）33312340-7-19-37100056-26-5601937-633333 8 24 3 212340-7-19-3710000-178-3520220-174rrrr33312340-7-19-3720000-178-3520110-873332 7 41234005157220000-178-3520110-87rr33324123401108720000-178-3520051572rr3333+3 4123401108720000-2513640051

8、572rr 3334+2 3123401108720000-2513640013300rr 3333+25 41234011087200000838640013300rr333341234011087200001330000083864rr200 1-183864-16772800 （ ）11xxxaxxaxxaxxaxxx 利用行列式的性质计算下列行列式：（5）(1)(1)(1)(1)anxxxaanxxaxanxaxxanxxxx：原式解21311(1)000000000nrrrrrranxxxaaxaxxa1(1)000000000nccaxxanxaxaxxa(1)12( 1)(1)

9、)()n nnanx ax 11000000 xxxaaxaxax 利用行列式的性质计算下列行列式：（6）201,; 2,anxxanxax：当时，若原式若原式解n3=0若，原式1122a0(1)000000000nnnnxccaxccaxccaxxxxanaaaa当时，原式(1)2222( 1)(1)n nnaanx 22122lg42lg51cossin011221 证明下列等式：（1）222lg42lg51cossin2112( 21)( 21)：式证原232222lg42lg52lg51cossinsin12( 21)21cc232222lg511sin1121cc0112233123

10、112233123112233123122xyxyxyxxxyzyzyzyyyzxzxzxzzz 证明下列等式：（2）11223332112233112233ccxyxyxyyzyzyzxyxyxy证：原式1231+ 3112233112233222ccxxxyzyzyzxyxyxy1231122331122332xxxyzyzyzxyxyxy123311122331232rrxxxyzyzyzyyy123231231232rrxxxzzzyyy1231231232xxxzzzyyy123231231232rrxxxyyyzzz12231131221231anananan 证明下列等式：（3）

11、1+ 2131(1)(2)232(1)(2)132(1)(2)222(1)(2)2312nccccccnnannnaannnaannnaan原式证：1(1)(2)(1)2nnnaa123113(1)(2)() 12221231nannnaanan213111230100(1)(2)() 001020001nrrrrrrnannaaa1(1)(2)(1)2nnnaa0120001000100=0000001niin iabababababa bababab 证明下列等式：（4）=nD：设 原式证1 211100100100000()( 1)0000001001nnnabababababDabab

12、abababababab 按第 行展开：120000100100()0000001001nnabababababababababababababab12()nnnDab DabD11212()nnnnnnDaDbDabDb DaD223221()()nnnbDaDbDaD2()1nababba abab22()nnbbb1=+nnnDaDb12212= (+)+nnnnnna aDbba Dabb221332213=()+nnnnnnnnaaDbabba Da babb1222211=+nnnnnaDaba babb122221()+nnnnnaababa babb122221+nnnnnna

13、ababa babb0nin iia b13|,ijijjiDaaa 设有n阶行列式若其元素满足=-,则 称为反对称行列式。试证明：（1）反对称行列式主对角线上的元素全为0； ,1,2,ijjiaai jn ：反对称矩阵：解的元素满足 1,2,iiiiaain 则 11220 1,2,0iinnainaaa得 即主对角线元素全为 。13|,ijijjiDaaa 设有n阶行列式若其元素满足=-,则 称为反对称行列式。试证明：（2）奇数阶反对称行列式必为0。 ,1,2,ijjiaai jn ：反对称矩阵：解的元素满足1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa

14、则 =1213112232132331230000nnTnnnnaaaaaaD Daaaaaa=12131122321323312300( 1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa nD 是奇数0D147491102000-36-15-211-31 计算下列行列式：（1）22 2711=20 ( 1)315231 按第 行展开：原式解213 3 1711204061904rrrr21 24620 1 ( 1)194 按第 列展开1960111213142122232433344344140000aaaaaaaaaaaa 计算下列行列式：（2）333411121 2 1 243442122

15、=( 1)aaaaaaaa ：根据拉普拉斯展开定理，选定第1,2解列展开：原式3334111243442122=aaaaaaaa112221 1233443443=()()a aa aa aa a140000000000000000 xyxyxxxyy（ 计算下列行列式：3）1110000000000+( 1)0000000000nnnxyxyxyxyxyxyxy ：选定第1行展开：式解原1+( 1)nnnxy1400000000000000 xzyxzyxxzyx 计算下列）行列式：（41100000000000000000nnnnDxzyzyxxDxyxzxzyxyx：令 原式,按第1行展

