3基础三角必备

1、三角和三角函数基础三角和三角函数基础一、定理和公式abc= 2R sin Asin Bsin C证明：如图，DABC 和DA1BC 为共圆D ，由同弧上的圆周角相等得：ÐA = ÐBAC = ÐBA1CBCa于是， sin A = sinÐBAC = sinÐBA1C =AB2 RA1a即：= 2R sin AACbc同理可得:= 2R ，= 2R ，sin Bsin Cabc故：= 2R Bsin Asin Bsin C= b2 + c2 - 2bc cos Aa2证明：如图， DABC 中， CD 是 AB 边上的高，C由勾股定理可得：CD

2、2 = AC 2 - AD2 = BC 2 - BD2 = BC 2 - ( AB - AD)2即： b2 - b2 cos2 A = a2 - (c - b cos A)2ABD即： b2 - b2 cos2 A = a2 - (c2 + b2 cos2 A - 2bc cos A)即： b2 = a2 - c2 + 2bc cos A ，即： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A三角形三边a, b, c 三角 A, B, C ，内切圆半径r ，外接圆半径 R ，半周长 p = a + b + c .2公式)： S =p ( p - a )( p - b)( p - c ) 三角

3、形面积公式(证明：由三角形的面积定义， S = 1 底´高，即： S =1 bc sin A22第1页3、三角形的面积：2、余弦定理：1、正弦定理：三角和三角函数基础æ bc sin A ö2b2c2b2c2(1 - cos2 A)S 2= ç=sin2 A =÷244èøéæ b2 + c2 - a2 ö2 ù1b2c2ú =é4b2c2 - (b2 + c2 - a2 )ù2=ê1 - ç÷16 êë&

4、#250;û42bcêëúûèø=( 2bc + b2 + c2 - a2 )(2bc - b2 - c2 + a2 ) =11é(b + c )2 - a2 ù éa2 - (b - c )2 ù16 ëû ëû1611=(a + b + c )(b + c - a ) (a + b - c )(a - b + c ) =( 2 p) ( 2 p - 2a ) ( 2 p - 2c ) ( 2 p - 2b)16= p ( p - a )( p

5、 - b)( p - c )16p ( p - a )( p - b)( p - c )所以： S =三角形面积公式： S = prsin(a ± b ) = sina cos b ± cosa sin bcos(a ± b ) = cosa cos bsina sin btg(a ± b ) = tga ± tgb 1tga × tgb当a = b = q 时，二角和公式化为：sin 2q = 2 sinq cosqcos 2q = cos2 q - sin2 qtg2q = 2tgq1 - tg 2q由二倍角公式得： cosq =

6、 cos2 q - sin2 q= 1 - 2 sin2 q = 2 cos2 q - 12222则： sin q = ± 1 - cosq， cos q = ± 1 + cosq， tg q = ± 1 - cosq1 + cosq22222第2页6、半角公式：5、二倍角公式：4、二角和差角公式：三角和三角函数基础由二角和差公式相加相减得：比如： sin(a + b ) = sina cos b + cosa sin b ， sin(a - b ) = sina cos b - cosa sin b上面两式相加得： sin(a + b ) + sin(a - b

7、 ) = 2 sina cos b1 sin(a + b ) + sin(a - b )则： sina cos b =21 sin( A + B) + sin( A - B) 得：设： A = b ， B = a ，代入sin Acos B =21 sin(a + b ) - sin(a - b )cosa sin b =2再如， cos(a + b ) = cosa cos b - sina sin b ， cos(a - b ) = cosa cos b + sina sin b上面两式相加得： cos(a + b ) + cos(a - b ) = 2 cosa cos b1 cos(a

8、 + b ) + cos(a - b )则： cosa cos b =2上面两式相减得： cos(a + b ) - cos(a - b ) = -2 sina sin b则： sina sin b = - 1 éëcos(a + b ) - cos(a - b )ùû2将：a = a + b+ a - b ， b = a + b- a - b ，代入sina + sin b 并利用二角和公式2222得： sina + sin b = 2 sin a + b cos a - b22代入sina - sin b 并利用二角和公式得： sina - sin

9、b = 2 cos a + b sin a - b22代入cosa + cos b 并利用二角和公式第3页8、和差化积公式：7、积化和差公式：三角和三角函数基础得： cosa + cos b = 2 cos a + b cos a - b22代入cosa - cos b 并利用二角和公式得： cosa - cos b = -2 sin a + b sin a - b22二、推导公式对三角形，有： A + B + C = psin A + sin B + sin C = 4 cos A cos B cos C1、222证明： sin A + sin B + sin C = 2 sin A cos

