三角函数公式大全

1、终边在终边在三角函数(0°<v360°360,kZx轴上的角的集合:y轴上的角的集合:终边在坐标轴上的角的集合:终边在y=x轴上的角的集合:终边在yx轴上的角的集合:）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：4cosxy若角与角若角与角若角与角角与角k180,kZ18090,kZ1cosx3sinxsinx32sinxsinx2cosx490,k180180cosx1SINCOS三角函数值大小关系图45,kZ45,kZ的终边关于x轴对称，则角的终边关于y轴对称，则角的终边在一条直线上，则角的终边互相垂直，则角与角2.角度与弧度的互换关系：360°=2180与

2、角与角与角的关系:的关系:的关系:的关系:360=1°=1=57°注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零、弧度与角度互换公式：1rad=180°=57。18，.i3、弧长公式:一_一、1扇形面积公式：物形一lr24、三角函数:是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点（x,y）P与原点的距离为r,则sincostanr_5、三角函数在各象限的符号:全二正弦，三切四余弦）1、2、3、4表示第一、四象限一半所在区域360k360k18018018'12190180|r2y4a的终边y,+o+xy+余弦、正割正弦、余割正切、余切(x,

3、y)6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM；正切线：AT.8、向角三角函数的基本关系式：sin.tan coscos sintan cot 1 csc sin 1sec cos12_22,2sincos1 sec tan21 csc2cot9、诱导公式：k把一 的三角函数化为 的三角函数，概括为:2“奇变偶不变，符号看象限”cot7.三角函数的定义域:三角函数定义域f(x)sinxx|xRf(x)cosxx|xRf(x)tanxx|xRHxk-,kZ2f(x)cotxx|xRMxk,kZf(x)secxx|xRHxk-,kZ2f(x)cscxx|xRMxk,kZ三角函数的公式：（一）基本关系

4、公式组一sinx.22,sinxcscx=1tanx=sinx+cosx=1cosxcosx22cosx-secx=1x=1+tanx=secxsinxtanx-cotx=11+cot2x=csc2x公式组sin(2kx)sinxcos(2kx)cosxtan(2kx)tanxcot(2kx)cotx公式组三sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cotxsin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinx公式组四cos(x)tan(x)cosxtanx公式组五黑x)cosxx)tanx公式组六cos(tan(x)cosxx)tanxcot(x)cot

5、xcot(2x)cotxcot(x)cotx(二)角与角之间的互换公式组一公式组二cos()coscossinsinsin22sincoscos()coscossinsincos2_2_.2cossin2cos2112sin2sin()sincoscossintan22tan1tan2sin()sincojcossinsin21cos.,2tan()tan1tantancos21costan2tan(、tantantan21cossin1cos1tantan1cos1cossin公式组二公式组四公式组五sincos2tan2sincos1.sin2sin1cos(-)sin111,2tan一2

6、,2tan2tan22coscossinsinsincossinsin1.一sin21cos21一cos22sinsincoscos1sin(-tan(-2Jcos(一)cos)cot)sincos222fan2tan一2sinsin2cos2sin-2tan(-2)cotLan2cos2coscos-cos.Js叱1tan一222)coscoscos2sinsin2sin1562cos75,tan15cot75223,.tan?5cot15234sin75cos15410.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:zysinxycosxytanxycotxyAsinx(A、>0)定义域R

7、Rx|xRJeLxk1,kZ2x|xRMxk,kZR值域1,11,1RRA,A周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当0,非奇非偶当0,奇函数单调性万2k,22k上为增函数；22k,3-2k2上为减函数(kZ)2k1,.2k上为增函数2k,2k1上为减函数(kZ)k,一k22上为增函数(kZ)k,k1上为减函数（kZ）2k2一(A),2k-2(A)上为增函数；2k一2(A),2k<2(A)上为减函数(kZ)sinx与ysinx的单调性正好相反;cosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf（x）在a,b上递增（减），则yf（x）在a,b上递减（晒ysinx与ycosx的周期是