16、开：解12nnxDzyD12 nnnDxDyzD得112 ()nnnnDaDb DaD令12()nnnDab DabD2244,22abxabyzxxyzxxyzab得：1110 ()nnnDaDbDaD则1() 1nxba 1()nnababb1, nnna bDbDa利用的对称性，同样可得11nnnnnnDaDbDbDa111111 ()nnnnnnnnnbDabDbaDabDaab Dab得1122 44,22nnnabDabxxyzxxyzab其中，1212121212171(1)(1)(1)11(2)(2)(2)21(1)(1)(1)1 1()()()1nnnnnnnnnnxxxxx

17、xxxxxxxxnxnxnxnxnxnxnxn 计算行列式：3232323232 1 1(1)(1)(1)1 1(2)(2)(2)2=(-1) 1(1)(1)(1)1 1()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxxxnxnxnxnxnxnxnxn：原式解432432432+(n-1)432432 1 11(1)(1)(1) 12(2)(2)(2)=(-1) 11(1)(1)(1) 1()()()nxxxxxxxxxxxxxnxnxnxnxnxnxnxn212121+(n-1)+12121 1 11(1)(1)(1) 12(2)(2)(2)=(-1) 11(1)(1)(1) 1()()()n

18、nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxnxnxnxnxnxnxnxn(1)2( 1)!(1)!(2)!2!1!n nn nn 1212,( ), ( ) (1,2, )nniia aab bbnf xf abin21 设是互不相同的实数，是任意实数。 用克拉默法则证明：存在唯一的次数小于 的多项式使得 210121( )nnnf xcc xc xcx：设次数小于 的多项式解21101 1211 1121201222122210121()()()nnnnnnnnnnnf acc ac acabf acc ac acabf acc ac acab要求满足0112101 1121112102

19、 122212210121,nnnnnnnnnnnc ccca ca cacbca ca cacbca ca cacb即要求是下面线性方程组的解：211112121122111211111nnnnnnnnnaaaaaaDaaaaaa方程组的系数行列式1()0ijj i naa 011210121,( )nnnc ccf xcc xc xcx由克拉默法则，方程组有唯一解，所以，满足条件的多项式存在且唯一。习题习题2 部分习题部分习题1.1 1(3)1 11111 1abcaccabbacb计算下列矩阵：222222=33abcacabbcabcabcacabbcabcabcabcabcabc式解

20、：原n1.cos-sin(5) sincos计算下列矩阵：2cos-sincos-sincos-sin=sincossincossincos：解2222cos-sin-2sin cos=2sin coscos-sincos2-sin2=sin2cos2kcos-sincosk-sinkn=k=sincossinkcosk假设时，coskcos-sinksin-cosk sin -sink cos=sink cos +cosksincoskcos-sinksincos(k+1)-sin(k+1)=sin(k+1)cos(k+1)k+1n=k+1cos-sincosk-sinkcos-sin=si

21、ncossinkcosksincos则时，ncos-sincosn-sinn=sincossinncosn所以，由归纳法知314.-22求与可交换的所有矩阵。111221221112111221222122,31312222xxxxxxxxxxxx：设所求矩阵则解为11211222111211121121122221222122333222222322xxxxxxxxxxxxxxxx11211112122211121121212212222122332322232222xxxxxxxxxxxxxxxx得方程组：122111122211212212212+0=02+202+=0 xxxxxxxx

22、xx12211112221121222+0=02+20 xxxxxxxx122111122212212+0=02+0 xxxxxxx11122122 () ()2xaxbxbxab 任意复数任意复数,2aba bbab所求矩阵：其中是任意复数12211112222+0= 0 xxxxx21122211122xxxxx 12121125., (; ,1,2, ),1,2,.(,),1,2,rinnijrnrniiiriia EOOOa EOAaaiji jrOOa EEnirnnAdiag A AAAnir设是 阶单位矩阵（）且证明与 可交换的矩阵只能是准对角矩阵其中是 阶矩阵（）1112121

