双星三星四星问题

1、双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1. 模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。2模型条件：(1) 两颗星彼此相距较近。(2) 两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。(3) 两颗星绕同一圆心做圆周运动。3模型特点 : (1)“向心力等大反向”两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。(2) “周期、角速度相同”两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。(3) 三个反比关系： m1r 1 m2r 2 ； m1v1 m2v2 ； m1a1 m2a2推导：根据两球的向心力大

2、小相等可得，121 222，即1 122 ；等式11 22 两边同乘以角速度m r m rmr mrmrmr，即1122；由121 222 直接可得，11 22。mv mvm rm rGm2m 2ma maG mm(4) 巧妙求质量和： Gm2m 12122 由得：22121212 LLm rLm rL ，得 m1r 1m2r 223m1m2 L G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1) “两等” :它们的角速度相等。双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。(2) “两不等” : 双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周

3、运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。由121222 知由于1 与2 一般不相等，故r1 与r2 一般也不相等。m rm rmm二、多星模型(1) 定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同(2) 三星模型：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行( 如图甲所示 ) 三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上( 如图乙所示 ) (3) 四星模型：其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动( 如图丙 ) 另一种是三颗恒星始终

4、位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动( 如图丁所示 ) 三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2的整数倍。2、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为的奇数倍。3、对于天体追及问题的处理思路：(1)根据GMm22 mr ，可判断出谁的角速度大；r(2)根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于的奇数倍。在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角

5、速度相同的特点进行判断。天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，12。【例题 1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒星之

6、间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。 （引力常量为G）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r 1 、r 2，角速度分别为 1、 2。根据题意有12r1r2r根据万有引力定律和牛顿定律，有Gm1m2m1w12 r1r 2Gm1 m2m1 w22 r1r 2联立以上各式解得r1m2 rm1m2根据解速度与周期的关系知122T联立式解得m1423m2rT2 G【例题 2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律 . 天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星B 构成，

7、两星视为质点， 不考虑其他天体的影响 .A 、B 围绕两者连线上的 O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2 所示 . 引力常量为 G，由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T.(1) 可见星 A 所受暗星 B 的引力 Fa 可等效为位于 O点处质量为m的星体 ( 视为质点 ) 对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 m、 m，试求 m( 用 m、 m 表示 ).1212(2) 求暗星 B 的质量 m 与可见星A 的速率 v、运行周期T 和质量 m 之间的关系式；21(3) 恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms 的 2 倍，它将有可能成为黑洞. 若可见星 A

8、的速率 v=×10 5 m/s ，运行周期 T=× 10 4s ，质量 m1=6ms，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗（G=×10-112230kg ）N·m/kg ， ms=×10解析：设 A、B 的圆轨道半径分别为，由题意知， A、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有 FAm12 r1 ， FBm22 r2 ， FAFB设 A、 B 间距离为，则 rr1 r2由以上各式解得 rm1m2 r1m2由万有引力定律，有FAG m1 m2，代入得 FAGm1 m23r 2(m1m2 ) 2 r12G m1 m ，通过比较

9、得 m3令 FAm2r12(m1m2 )2（ 2）由牛顿第二定律，有G m1 m2m1v 2r 2r1而可见星 A 的轨道半径 r1vT2将代入上式解得m23v3T(m1 m2 )22 G（ 3）将 m16ms 代入上式得m23v3T(6msm2 ) 22 G代入数据得m233.5msm2)2(6ms设 m2nms (n 0) ，将其代入上式得m23nms 3.5ms(6msm26(1)2nm2 3nms3.5ms(6msm2 61)2(nm23可见，的值随的增大而增大，试令 n2 ，得(6msm2 ) 2n0.125ms3.4ms6ms(1) 2n可见，若使以上等式成立，则必大于 2，即暗星

