工程力学压杆稳定培训教材

1、工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆.工程实例液压缸顶杆液压缸顶杆木结构中的压杆木结构中的压杆脚手架中的压杆脚手架中的压杆桁架中桁架中的压杆的压杆(a)(b) 拉压杆的强度条件为拉压杆的强度条件为： = FNA第一节第一节 压杆的稳定概念压杆的稳定概念(a): (a): 木杆的横截面为矩形木杆的横截面为矩形1 12cm),2cm),高为高为3cm3cm，当荷载重量为，当荷载重量为6kN6kN时杆还不致破坏。时杆还不致破坏。 (b)(b)：木杆的横截面与：木杆的横截面与(a)(a)相同，高为相同，高为m m( (细长压杆，细长压杆，KNKN时杆被压弯，时杆被压弯，

2、 导致破坏。导致破坏。 (a)和和(b)竟相差竟相差60倍，为什么？倍，为什么？ 细长压杆的破坏形式：突然产生显著的细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不够，而是由于压杆不能保持原有直线平度不够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态所致。这种现象称为失稳。衡状态所致。这种现象称为失稳。 稳定问题稳定问题: :主要针对细长压杆主要针对细长压杆NFMPacmls6110102610235235266max,计算，按屈服强度若取课堂小实验:横截面为26mm1mm的钢尺,求其能承受的 Fmax=?NFcml01830max,当

3、产生明显变形时，轴向压力按两端铰接方式使其受若取NFcml05,010max则产生明显变形时，若取NFcml8012020.,max则产生明显变形时，若取Fmm26mm1l1983年年10月月4日，高日，高、长、长、KN大型脚大型脚手架局部失稳坍塌，手架局部失稳坍塌，5人死亡、人死亡、7人受伤人受伤。 20002000年年1010月月2525日上午日上午1010时许南京电视台演播厅工程封顶，由于脚手时许南京电视台演播厅工程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成架失稳，模板倒塌，造成6 6人死亡，人死亡，3535人受伤，其中一名死者是南京电人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者视台的摄象记者。

4、 稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡 （ 临界状态临界状态 ）失失 稳：稳：不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变化或破坏过程。化或破坏过程。稳定性：稳定性：平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。小球平衡的三种状态小球平衡的三种状态 稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡 （ 临界状态临界状态 ） 稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡 （ 临界状态临界状态 ）受压直杆平衡的三种形式受压直杆平衡的三种形式稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定

5、平衡不稳定平衡 （ 临界状态临界状态 ）crFF crFF crFF 稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡 （ 临界状态临界状态 ）crFF crFF crFF 稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡 （ 临界状态临界状态 ）crFF crFF crFF 电子式万能电子式万能试验机上的压杆试验机上的压杆稳定实验稳定实验第二节第二节 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临界载荷一、两端铰支细长压杆的临界载荷当到达临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡。当到达临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡。FcrFNyy考察微弯状态下

6、局部压杆的平衡考察微弯状态下局部压杆的平衡: :M (x) = Fcr y (x)M (x) = EId x2d2y0222ykdxydEIFkcr2令令二阶常系数线性奇次微分方程二阶常系数线性奇次微分方程FcrFNyy微分方程的解微分方程的解: : y =Asinkx + Bcoskx边界条件边界条件: : y ( 0 ) = 0 , y ( l ) = 00 A + 1 B = 0sinkl A +coskl B=0B = 0sinkl A =0 假设 A = 0，那么与压杆处于微弯状态的假设不符，因此可得：FcrFNyy0 A + 1 B = 0sinkl A +coskl B=0B =

7、 0sinkl A =0可可得得由由EIFkcr2222lEInFcrsinkl = 0nkl （n = 0、1、2、3）两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷的欧拉公式的欧拉公式最小临界载荷最小临界载荷: :2min2lEIFcr222lEInFcr屈曲位移函数屈曲位移函数 : : lxnAxysin)(临界载荷临界载荷: : 临界力临界力 F c r 是微弯下的最小压是微弯下的最小压力，故取力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小。且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。的轴弯曲。二、支承对二、支承对压杆临界载荷的影响压杆临界载荷的影响一端自由一端自由一端固定一端固定一端铰支一端铰支一端