23、22212,1,2,rrrrrrijijBBBBBBABBBBBnni jr：设与 可交换的矩阵为其中是矩证阵（）11221111121111212221222212221212rrnnrrnnrrrrrrrrrrrnrnABBAa EOOa EOOBBBBBBOa EOOa EOBBBBBBBBBBBBOOa EOOa E由于111112111112121221222221212222121122rrrrrrrrrrrrrrrrrra Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba B 0 (; ,1,2, )ijBiji jr得 (n)

24、 ( 1,2, )iiiiBAir令是 阶矩阵12rAOOOAOBOOA则6. nAkEAkE证明：与任何 阶矩阵都可以交换的矩阵 只能是数量矩阵，即 ., BnABBAA：设 为任意 阶方阵 由于 则 只能是n证阶矩阵。111212122212=.nnnnnnaaaaaaAaaa设000010000 BnBpq由于 是的 阶方任意阵，令=第 行列111211112121222212221212000000=010010000000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa11,1,1,11,0000000000000000000000000000000000000000 p

25、ppppqq qqqq qqnppnpaaapaaaaapaa第 行行 qq列 列12,1,10qqq qq qqnppqqaaaaaaa,1,2,0ijp qnkijaij由于可取当时得 当时000000kkAkEk所求矩阵2218.(),2ABEAABE若证明：的条件当且仅当222212411 242ABBEAABBEBE：证2 22BBEBE2 BE29.,AAOAO证明：若 是实对称矩阵且则111212122212=nnnnnnTaaaaaaAaaaAAA：设是对称证矩阵，1112111211212221222221212=nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAAAaaa

26、aaa222111212222122222212=nnnnnnaaaaaaaaaO222111212222122222212000nnnnnnaaaaaaaaa111212122212=0=0=0nnnnnnaaaaaaaaa因为所有元素都是实数，得AO11.证明：任一方阵都可以表示成一个对称矩阵 和一个反对称矩阵的和。12TTAAAAAA：设 是任一个方阵。证1122TTAAAATTTTTTTAAAAAAAA12TAA是对称矩阵。TTTTTTTAAAAAAAA 12TAA是反对称矩阵。+A 对称矩阵 反对称矩阵。1213. , . ijTnAaXx xxAXOAO设为n阶方阵，对任意的n维向

27、量 都有证明：12,0,0,1,0,0,(1)TnTXx xxXi：由于的任意性， 取只有第 个分量为证1112121222120=10nnnnnnaaaaaaAXaaa 1iiiniaaa000 120 1,2,iiniaaain（）AO122116. 00000000 0000000000000 (1,2, )nnniaaaaaain求矩阵的逆。其中1221000010000000001000000000000000000010000000001nnnaaAEaaa解：121121221000000001000010000000001000000000000000000010nnnnnrr

28、rrrrnnaaaaa 12100001/100001/00000100001/0000010000000000100001/000001nnaaaa 12100001/1/000001/000000000001/0nnaaaa是所求的逆。17. 11111210000111112100001110120000011000210000100012XX求矩阵 ,使得111111 1000001111010000011100100 00011000100000100001AXBAA E设上述矩阵方程为：先： 求逆矩阵解：12231nnrrrrrr 100001-10000100001-100001

29、0000100000100001-1000010000111-100001-100001000001-100001A11-10002100001-1001210000100012000001-1000210000100012XA B1-1-10011-1-10011-100011-100012123121318. 243223 0 55xxxxxxx 求方程组的唯一解。（2）12324322-3001055xxx：方程组可表示为 解2432-30105先求：132431002-30010105001rr 2 2 13 2 11050012-30010243100rrrr 231050010-3

30、10012047102rr 3 4 21050010117114047102rr 1361105001011711400613414r 1 5 32 17 310500101171140013/614/61 14/61rrrr 10015/6120/619/6101010/617/616/610013/614/61 14/61 2431520912-30107661105341411232432= 2-3001055xxx 方程组的解152092751110760506161341457612375/61, 50/61, 76/61xxx 21. ()klkklklIBAOIIkBkl求（）矩