10、 A + 2 sin B cos B + 2 sin C cos C222222= 2 sin A cos A + 2 sin B cos B + 2 sin C sin A + B222222éAAB öùC æBBABA= 2 êsin 2 cos 2 + sin 2 cos 2 + sin 2 ç sin 2 cos 2 + cos 2 sin 2 ÷úèøûëéAAABCBBABC ù= 2 êësin 2 cos 2 + co

11、s 2 sin 2 sin 2 + sin 2 cos 2 + sin 2 cos 2 sin 2 úûéC öùA æABC öB æBA= 2 êcos 2 ç sin 2 + sin 2 sin 2 ÷ + cos 2 ç sin 2 + sin 2 sin 2 ÷úèøèøûëéB + CA + CC öùA æBC öB æA=

12、 2 êcos 2 ç cos+ sinsin÷ + cosç cos222+ sinsin÷ú22è2øè2øûëéA æC öB æC öùBAABC= 2 êcos 2 ç cos 2 cos 2 ÷ + cos 2 ç cos 2 cos 2 ÷ú = 4 cos 2 cos 2 cos 2èøèøû

13、ë故： sin A + sin B + sin C = 4 cos A cos B cos C222cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin A sin B sin C222证明： cos A + cos B = 2 cos A + B cos A - B ，cos A - B - cos A + B = 2 sin A sin B222222第4页2、余弦之和：正弦之和：三角和三角函数基础æ A + B ö()()cos C = cos ép - A + B ù = - cos A + B = 1 - 2 cos2&

14、#231;÷ëû2èøA + BA - Bæ A + B ö于是： cos A + cos B + cos C = 2 cos+ 1 - 2 cos2cosç÷22è2ø= 2 cosæ A + B öæ cos A - B - cos A + B ö + 1ç÷ç÷è2øè22ø= 2 cosæ p - C öæ 2 sin A sin

15、 B ö + 1 = 4 sin A sin B sin C + 1ç÷ç2 ÷è2øè2ø222故： cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin A sin B sin C222tan A + tan B + tan C = tan Atan B tan C证明： tan A + tan B = tan( A + B)(1 - tan A tan B) = tan(p - C )(1 - tan A tan B)= - tan C (1 - tan Atan B) = - tan

16、 C + tan A tan B tan C故： tan A + tan B + tan C = tan Atan B tan Ccos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 - 2 cos Acos B cos C证明： cos2 A + cos2 B + cos2 C = cos Acosp - (B + C ) + cos 2B + 1 + cos 2C + 122= - cos Acos(B + C ) + cos 2B + cos 2C + 22= - cos Acos(B + C ) + cos(B + C )cos(B - C ) + 1= cos(B + C )co

17、s(B - C ) - cos A + 1= cos(p - A)cos(B - C ) + cos(B + C ) + 1= -cos Acos B cos C + sin B sin C + cos B cos C - sin B sin C + 1= -2 cos Acos B cos C + 1故： cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 - 2 cos Acos B cos Csin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 cos Acos B cos C + 2第5页5、正弦平方之和：4、余弦平方之和：3、正切之和：三角和三角函数基础证明：由cos2 A

18、 + cos2 B + cos2 C = 1 - 2 cos Acos B cos C及sin2 A + sin2 B + sin2 C = 3 - cos2 A - cos2 B - cos2 C得： sin2 A + sin2 B + sin2 C = 3 - (1 - 2 cos Acos B cos C )= 2 + 2 cos Acos B cos C故： sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 cos Acos B cos C + 2sin2 A + sin2 B + sin2 C = 1 - 2 sin A sin B sin C222222证明：由cos A

19、+ cos B + cos C = 1 - 2 sin2 A + 1 - 2 sin2 B + 1 - 2 sin2 C222æAB2 C ö= 3 - 2 ç sin 2 + sin 2 + sin222 ÷èø及： cos A + cos B + cos C =4 sin A sin B sin C + 1222得： 3 - 2 ç sin A + sin2 B + sin2 C ö =4 sin A sin B sin C + 1æ22 ÷è22ø222故： sin2

20、A + sin2 B + sin2 C = 1 - 2 sin A sin B sin C222222或者：若a +b +g = p ，则： sin2 a + sin2 b + sin2 g= 1 - 2 sina sin b sin g2sin 2 A + sin 2B + sin 2C = 4 sin Asin B sin C证明： sin 2 A + sin 2B + sin 2C = 2 sin( A + B)cos( A - B) + 2 sin C cos C= 2 sin C cos( A - B) + 2 sin C éë- cos( A + B)ù