8、固定一端固定两端固定两端固定两端铰支两端铰支临界载荷欧拉公式的一般形式临界载荷欧拉公式的一般形式: :一端自由，一端固定一端自由，一端固定 : : 一端铰支，一端固定一端铰支，一端固定 : : 两端固定两端固定 : : 两端铰支两端铰支 : : 22)( lEIFcr中的 Imin 如何确定 ？2min2)( lEIFcr定性定性确定确定 Imin例：例：图示细长圆截面连杆，长度，直径,材料为Q235钢，E200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr .解：解：1、细长压杆的临界载荷MPas2352、从强度分析mml800ssAF)(8 .73kN6210235402. 064422dlE22c

9、rFlEI648.002.0102002493)(2.24kNmmd20zycrFBAl一、临界应力与柔度一、临界应力与柔度临界应力的欧拉公式il压杆的柔度（长细比）压杆的柔度（长细比）cr压杆容易失稳压杆容易失稳AIi 惯性半径惯性半径,2zziAI.2yyiAIAFcrcrAlEI22)(222)(ilE22)(ilE22E第三节第三节 欧拉公式的使用范围欧拉公式的使用范围 临界应力总图临界应力总图柔度是影响压杆承载能力的综合指标。柔度是影响压杆承载能力的综合指标。细长压杆临界柔度细长压杆临界柔度二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围,ppcr.22pcrE例：例：Q235钢钢，.2

10、00,200MPaGPaEpppE2200102003210035.99 欧拉公式的适用围欧拉公式的适用围: : ，称大柔度杆（细长压杆称大柔度杆（细长压杆 ）p无效有效22EcropcrpilpE2ppE21 1、大柔度杆细长压杆采用欧拉公式计算。、大柔度杆细长压杆采用欧拉公式计算。)(pp22)( lEIFcr临界压力：临界压力：22Ecr临界压应力：临界压应力：ilcroP P22Ecr细长压杆。细长压杆。三、临界应力总图三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。临界应力与柔度之间的变化关系图。ilcroP P22Ecr细长压杆。细长压杆。 bacr s 直线型经验公式2 2：中

11、柔度杆中长压杆采用经验公式计算。：中柔度杆中长压杆采用经验公式计算。bacr直线型经验公式直线型经验公式bass)(sppsba, 是与材料性能有关的常数。材料a(MPa) b(MPa)硅钢5773.7410060铬钼钢9805.29550硬铝3722.14500铸铁331.91.453松木39.20.19959ps 直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。bassbacr直线型经验公式直线型经验公式ba, 是与材料性能有关的常数。 SilcroP P22Ecr细长压杆。细长压杆。 bacr s 直线型经验公式3 3：小柔度杆短粗压杆只需进行强度计算。：小柔度杆短粗压杆只需进行强度

12、计算。scr AFN)(ssilcro SP P22Ecr细长压杆。细长压杆。 bacr s 直线型经验公式中柔度杆粗短杆大柔度杆细长杆细长杆发生弹性屈曲发生弹性屈曲 (p)中长杆中长杆发生弹塑性屈曲发生弹塑性屈曲 (s p)粗短粗短杆杆不发生屈曲，而发生屈服不发生屈曲，而发生屈服 ( y木柱失稳将在垂直于屏幕平面内绕木柱失稳将在垂直于屏幕平面内绕 y y 轴失稳。轴失稳。 在垂直于屏幕平面xz内绕 y 轴失稳时FFFF(b) (a)yzb1210577.071zzzil11010810106922ppE z z p p 应采用欧拉公式计算应采用欧拉公式计算 MPaPaE734. 610734

13、. 6121101014. 3629222crkNNAF162101621020012010734.6366crcr木柱的临界力木柱的临界力为为选用计算公式选用计算公式FFFF(b) (a)yzb1010346.075.0yilyy1210577. 071zzzil 例截面为例截面为120200mm的矩形木柱，的矩形木柱，材料的弹性模量材料的弹性模量E=1104Mpa。其支承。其支承情况为：在情况为：在xoz平面失稳即绕平面失稳即绕y 轴失稳轴失稳时柱的两端可视为固定端图时柱的两端可视为固定端图a；在；在xoy平面失稳即绕平面失稳即绕 z 轴轴失稳时，柱的两端可视为铰支端图失稳时，柱的两端可视