31、阵的逆。其中 为 阶单位矩阵， 为矩阵。10,klAIIA ：解可逆。1112111222122,XXAXkXlXX设其中是 阶矩阵；是 阶矩阵。11122122=kkllIBIOXXOIOIXX11122122112112222122=kkllklIBIOXXOIOIXXXBXIXBXOXOXI11122122klXIXBXOXI 1klIBAOI得 12123. 0,(-)kkAE AEAAA如果证明。21()()kkEA EAAAEAE证：121()()kEAEAEAAA可逆，1*24. ,nAnAA设 为 阶方阵 证明 *nnA AA EA AA EAEA证：1*0nAAA当时，*=0

32、0 AA AEOAA当时， (现要证=0)反证法：假设0，*1*1*()(),0,AAOAOAOA存在，则有那么与假设矛盾。1*0nAA所以，习题习题3 部分习题部分习题1.(1)(2)abababab判断下列等式何时成立： 222 2abababa aa bb babababa aa bb b ：(1证)220a aa bb ba aa bb ba bab ，得 与 垂直 22222 +=+2+ b2abababa aa bb babaa ba aabb b ：(2)证 =cos,1, ,0,a baba ba ba baba b 得同向。 11122233311122233324.,11

33、011x y zxyzxy zxyzxyzxyzxyz证明：不在同一条直线上的三点所确定的平面方程为111212121313131 0 xxyyzzxxyyzzxxyyzz：三点所在的平面：证方程12111324211111122221212133331313110111010rrrrrrxyzxxyyzzxyzxyzxyzxxyyzzxyzxxyyzz1112 1212121313131=( 1)xxyyzzxxyyzzxxyyzz11122233311011xyzxyzxyzxyz所以平面方程： 习题习题4 部分习题部分习题12345123452345345451.2544373210(1

34、)13214162112512xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解线性方程组：12-541437-1-32100-1-13-21-14001-162-110002512解：2 3 112-5414011415120-1-13-21-14001-162-110002512rr 方法：将增广矩阵用方法：将增广矩阵用行初等变换行初等变换化为阶梯化为阶梯形矩阵。形矩阵。3212-541401 141512001-170-16001-162-110002512rr 4312-541401 141512001-170-160001250002512rr 5 2 412-541401 14151200

35、1-170-16000125000012rr 12-540201 141500001-170-16000101000012 12-500-201 140015001001000101000012 120003010001001001000101000012 100001010001001001000101000012 1234511112xxxxx得同解方程组： 12345,1,1,1,1,2x x x x x方程组的解=12341234124 = 3, 1,11,1,21, 3, 34,0,5, 设,=,=,= (1) 证明：,线性相关； (2) 证3.明：,线性无关。12341122334

36、4 (1) ,0 k k k kkkkk（用“线性相关的定义”方法）设有数：使得 证明成立。12343-1,111,21-3-34,0,50,0,0kkkk，123412312343403 02350kkkkkkkkkkk31141 1301235A 线性方程组的系数矩阵：12350 1210001 一系列行变换 1234123434, ,r Ak k k k （变量个数）方程组有非零解,线性相关。123112234(2) ,0 k k kkkk（用“线性相关的定义”方法）设有数：使得 成立。1233-1,111,24,0,50,0,0kkk，12312123340 0250kkkkkkkk3

37、14110125A 线性方程组的系数矩阵：125011001 一系列行变换 1231243, =0,=0,=0r Akkk 变量个数方程组只有唯一解,线性无关。12341234124 = 3, 1,11,1,21, 3, 34,0,5, 设,=,=,= (1) 证明：,线性相关； (2) 证3.明：,线性无关。1234 (1) 3114,1 1301235TTTT （用秩的方法）,证明1312351 1303114rr 213 3 11235036505 1011rrrr 3 2 2123503650 121rr 2-3 3123500080 121rr 1282312350 1210001r

38、rr 12341234,34, ,TTTTr ,线性相关。124124(2) 3, TTTr ,线性无关。123112123 ,+ 设线性无关。 证明：向量组,也线4性无关。123123123 ,(,)3r 不妨设是列向量。证明：（用秩的方法，）线性无关321123+cc ,21123cc ,112123+矩阵,112123123+()3rr,112123+向量组,线性无关。12123213121 ,=+ =+=+sssss 证明向量组与向量组， ，5等价。 121212 ,(1) ()ssss 不妨设是列向量。证明：（用秩的方法）1212,ss 矩阵11222112212,ssssccccc