21、;û= 2 sin C éëcos ( A - B) - cos( A + B )ùû= 2 sin C ( 2 sin Asin B)= 4 sin Asin B sin C故： sin 2 A + sin 2B + sin 2C = 4 sin Asin B sin Ccos 2 A + cos 2B + cos 2C = -1 - 4 cos Acos B cos C第6页8、倍角余弦之和：7、倍角正弦之和：6、半角正弦平方之和：三角和三角函数基础证明： cos 2 A + cos 2B + cos 2C = 2(cos2 A + cos

22、2 B + cos2 C) - 3= 2(1 - 2 cos Acos B cos C ) - 3= -1 - 4 cos Acos B cos C故： cos 2 A + cos 2B + cos 2C = -1 - 4 cos Acos B cos C三角和三角函数练习题1、设DABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为a, b, c .若b + c = 2a ，则3 sin A = 5 sin B ，则角C =(A) p(B) 2p(C) 3p(D) 5p3346：由正弦定理得： a = sin A = 5 ，即： 3a = 5bbsin B3由b + c = 2a 得： c =

23、2a - b由余弦定理得：a2 + b2 - c2a2 + b2 - (2a - b)2cos C =2ab2ab= -3a2 + 4ab = -3a + 4b = -5b + 4b = - 12ab2b2b22p .故： C =本题B32、在DABC 中， a = 3 ， b = 26 ， ÐB = 2ÐA .(I)求cos A 的值，(II)求c 的值.：(I)由正弦定理得： a = sin A =sin Asin A1=bsin Bsin 2 A2 sin Acos A2 cos A1= a =363代入a = 3 ， b = 2 6 得：，故： cos A =2 c

24、os Ab2 6第7页三角和三角函数基础(II)由余弦定理得： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A6即： 9 = 24 + c2 - 4 6c ×，即： c2 - 8c + 15 = 03即：(c - 3)(c - 5) = 0 ，故： c = 3 或c = 53、在DABC 中，角 A, B, C 对应的边分别是a, b, c . 已知cos 2 A - 3 cos(B + C ) = 1 .（）求角 A 的大小；（）若DABC 的面积 S = 5 3 ， b = 5 ，求sin B sin C 的值.：(I)由cos 2 A - 3 cos(B + C ) = 1

25、得： cos 2 A + 3 cos A = 1即： 2 cos2 A - 1 + 3cos A = 1，即： 2 cos2 A + 3cos A - 2 = 0即：(2 cos A - 1)(cos A + 2) = 0 ，故： cos A = 1 ，则： A = p232 ´ 5 3()由 S = 1 bc sin A 得： c =2S= 45 ´ sin p2b sin A3由余弦定理得： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = 25 + 16 - 2 × 5 × 4 × cos p = 213由正弦定理得： sin B =

26、 b sin A ， sin C = c sin Aaa故： sin B sin C = bc sin2 A = 5 × 4 × sin2 p= 20 × 3 = 5a221321 47：(I) A = p () sin B sin C = 5本题374、将函数 y =Î R) 的图像向左平移m(m > 0) 个长度后，所得到的图像3 cos关于 y 轴对称，则m 的最小值是（）(A) p(B) p(C) p(D) 5p12636第8页三角和三角函数基础：函数 y =3 cos x + sin x = 2( 3 cos x + 1 sin x) =

27、 2 sin( x + p )223后的函数为： y = 2 sin( x + m + p )根据“减”，图象左移m3此时图象关于 y 轴对称，即： y = 2 sin( x + m + p ) = 2 sin( x + p )32(奇变偶不变，关于 y 轴对称的函数是cos x ，这里直接用最小值)即： m + p= p，即： m = p - p= p本题： m = p.3223665、在DABC 中，角 A, B, C 对应的边分别是a, b, c .已知cosC + (cos A -3 sin A)cos B = 0 .求角 B 的大小；若a + c = 1 ，求b 的取值范围： 已知c

28、os C = -(cos A -3 sin A)cos B = -cos Acos B +3 sin Acos B且： cos C = cosp - ( A + B) = -cos( A + B) = -cos Acos B + sin Asin B比较上面两式得：3 sin Acos B = sin Asin B即： tan B =3 ，故： B = p3 已知a + c = 1 ，且a, c > 0 ，则： ac £ a + c = 1 ，即： ac £1422= a2 + c2 - 2ac cos B = (a + c)2 - 2ac - 2ac cos p由余