14、为铰支端图b。试求该木柱的临界力。试求该木柱的临界力。 解：解：(1)(1)计算绕计算绕y y轴失稳时的柔度轴失稳时的柔度 y两端固定两端固定 0.0346;2 30.571010.0346yyyyyIbimAli FF(2)计算绕计算绕z轴失稳时的柔度轴失稳时的柔度 z=1两端铰支两端铰支 0.0577;2 31 71210.0577zzzzzIhimAli (3)计算临界力计算临界力 从上面计算可知：从上面计算可知：zy绕绕z失稳失稳 max466121,1010110810zppE FFmax466121,1010110810zppE maxp，可由欧拉公式计算临界力，可由欧拉公式计算临

15、界力 该柱将可能在该柱将可能在xoy平面失稳绕平面失稳绕z轴。轴。 kNEAAFlEIFZcrcrZZcr161)(2222或FF1 1、平安系数法、平安系数法: :一、稳定条件一、稳定条件.crstcrFnFFstn稳定安全系数；稳定安全系数；stF稳定许用压力。稳定许用压力。.crstcrncr稳定许用压应力。稳定许用压应力。2 2、折减系数法、折减系数法: : .)(crAF .)(cr许用应力；许用应力；1)(折减系数，与压杆的柔度和材料有关。折减系数，与压杆的柔度和材料有关。第四节第四节 压杆的稳定计算压杆的稳定计算注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别注意：强度的许用应力和稳定

16、的许用应力的区别. . 强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面不仅与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。形状有关。二、稳定计算二、稳定计算1)1)校核稳定性；校核稳定性；2)2)设计截面尺寸；设计截面尺寸；3)3)确定外荷载。确定外荷载。1 1、平安系数法、平安系数法: :.crstcrFnFF.crstcrn应用上式的稳定条件，能够解决压杆以下三方面的问题。应用上式的稳定条件，能够解决压杆以下三方面的问题。 验算压杆的稳定性验算压杆的稳定性 确定容许荷载确定容许荷载 选择压杆的截面尺寸和

17、形状选择压杆的截面尺寸和形状 由于上式中，由于上式中，A和和 都是未知的，所以需采用逐次渐近法进行计算。都是未知的，所以需采用逐次渐近法进行计算。 2 2、折减系数法、折减系数法: :先算出先算出 查表得查表得 PA F稳定条件：稳定条件： 1314crPA F先算出先算出 查表得查表得 P FA a aBC BC 杆绕杆绕y y失稳时，失稳时，B B 端端可视为铰支，长度系数为：可视为铰支，长度系数为：20.70.741402 10yyyyli 例例结构受力如图示，结构受力如图示，BC杆采用杆采用No18工字钢工字钢(Iz=1660cm4, iz=7.36cm,Iy=122cm4,iy=2c

18、m,A=30.6cm2)。材料的弹性模量。材料的弹性模量 E=2105 Mpa，比例极限，比例极限 ，稳定安全系数，稳定安全系数 nW=3。试确定容许荷载。试确定容许荷载G。 200pMpa 解一求解一求maxmax2max22 71097.36 10140zzzzyli 即可能首先绕即可能首先绕 y 轴失稳轴失稳 二确定二确定BC杆的临界荷载杆的临界荷载 max99,pyppE BC杆的临界力可用欧拉公式计算杆的临界力可用欧拉公式计算 KNlEIyPycr30647 . 0101221022811222 b bBC BC 杆绕杆绕z z失稳时，失稳时，B B 端可视为自由端，长度系数为：端可

19、视为自由端，长度系数为： KNlEIyPycr30647 . 0101221022811222 三确定结构的容许荷载三确定结构的容许荷载 BC杆能承受的容许荷载为：杆能承受的容许荷载为： 结构的容许荷载结构的容许荷载: 22 102204crGpKNcrP3061023crcryPPKNkWn803 . 0461iLz解：解：折减系数法折减系数法1、最大柔度x y 平 面 内 ， zz y 平 面 内 ， ymax1603 . 0462iLy例例： 图示起重机，图示起重机， AB 杆为圆松木，长杆为圆松木，长 L= 6m， =11MPa，直径为：，直径为： d = 0.3m，试试求此杆的许用压