39、csss 12121212,ssss 12(1)(1)(1)121212, , , ,sscscscsss 120, 0, , 0, ,s 121212 ,sssrr 1212,ss 向量组可由向量组线性表示。1212,ss 显然，向量组可由向量组线性表示。1212,ss 所以，向量组与向量组等价。123451212 = 1-1,2,4= 0,3,1,2= 3,0,7,14= 1, 1,2,0= 2,1,5,6, 设向量组， ，。(1)证明线性无关；(2)求向量组中包含的极大线性6.无关组。1234510312-1 30-1 1 ,2172542 1406TTTTT解4 2 3213 2 11

40、0312033030 110100044rrrrrr 123144103120 110 10 110 1000 11rr 32103120 110 100000000 11rr 3410312011010001100000rr 1212(1)( ,)2, ,r 线性无关。12345124124124(2)( ,)3,3( ,)3, ,rr 极大线性无关组有 个向量。线性无关。是向量组的极大线性无关组。 证明：若向量组 可由向量组 线性表示，则 向量组 的秩向量组8.的秩 若向量组 可由向量组 线性表示， 由于向量组 的极大线性无关组与向量组 等价； 向量组 的极大线性无关组与向量组证明等价；则

41、向量组 的极大线性无关组可由向量组 的极大线性无关组线性表示。4.1向量组的极大无关组的向量个数 向量组 的极大无关组的由推论知，向量个数 即 向量组的秩 向量组 的秩 ,()( )( )A Bm nr ABr Ar B设都是矩阵，证明：9.12121212 =,nnnnABA nBn 令其中，是 的 个列向量， 是：的证个列向量.11221122=,nnnnABABn 则 其中，是的 个列向量，12121212( ), ( ).,.nsntr Asr Bt 设不妨设的极大线性无关组为. 设的极大线性无关组为11221212,nnst 向量组可由向量组,线性表示。11221212,nnst 向

42、量组的秩 向量组,的秩1212,stst 而向量组的秩 向量组的向量个数1122(,)nnrst 所以， ()( )( )r ABr Ar B即 ()( )TAm nr Ar A设 是矩阵，证明：10.1212 =,nnAA n 令其中，是 的 个证：列向量。1212=,TTTTnTTTTnAAn则 其中，是的 个行向量。12121212,=,TTTTnnTTTTnnAAAA 的列向量组与的行向量组是相同的向量组，它们有相同的极大线性无关组，则有的列向量组的秩的行向量组的秩 ( )()Tr Ar A即123412341234123415.22+3209+1421 3 +2+5414+5+710

43、2(1)xxxxxxxxxxxxxxxx设线性方程组为：求方程组导出组的一个基础解系；(2)用特解和导出组的基础解系表示方程组的所有解。2-13209-1 1421325-41457-102A解：132 3 31-32610-71142325-41457-102rrrr 3+3 12+4 11-32611-32610-71 1420-71 1420-7-1 14-2000000-7-1 14-200000rrrr -11121 2 213261111022207114207114200000000000000000000rrrr 12423411 2227142xxxxxx 得同解方程组：11

44、22131242112227142xccxcxccxc 121234112221007142010 xxccxx112210(1)071401AX 方程组导出组的基础解系：，121234202 20112221007142010 xxccxx（ ）方程组的一个特解是其所有解：123123212320.(1)+12 (1)+(1)xxxxxxxxx对 不同的值，判断方程组是否有解，有解时求出全部解（ ）21111=1 1111 1A解：21311 11 111111rr 2213 (1) 1222111001 (1)1(1)rrrr 23222221110001 (1)1(1)rr 232111

45、0(1)00(3)21 11101110=00000000100010000A 当时，( )=1( )=2r Ar A，此时方程组无解；11-29=-30-33 120007A 当时，( )=2( )=3r Ar A，此时方程组无解；2123230-3( )( )=3,2(3)21(3)21(3)r Ar Axxx 当且时，方程组有唯一解。21. 00Am nnAXA设 为矩阵，证明：若任一个 维向量 都是的解，则12100010 ,0000010nnneeeAX ：设 个 维向量由题意知，它们都是解的解。12=0, =0, , =0 nAeAeAe则 1212,=,=0 nnA e eeAe