29、弦定理得： b23b2 = (a + c)2 - 3ac = 1 - 3ac < 1 ，故： b < 1因为： ac £ 1 ，即： 3ac £ 3 ，即： 1 - 3ac ³ 1 - 3 =14444即： b2 = 1 - 3ac ³ 1 ，故： b ³124第9页三角和三角函数基础p11综上， b Î, 1) .本题： B =； b Î, 1)2326、在DABC 中，角 A, B, C 对应的边分别是a, b, c .若a sin B cos C + c sin B cos A = b ，且a > b

30、 ，2则ÐB =(A) p(B) p(C) 2p(D) 5p6336：由正弦定理得： a = 2R sin A ， b = 2R sin B ， c = 2R sin C且由a > b 得： A > B ，即： B < p2代入a sin B cos C + c sin B cos A = b 得： sin Asin B cos C + sin C sin B cos A = 1 sin B22即： sin Acos C + sin C cos A = 1 ，即： sin( A + C ) = 1 ，即： sin B =1222由 B < p 及sin B =

31、 1 得： B = p .本题A2267、在DABC 中，角 A, B, C 对应的边分别是a, b, c .若b cos C + c cos B = a sin A ，则DABC 的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定：由正弦定理得： a = 2R sin A ， b = 2R sin B ， c = 2R sin C代入b cos C + c cos B = a sin A 得： sin B cos C + sin C cos B = sin Asin A即： sin(B + C) = sin2 A ，即： sin A = sin2 A则： sin A

32、 = 0 (舍)或sin A = 1 ，即： sin A = p ，即： DABC 为直角三角形.2本题B.8、设当 x = q 时，函数 f ( x) = sin x - 2 cos x 取得最大值，则cosq = （）第10页三角和三角函数基础： f ( x) = sin x - 2 cos x =5 ( 5 sin x - 25 cos x) =5 sin( x - j )55其中： cosj =5 ， sinj =2 555当 x = q 时，函数 f ( x) = sin x - 2 cos x 取得最大值，即： f (q ) =5 sin(q - j ) =即： sin(q - j

33、）= 1 ，即：q - j = p + 2kp ，即：q = j + p + 2kp22于是： cosq = cos(j + p + 2kp ) = - sin2本题： cosq = - 2 5 .59、设q 为第二象限角，若tan(q + p ) = 1 ，则sinq + cosq = （）42：由sin2得：tan x + 1sincos xtan2 (q + p ) 4=55sin2，即：14an (q +) + 14由于q 为第二象限角，且tan(q + p ) = 1 > 0 ，故：(q + p ) 为第三象限角.424即： sin(q + p ) < 0 ，故： sin

34、(q + p ) = -5544而： sinq + cosq =2 sin(q + p ) = -104510 .本题： sinq + cosq = -510、求证： 3 tan 18o + tan 18o tan 12o + 3ta证明：由tan 30o = tan(18o + 12o ) =1 -第11页三角和三角函数基础即： tan 18o + tan 12o =3 (1 - tan 18o tan 12o )3代入可得：3 tan 18o + tan 18o tan 12o + 3 tan 12o = 3(tan 18o + tan 12o ) + tan 18o tan 12o= 3

35、 ×3 (1 - tan 18o tan 12o ) + tan 18o tan 12o =1 - tan 18o tan 12o + tan 18o tan 12o = 13证毕.11、求证： (1 + tan 1o )(1 + tan 2o )(1 + tan 43o )(1 + tan 44o ) = 222tan 45o - tanq证明：(1 + tanq )1 + tan(45 - q ) = (1 + tanq )1 +1 + tan 45o tanqo= (1 + tanq )(1 + 1 - tanq ) = (1 + tanq )(21 + tanq) = 21

36、+ tanq22222于是： Õ1 + tan(k × 1 ) = Õ 2 =k =1o22 .证毕21 + tan(k × 1 )ok =111612、求证： cos 6 cos 42 cos 66 cos78 =0o - q ) cos(60o + q ) = 4 cosq × 1 cos 120o + cos 2q 证明：2= 2 cosq (cos 2q - 1 ) = 2 cosq (2 cos2 q - 1 - 1 )22= 2 cosq (2 cos2 q - 3 ) = 4 cos3 q - 3 cosq2cos 3q = co