20、力。（求此杆的许用压力。（xy 面两端视为铰支；面两端视为铰支；xz 面一端视为面一端视为固定，一端视为自由）固定，一端视为自由）23000,80:时木杆F1BF2xyxyzo cr )(91287. 143002kNAFcrABAB2、求折减系数3、求许用压力711 . 0,160时时查查表表：木木杆杆)(287.1MPacrmax1603 . 0462iLyF1BF2xy例：例： 一等直压杆长一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cmA=14.72 cm2 2，I=79.95 cmI=79.95 cm4 4，E E =210 GPa =210 GPa，F F =60 kN=60 k

21、N，材料为，材料为A A3 3钢，两端为铰支座。试进钢，两端为铰支座。试进行稳定校核。行稳定校核。1) nw= 2； 2)=140 MPa。解：解：1) 平安系数法：平安系数法：)(3 .1431073.149 .14510210)(2322222kNAELEIFcril73.1494.791004 . 311009 .145pwcrnFF)(7 .7121 .143kNkNF60crFBAl2) 折减系数法折减系数法9 .14573.1494.791004 . 31il查表查表: =140，；，；=150，。，。33. 09 . 510306. 0349. 0349. 09 .145 )(2

22、 .4614033. 0)(7 .401073.14106023MPaMPaAFcrFBAl 解：一由平衡条件解出两杆解：一由平衡条件解出两杆内力与荷载内力与荷载 P P 的关系。的关系。 例例ABAB、AC AC 杆材料相同为低碳钢，直径为杆材料相同为低碳钢，直径为 d d=6cm, =6cm, lABAB=3m,=3m,lACAC=2m=2m， . .考虑图示平面内稳定时，结构的考虑图示平面内稳定时，结构的容许荷载容许荷载FF。 160Mpa 1 3002006 4ABABli 查查 表得：表得： 0.18 二用折减系数法求容许荷载二用折减系数法求容许荷载P cos60(1)cos30(2

23、)ABACNPNP FABFACFFa由由AB杆确定容许荷载杆确定容许荷载P1。 1F060030FABCAB杆的容许荷载为：杆的容许荷载为： 代入代入(1)后得：后得： 260.180.06160 10481.4ABNAKN ABF1162.8cos60ABNPKN 1FABF060030FABCcos60(1)cos30(2)ABACNPNP FABFACFF查查 表得：表得： 0.18 060030FABCb由由AC杆确定容许荷载杆确定容许荷载F2。 1 2001336 4ACACli cos60(1)cos30(2)ABACNPNP FABFACFF采用插入法确定采用插入法确定 ：（见

24、图：（见图） 70.3490.4010.349100.385 1162.8cos60ABNPKN 1FABFAC杆的容许荷载为：杆的容许荷载为： kNAFAC1741016006. 04385. 062c比较比较F1 和和F2确定确定F=162KN取小者取小者 代入代入(2)后得：后得： 2201cos30ACNPKN ACF2Fcos60(1)cos30(2)ABACNPNP FABFACFF1162.8cos60ABNPKN 1FABFkNAFAC1741016006.04385.062 提高压杆稳定性的措施，可从决定压杆临界力的各种因素去考虑。 第五节第五节 提高压杆的稳定的措施提高压杆

25、的稳定的措施一、材料方面材料方面22/Ecr对于对于的细长压杆，临界应力的细长压杆，临界应力 由于各种钢材的E大致相等，所以选用优质钢材与普通钢材并无很大差异。 采用高强度优质钢在一定程度上可以提高中长压杆的稳定性。 对于短粗杆，本身就是强度问题，采用高强度材料那么可相应提高强度，其优越性自然是明显的。 二、柔度方面柔度方面il压杆的柔度（长细比）压杆的柔度（长细比） 柔度越小，稳定性就越好，为了减小柔度，在可能的情况下可采取如下一些措施： 1、改善支承情况改善支承情况 压杆两端固定得越牢固，临界应力就大。所以采用 值小的支承情况，可以提高压杆的稳定性。 两端铰支(图a)的细长压杆，假设在杆件中点增加一支承(图b) ，那么计算长度为原来的一半，柔度相应减小一半，而其临界应力那么