递推最小二乘估计及模型阶次辨识

1、系统辨识基础第 19 讲要点 实验二 递推最小二乘估计 (RLS) 及模型阶次辨识 (F-Test ) 、实验目的 通过实验，掌握递推最小二乘参数辨识方法 通过实验，掌握 F-Test 模型阶次辨识方法 、实验内容1、仿真模型 实验所用的仿真模型如下： 框图表示模型表示z(k) 1.5z(k 1) 0.7z(k 2) u(k 1) 0.5u(k) v(k)其中 u(k)和 z(k)分别为模型的输入和输出变量； v(k)为零均值、方差为 1、服从正态分布的 白噪声； 为噪声的标准差(实验时，可取 0.0 、0.1 、0.5 、1.0 )；输入变量 u( k)采用 M序 列，其特征多项式取 F(s

2、) s4 s 1, 幅度取 1.0。2、辨识模型辨识模型的形式取A(z 1)z(k) B(z 1)u(k) e(k)为方便起见，取 na nb n ，即A(z) 1 a1z 1 a2z 2anz nB(z) b1z 1 b2z 2bn z n根 据仿 真模型 生成 的数据 u(k),k 1, ,L 和 z(k),k 1, ,L ，辨识模型 的参 数 a1,a2, ,an和b1,b2, , bn ；并确定模型阶次 n ，同时估计出模型误差 e(k) 的方差(应近似等 于模型噪声 v(k) 的方差，即为 2 )和模型的静态增益 K。3、辨识算法 采用递推遗忘因子法：(k) (k 1) K(k) z

3、(k) h (k) (k 1)K(k) P(k 1)h(k) h (k)P(k 1)h(k) 1P(k) 1 I K(k)h (k) P(k 1) 其中，遗忘因子 01 (具体值根据情况自已确定 ) ；数据长度 L可取 100、300、500；初始(0) P(0) a2 I 损失函数的递推计算：J(k) J(k 1) z(k) h (k) (k 1)2h (k) P(k 1)h(k) 噪声标准差的估计J(L)L dim 模型静态增益估计nbiK i 1n1 aii1t(n,n 1) J(n) J(n 1) L 2n 2F(2,L 2n 2)4、F-Test 定阶法 统计量 tJ(n 1) 2其

4、中， J( )为相应阶次下的损失函数值， L 为所用的数据长度， n为模型的估计阶次。 若t(n,n 1 t ,拒绝 H0:n n0,若t(n,N 1 t ,接受 H0 :n 1 n0，其中 t 为风险水 平 下的阀值。这时模型的阶次估计值可取 n 1 。注：F 分布值表(风险水平 0。05 )阀值 t 自由度 1自由度 221003.093003.035003.015、噪信比计算 噪信比定义2 e(k) 噪信比e2u(k)G(z-1) y(k) z(k)其中， e2 为噪声方差， y2 为过程输出方差 过程输出方差 y2 的计算y2 21j lG(z)G(z 1)dzz其中，积分围线 l 是

5、z 平面内沿逆时间方向的单位圆圆周。若定义G(z 1 )B(z 1 )A( z 1)式中nanz , a0 0 bnz n ,则有1 lG(z)G(z 1)dz2 j l zi21 n bii 2 ia0 i 0 1 B(z)B(z 1) dz2 j l A(z) A( z 1) zk aiiia0ik 1 k 1 a0 aibikk 1 k 1ak 1ak 1 iak 1a0ak 1bk 1 bk 1a k 10 i k 1 k 1 ia0k 1k n 1,n 2, ,1,0;nnain ai , bin bii 0,1, ,k6、计算性能指标参数估计平方相对偏差2n1 1 2 A(z ) a0 a1za2 ziii参数估计平方根偏差静态增益估计相对偏差KKbii1n2ii i1 i 1Kn bi K i 1n三、程序流程 （供参考）1aii11aii13B(z 1 ) b0 b1z 1 b2z 2四、实验步骤(1) 掌握最小二乘递推算法和 F-Test 模型阶次辨识的基本原理。(2) 设计实验方案。(3) 编制实验程序。(4) 调试程序，研究实验问题，记录数据。(5) 分析实验结果，完成实验报告。五、实验报告 实验报告包括实验方案设计、编程说明、源程序清单、数据记录、结果分析、