37、s(q + 2q ) = cosq cos 2q - sinq sin 2q= cosq (cos2 q - sin2 q ) - sinq (2 sinq cosq )= cos3 q - sin2 q cosq - 2 sin2 q cosq= cos3 q - 3sin2 q cosq= cos3 q - 3(1 - cos2 q )cosq= 4 cos3 q - 3cosq第12页三角和三角函数基础可见： cos 3q = 4 cosq cos(60o - q )cos(6或： cos 3q= 4 cos(60o - q ) cos(60o + q )cosq或： cos 3q= 4

38、 cos2 q - 3cosq这就是 3 倍角的余弦公式，它是以60o 为“中心”的 4 倍“”直接利用 3 倍角余弦公式来证明本题. 由于本题也是以60o 为“中心”，有6o 和60o + 6o ，再补充一个60o - 6o = 54o 即可.cos 6o cos 42o cos 66ocos 42ocos 42o cos78oooo= 4 cos 6 cos 54 cos 66 ×= cos(3 ´ 6 ) ×4 cos 54o4 cos= cos 18o cos 42o cos78o4 cos 18o cos(60o - 18o )=4 cos 54o16

39、cos 54o= cos(3 ´ 18o ) =cos 54o1=16 .证毕.c s 54o16 cos 54o13、已知：q Î（0, 90o），求方程： sin 3q = 2 sin 54osinq： 4 sinq sin(60o -q )sin(60o + q )= 4 sinq (sin60o cosq= 4 sinq (sin2 60o cos2 q - cos2 60= 4 sinq (cos2 q - 1 sin2 q )344= 4 sinq ( 3 - 3 sin2 q - 1 sin2 q )444= 3sinq - 4 sin3 q sin 3q =

40、 sin(q + 2q ) = sinq cos第13页三角和三角函数基础= sinq (1 - 2 sin2 q ) + 2 sinq cos2 q= sinq - 2 sin3 q + 2 sinq - 2 sin3 q= 3sinq - 4 sin3 q可见： sin 3q = 4 sinq sin(60o -q )sin(60o + q )或： sin 3q= 4 sin(60o - q ) sin(60o + q )sinq或： sin 3q= 3 - 4 sin2 q = -1 + 4 cos2 qsinq这就是 3 倍角的正弦公式.D ABC ， A = 36o ，B = C =

41、 72o ，BD 是角 B的 平分 线 ， 故ÐABD = ÐDBC = 1 B = 36oA2设： BC = a ， CD = bD则： BD = AD = a , AC = a + b那么： DBCD D ABCBCBCCD ，即： BC 2 = AC × CD故:=ACBC故： a2 = (a + b)b令： l = a ，则上式变为： l 2 = l + 1，则： l = 1 +5b2这个是黄金分割比例.于是，由余弦定理得： BC2 = AC2 + AB2 - 2AC × AB ×cos A即： a2 = 2(a + b)2 - 2(a

42、 + b)2 cos 36o2(a + b)2 - a2a2l 2即: sin 54 = cos 36 =oo2(a + b)2= 1 - 2(a + b)2 = 1 - 2(l + 1)2第14页三角和三角函数基础将l 2 = l + 1代入上式得：2l + 1 = 2 +5 = l5 = 1 +12(l + 1)sin 54o = cos 36o = 1 -=2l + 23 +425= l故： sin 54o = cos 36o2 于是待解方程变为： sin 3q = 2 sin 54o = lsinq由 sin 3q= -1 + 4 cos2 q 和得： -1 + 4 cos2 q =

43、l ，sinq即： cos2 q = l + 14由于：q Î（0, 90o）1 +5 + 1l + 1 =3 +56 + 2 52故： cosq =8444(1 +5 )2= 1 +5 = l=442即： cosq = l2对比和，则：q = 36o14、设tana , tan b 是方程 x2 - 3 x + 2 = 0 的两个根,则tan(a + b ) 的值为（）A -3B -1C1D3：根据定理： tana + tan b = 3 ， tana tan b = 2则由 2 倍角的正切公式得：tan(a + b ) = tana + tan b3= -31 - tana ta

44、n b1 - 2故：本题A.第15页三角和三角函数基础15、在DABC 中,若sin2 A + sin2 B < sin2 C ,则DABC 的形状是（）A锐角三角形. B直角三角形.C钝角三角形.D不能确定.：由正弦定理得： a = 2R sin A ， b = 2R sin B ， c = 2R sin C故： sin2 A + sin2 B < sin2 C ，即： a2 + b2 < c2由于勾股定理： a2 + b2 = c2 为直角三角形，所以a2 + b2 < c2 为钝角三角形.a2 + b2 - c2< 0 ，则 C 是钝角.或者由余弦定理： c

