几何与代数：3-1 空间直角坐标系

1、3.1 3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、二、 向量的概念向量的概念三、向量的线性运算三、向量的线性运算四、向量在轴上的投影四、向量在轴上的投影五、五、 线性运算的几何意义线性运算的几何意义六、向量的模与方向余弦六、向量的模与方向余弦返回一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系3.1 3.1 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合右手系符合右手系. .zyxox轴: 横轴；y轴：纵轴；z轴：竖轴oxyz符合右手系符合右手系 .oxyzoxyz不符合不符合 右手系右手系 .xyoz空间直角坐标系共有空间直角坐标系共

2、有八个卦限八个卦限yoz面zox面xoy面空间的点空间的点M 11有序数组有序数组(x, y, z)特殊点的表示特殊点的表示:(0,0,0)O原点原点xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点P, Q , R,坐标面上的点坐标面上的点A, B, C,),(zyxM. .,的坐标的坐标称为点称为点 Mzyx例例 在在OxyzOxyz坐标系中表示以下三个点：坐标系中表示以下三个点： M M1 1(1, 2, 3), (1, 2, 3), M M2 2(-1, 2, 3), (-1, 2, 3), M

3、M3 3(1, 2, -3).(1, 2, -3).M1xyzO123.xyzO2-1M2xyzO12-3M33.二、二、 向量的概念向量的概念 向量向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.以以A为起点，为起点，B为终点的有向线段为终点的有向线段.向量的模向量的模：向量的大小向量的大小. 或或|a单位向量单位向量：模为模为1 1的向量的向量.零向量零向量：模为模为 0 0 的向量的向量. （模又称为长度或范数）（模又称为长度或范数）.AB向量的表示向量的表示：或或aAB|AB|a0相等向量相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .ab负向量负向量：大小相等但方向相

4、反的向量大小相等但方向相反的向量. .a a a自由向量自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .aa向径向径： 空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . OPPxyzoP三、向量的线性运算三、向量的线性运算1. 1. 向量的分量：向量的分量：把向量把向量 作平行移动，使其起点作平行移动，使其起点与原点重合。与原点重合。 设其终点设其终点A的坐标为的坐标为(a1, a2, a3), 则则称称a1, a2, a3为向量为向量 的分量的分量或坐标，或坐标，记为记为 =(a1, a2, a3). aOAaaaxyzoAa1a2a32. 向量的

5、线性运算向量的线性运算定义定义 设设 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), + 称为称为加法，加法， k 称为称为数乘数乘. 加法与数乘统称为加法与数乘统称为线性运算线性运算. - = +（- ） = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3). + = (a1 +b1, a2 +b2, a3+ b3), k =(ka1, ka2, ka3 ). = a1 =b1, a2 =b2, a3=b3. 3. 3. 线性运算满足的运算规律线性运算满足的运算规律(1) + = + ;(2) ( +) + = +( +);(3) + 0 = ;(4) +(- ) = 0

6、;(5) 1 = ;(6) k(l ) = (kl) ;(7) k( +) = k +k ;(8) (k+l) = k +l .),(332211abababOAOBAB 4. 4. 基向量与线性表出基向量与线性表出)1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1( kji单位向量单位向量kji,称为称为基向量基向量.a=(a1, a2, a3)=( (a1, 0,0)+(0)+(0, a2, 0)+(0)+(0, 0, a3)kajaia321 称称a可由可由kji,线性表出线性表出。轴上的轴上的在在称为向量称为向量xaia1分向量分向量。xyzOijk四、向量在轴上的投

7、影四、向量在轴上的投影 1. 空间两向量的夹角的概念空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 b向向量量 a与与向向量量 b的的夹夹角角 b , aa , b 0() 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. ba 2. 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影. uoA ABB3. 向量在轴上的投影向量在轴上

8、的投影过空间点过空间点A,B作平面与轴作平面与轴 u垂直，垂直，与轴与轴 u相交于相交于A, B,向量向量 AB 在轴在轴 u上的投影定义为上的投影定义为uPrjAB|AB|, AB与与u同向同向- |AB|, AB与与u反向反向向量在轴上的投影有以下两个性质：向量在轴上的投影有以下两个性质：u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以(1)(1)向量向量AB在轴在轴轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：ABjuPr cos| AB uBB u 证证ABjuPr ABju Pr cos|AB B AA 由性质由性质1 1容易看出：容易看出：投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(

9、4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 投影为正；投影为正；uabc（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121aaaauuujjjAA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a利用勾股定理从图中可得利用勾股定理从图中可得232221|aaak oxyz1a2a3aA在三个坐标轴在三个坐标轴上的投影上的投影.向量向量OA的坐标的坐标a1, a2, a3分别是分别是OA232221aaa |OA|232221)

10、()()(kakaka |kOA|k |OA|设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在 直直 角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中 ， 使使 用用 勾勾 股股 定定理理 知知,222212NMPNPMd ,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M五、线性运算的几何意义五、线性运算的几何意义所以，所以，OA

11、PB是平行四边形是平行四边形.设设),(),(2121bbOBaaOA 则则,),(2211OPbabaOBOA 1111PrabbaBPjOx 2222PrabbaBPjOy 故故经平行移动后可与经平行移动后可与重合重合.BPOA故故BPOA /同理：同理：OBAP/xyOAPBa1+b2b2a2b1a1a1+b11. 1. 平行四边形法则平行四边形法则PAOAAO,OPOBOA OP是以是以OBOA,为边的平行四边形的对角线为边的平行四边形的对角线.平行四边形法则也可表示为三角形法则平行四边形法则也可表示为三角形法则 : .,OPAPOAAPOB BA BOOAOBOA BBBAO 2.

12、2. 伸缩变换伸缩变换ab (1) 0,ba与与同向；同向；(2) = 0,0 b(3) 0,b与与a反向反向.aaaabbbb ),(),(321321).0, 0(./332211 iibaabababba则则若若aa2a21 例例 . . 非零向量单位化非零向量单位化.设向量设向量, 0a,|1aaea 令令则则|1|aaea 1|1 aa.同方向的单位向量同方向的单位向量是与是与 aea例例 化简化简解解例例 证明：三角形的中位线平行于底边且证明：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半等于底边的一半. .证证 设设DE是中位线，是中位线， DE = DA + AE 21 = BC.

13、= BA + AC 2121 = (BA + AC) 21ABCED例例 试用向量方法证明：对角线互相试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形平分的四边形必是平行四边形. .证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与 平行且相等,BC结论得证.ABCDMab解：解： 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立.解设P点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为P在在x轴上，轴上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x

14、, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzz内部；内部；位于位于同向，同向，与与21210PPPPPPP, .,外部外部位于位于反向，反向，与与21210PPPPPPP 注1 ., 111212121zzzyyyxxx,221xxx ,221yyy .221zzz ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 六、向量的模与方向余弦六、向量的模与方向余弦非零向量非零向量 与三条

15、坐标轴的正向的夹角称为与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角. .a, kajaia 2322211cosaaaa 2322212cosaaaa 2322213cosaaaa cos， cos， cos称为向量称为向量a的方向余弦的方向余弦.由图示可知由图示可知 xyzo 2M 1Ma1 1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征 aeaa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为2322211cosaaaa 2322212cosaaaa 2322213cosaaaa 解,3 ,4 ,21cos ,21cos ,22cos .32 解所求向量有两个，一个与 同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或0a|aa .116117116kji 解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为 、 、 ,3 ,4 ,