46、 AeAe 0 0AEA即得121 1221223. , 1ttttAXbkkkAXbkkk 设是非齐次线性方程组的解。证明：也是的一个解的充分必要条件是12 1tkkk充分性。设证：1212, , , ttAXbAbAbAb 由于是非齐次线性方程组的解，则有 1 122112212121 122 () tttttttA kkkk Ak Ak Ak bk bk bkkk bbkkkAXb那么所以，也是的一个解。1 1221 122 ()ttttkkkAXbA kkkb必要性。设也是的一个解。那么1122121212 1tttttk Ak Ak Abk bk bk bbkkk bbkkkb0,

47、习题习题5 部分习题部分习题3212222361A 1. 求矩阵的特征值和特征向量。（ ）321222361EA解：c3122102204rr2224 224123=24 特征值，12=2201211212242000363000EA XEA 对特征值，解方程组112213212121232 21 10,001=xccxcxcxxccc cx 得则 （不全为 ）是对应2的全部特征向量。3=-4-4072172111-1-42221-1-1032363121000EA XEA 对特征值，解方程组123123-2 31 -203=-4xcxcxcxxccx得则 （ 不为

48、）是对应的全部特征向量。1*3220106.232 ,101 ,2230012BCAC B CBBAE 设矩阵其中是 的伴随矩阵。求的特征值和特征向量。1*1111111111*()()()()()AC B CCB BCB C B CB BCCB C CBCCCBC BCCCBC C：解*234077325 ,()522225225BCBC ，1077010700( 1)522101254225001223A 9002274225AE 2900(2 )274(9) (3)225EAE1232=9=3AE的特征值：，12=99-(2 )00001129-(2 )= 224000224000EAE

49、XEAE 对，解方程组：12121212=910 (,0)01kkk k得的特征向量：不全为3=33-(2 )0-6001003-(2 )= 2-4401-122-2000EAEXEAE 对，解方程组：3110=31 (0)1kk 得的特征向量：不为7., ,A BABBA 试证对于可逆矩阵有。11 BAEBAA ABAAAB AABBA证： 8. 只对其自身相似的矩阵具有什么样的形式？1, AP APPA 设 只与自身相似，则对都有任意可：逆矩阵解 APPA则11121,1121222,121,11,21,11,12,1=nnnnnnnnnnnnn nnnaaaaaaaaAaaaaaaaa设

50、( , (1) 3PP i j取这是第 类初等矩阵111111111( , (1)jjijjjnijniiiijinjjijjjnnninjnnaaaaaaaaAaaaaaaaPaaaai ja111111111( , (1)+)ijniiiiiiijinjinjjijjjnnninjninaaaaaaaaAaaaaP i jaaaaaaaa 0, jiiijjijaaa当时，则有,00000 00i jAkkkAkEk由于的任意性，得 的主对角元素都相等（令都等于 ）不是猪对角元素都为 ，因此有1-20200.2000,79200031AaBba b 矩阵与相似，试求的值。,AB 因为有相同

51、的特解：征多项式。21201220227922 (1)4)EAaaaa 2000023003EBbb2222(1)423 (1)4(3)3aabaabb得13435,3ababab 得到 3.3012,0,An nAAA 设 是（）阶矩阵，如果但 试证 不可对角化。121.0000 00nAP AP 反证法。设 可对角化，则存在可逆矩证阵P,使得1210000 00nAPP123310000 00nAPP3331120000 000nPP3313120000 =0 =000nPP3331212=0=0=0=0=0=0nn则有， ，那么有， ，。12110000000000 =0000000nA

52、PPPPA则这与矛盾。2(,0).,15rTrAnAATT ATrErdiag E 试证明：设 是 阶实对称矩阵，且则存在 正交矩阵使得其中 为秩， 为 阶单位矩阵。.A 设 的特征值为 ，对应 的特征向量为证。A2A2 220, =0 =1=10A 则有 ，即0的特征值只能是 和或1t0.Ant设 有 个特征值为，个特征值为1-0(1,1,1,0,0)=00tTn ttn tET ATTATdiag 个个则对实对称矩阵A，存在正交矩阵T,使得0( )()00tTn ttrEr Ar T ATrt所以，0=00rnTrET AT则有习题习题6 部分习题部分习题12131424.(3)3x xx xx xx x 用配方法把二次型化成标准形。 112212334