45、os C =2ab本题C.16、在DABC 中,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a2 + b2 = 2c2 ,则cos C 的最小值为（）3222C 1D - 1AB22a2 + b2 - c2a2 + b22ab1：由余弦定理得： cos C =³=2ab4ab4ab2即cos C 的最小值为 1 .本题C.217、函数 f ( x) = sin(w x + j ) 的导函数 y = f '( x) 的部分图像如图 4 所yP示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,BxO AC为图像的最低点.图 4B(1)若j =

46、p ,点 P 的坐标为(0, 3 3 ) ,则w = （） ;62(2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在DABC 内的概率为（）：函数 f ( x) = sin(w x + j ) 的导函数 f '( x) = w cos(w x + j )第16页三角和三角函数基础 对于 P(0, 3 3 ) 点，有 f '(0) = w cosj = 3，则： w =33 32 cosj22将j = p 代入上式得： w =3 3= 3 3= 32 cos p636 求曲线 ABC 的面积与 x 轴的面积 S1不妨将曲线向左平移，使 A 点平移到O 点= T

47、2p= p ，曲线为： g( x) = -w sinw x则 x= 0 ， xAC22ww于是曲线与 x 轴所围面积 S1 为：ppòò-wsin w xdxS1 =wg( x)dxw00ppòw x)d(w x)cos(w x) w=- sin(=w00cos(w × p ) - cos 0= 2w= p而对于D ABC ，其底 AC =x - x，其高为g ( x) ，其中 g( x) 是 g( x) 的极CAmmw-w sin p值. 这里= w=g ( x)m2则D ABC 的面积为：= 1 × p × w = p12SD=A

48、C × g ( x)ABCm2 w2p= pSD ABC = 2本问是几何概型，其概率为： P =S124本题： w = 3 ； P = p .418、在DABC 中,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c .若(a + b - c)(a + b + c) = ab ,则角 C =第17页三角和三角函数基础（）.：由(a + b - c)(a + b + c) = ab 得：(a + b)2 - c2 = ab即： a2 + b2 - c2 + 2ab = ab ，即： a2 + b2 - c2 = -ab222即： a + b - c= - 1aba2 + b2 -

49、c21由余弦定理得： cos C = -2ab22p .故：角C =319、证明： sinsin 3p sin 5pp= 11414148sin 2pp14=14 证明：由二倍角公式可得： sin2 cos p14由积化和差公式得：= - 1 cos( 2ps n 25i14214= - 1 cos(7p ) - cos(- 3p )21414= -(c scos 3p ) =1 cos 3p14214于是，将式代入待证式：sin 2ppp pin 5=14 s nsin2 cos p11414141 cos 3pcos 3p sin 3p× sin 3p=14=14142 cos

50、p4 cos p141414第18页三角和三角函数基础n pos(p - 6p )=1=214 = 1证毕.8 cos p8141420、证明： cos p - cos 2p + cos 3p12=777C证明：本题画图证明更清晰.Ap - p首先计算一下，7 = 3p27OBDE然后看图：设： ÐO = p ， OA = AB = BC = CD = 1 ，7即：等腰三角形.由三角形的外角等于它的两个不相邻的内角和得：2p7ÐBAC = 2ÐO =ÐCBD = ÐO + ÐACB = Ð3p3p7于是： ÐBDC

51、 = ÐCBD =， ÐOCD =7故： DOCD 是等腰三角形，即： OC = OD OA = 1 ， AC = 2 AB cosÐBAC = 2 cos 2p7OB = 2OAcosÐO = 2 cos p ， BD = 2CD cosÐBDC = 2 cos7代入OC = OD 得： 1 + 2 cos 2p = 2 cos p + 2 cos 3p777即： cos p - cos 2p + cos 3p =1 .证毕.7772第19页三角和三角函数基础21、已知：sin A + sin B + sin C = 0 ，cos A + c

52、os B + cos C = 0 ，求：cos2 A + cos2 B + cos2 C = ?： 设向量a = (cos A, sin A)， b = (cos B,sin B)， c = (cos C, sin C )则： a + b + c = (cos A + cos B + cosC,sin A + sin B + sinC) = (0,0)即： a, b, c一个完整的三角形.又： a，即：还是一个等边三角形.=bc故设 A = a ，则 B = a + 2p ， C = a - 2p33即： B + C = 2a ， B - C = 4p3 由二倍角公式得：cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 + co