10、 B 的质量 ms 必大于 2ms ，由此可得出结论：暗星B 有可能是黑洞。【例题 3】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为 L，质量分别为 M1、M2，试计算（ 1）双星的轨道半径（ 2）双星运动的周期。15. 解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，即：GM1M2M 12L1 M22 L2 -L2. L1 L2 L -由以上两式可得：L1M 2L ，L2M 2LM 1M 1M 2M 2又由GM1M2M14 2L1 .-得： T2LG(M1LM 2 )L2T 2【例题4】我们的银河系的恒星中大

11、约四分之一是双星. 某双星由质量不等的星体S1 和 S2 构成 , 两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动 . 由天文观察测得其运动周期为T,S 1 到 C 点的距离为r ,S和 S 的距离为 r, 已知引力常量为G.由此可求出 S 的质量为（ D ）112222232322A. 4 r (r r1)B. 4r1C. 4 rD.4 rr1GT 2GT 2GT 2GT 2答案：D解析双星的运动周期是一样的 , 选 S 为研究对象 , 根据牛顿第二定律和万有引力定律得1Gm1 m 2222r144 r. 故正确选项 D正确 .m1r1, 则 m=r 2T 222GT【

12、例题 5】如右图，质量分别为m和 M的两个星球 A和 B 在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A 和 B两者中心之间距离为L。已知 A、B 的中心和 O三点始终共线， A 和 B 分别在 O的两侧。引力常数为 G。求两星球做圆周运动的周期。 在地月系统中， 若忽略其它星球的影响， 可以将月球和地球看成B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T1。但在近似处理问题时，常常上述星球A 和认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为×1024kg和×10 22kg 。求T2 与T1 两者平方之比。（结果保留3 位小数）【答案】 T2L3G(Mm

13、)【解析】 A和 B 绕 O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和 B 的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期。因此有m 2rM2 R ， rRL ，连立解得 RmmL ， rMLMmM对 A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMmm( 2 ) 2MLL2TM m化简得T2L3m)G(M将地月看成双星，由得T1 2L3m)G(M将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMmm( 2 ) 2 LL2T化简得T22L3GM所以两种周期的平方比值为(T2 )2mM5.9810 247.3510221.01T1M5.981024【

14、例题 6】【 2012? 江西联考】如右图，三个质点 a、 b、 c 质量分别为 m1、m2、 M（ M>m1， M>m2）。在力作用下， a、b 在同一平面内绕 c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的 周期之比c 的万有引Ta Tb=1k；从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则（）A a、 b 距离最近的次数为k 次B a、 b 距离最近的次数为k+1次C a、 b、 c共线的次数为2kD a、 b、 c共线的次数为2k-2【答案】 D【解析】在 b 转动一周过程中， a、 b 距离最远的次数为 k-1 次， a、 b 距离最近的次数为 k-1 次，故 a、 b、 c 共线的

15、次数为 2k-2 ，选项 D正确。【例题7】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统, 通常可忽略其他星体对它们的引力作用 . 已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式: 一种是三颗星位于同一直线上, 两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行; 另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上, 并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行. 设每个星体的质量均为m.(1) 试求第一种形式下 , 星体运动的线速度和周期 .(2) 假设两种形式下星体的运动周期相同, 第二种形式下星体之间的距离应为多少答案(1)5GmR4 R3(2) (12) 31R2R5Gm5解析 (1)对于

16、第一种运动情况, 以某个运动星体为研究对象, 根据牛顿第二定律和万有引力定律有:F1= Gm2F2Gm2R2(2R)2122F +F =mv/R运动星体的线速度:v =5GmR2R周期为 T, 则有 T= 2RT=4vR35Gm(2) 设第二种形式星体之间的距离为r, 则三个星体做圆周运动的半径为R =r / 2cos 30由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供, 由力的合成和牛顿运动定律有：2GmF 合 = 2cos30 °2F4合=mT2 R1所以r= (12 ) 3 R【例题 8】（ 2012? 湖北百校联考）宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用. 已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式: 一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为，而第四颗星刚好位