8、ysin(x)或ycos(x0）的周期xtan一2的周期为2（T翻折无效）ysin（x）的对称轴方程是Z）,对称中心（k,0)；ycos(x)的对称轴方程是xk（kZ）,对称中心,0）；ytan(x）的对称中心C原点对称ycos2xcos(2x)cos2x当tan-tan1,(kZ)；2tantan1,k-(k2Z).Dycosx与ysinx2k2是同一函数（x）是偶函数，则y(x)sin(cos(x).函数ytanx在R上为增函数.（x）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,ytanx为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件:

9、BZE定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数:f(x)f(x),奇函数:f(x)f(x)奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函数，ytan（x1）是非奇非偶.（定3义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若0x的定义域，则f（x）一定有f(0)(0x的定义域，则无此性质）Dysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（Tcosx是周期函数（如图）；ycosx为周期函数（y=cos|x|图象cos2x1的周期为cosxx2（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如:y=|cos2x+1/2|图象yf(x)5f(xk),kR.yacosbsinJa2b2sin（）co

10、sb有3a2b2a工J_| ,相位 x ;初相T 2三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=Asin（cox+。）的振幅|A|,周期丁2，频率fTf|（即当x=0时的相位）.（当A>0,co>0时以上公式可去绝对值符号），由丫=$访*的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|>1）或缩短（当0V|A|<1）到原来的|A|倍，得到y=Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A替换y）由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0v|1）或缩短（|>1）到原来的|工1倍，得到y=sin3x的图象，叫做周期变换

11、或叫做沿x轴的伸缩变换.（用wx替换x）由y=sinx的图象上所有的点向左（当（）>0）或向右（当（）<0）平行移动IeI个单位，得到y=sin（x+（j）的图象，叫做相位变换或叫彳故沿x轴方向的平移.（用x+（）替换x）由y=sinx的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当b<0）平行移动|b|个单位，得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.（用y+（-b）替换y）由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin（cox+（j）（A>0,w>0）（xCR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。高中

12、数学三角函数常见习题类型及解法1 .三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos20+sin20=tanx-cotx=tan450等。（2 ） 项的分拆与角的配凑如分拆项sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；酉己凑角：a=(a+B)0,0=22(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。(4)引入辅助角。asin9+bcos9=Va2b2sin(0+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=b确定。a2 .证明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式

13、。(2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3 .证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4 .解答三角高考题的策略。(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析cos sin求(1)cossin；(2) sin2sin .cos2 cos2的值.解:/ /、 cos sin(1)-/ sin1 - coscossinsin1 tan1 tan

14、cos. 2sinsin cos22 cos. 2.sinsin cos2sin cosc22 cos_ 2sin2-cossinsincos22 .22 12cos说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)弦、切互化，就会使解题过程简化例2.求函数y1sinxcosx(sinxcosx)2的值域。解：设tsinxcosxV2sin(x)R附，则原函数可化为4c1c3-yt2t1(t1)23,因为t也蜴,所以当tJ2时，ymax3J2,当tg时，ymin3,所以，函数的值域为y3,3亚。4例3.已知函数f(x)4sin2x2sin2x2,xR。(1)求f(x)的最小正周期、f

15、(x)的最大值及此时x的集合;(2)证明：函数f(x)的图像关于直线x对称。8解：f(x)4sin2x2sin2x22sinx2(12sin2x)2sin2x2cos2x2,2sin(2xj)所以f(x)的最小正周期T冗，因为xR,所以，当2x-2k冗-,即xk九2时f(x)最大值为2啦；428(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x对称，只要证明对任意xR,8有f(-x)f(-x)成立，88因为f(-x)272sin2(-x)-272sin(-2x)2拒cos2x,8842f(jx)272sin2(jx)；2&sin(j2x)272cos2x,所以£(-x)f(-x)

16、成立，从而函数f(x)的图像关于直线x对称。888例4.已知函数y=1cos2x+sinx-cosx+1(xR,22(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2)该函数的图像可由y=sinx(xCR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到I?：(1)y=-cos2x+sinxcosx+1=1(2cos2x1)+-(2sinxcosx)22444+1=1cos2x+sin2x+=(cos2x-sin一+sin2x-cos)+-4442664=1sin(2x+)+5264所以y取最大值时，只需2乂+m=万+2-,(kCZ),即x=-+k：t,(kCZ)。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为x

17、|x=+k：t,kCZ(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：(i)把函数y=sinx的图像向左平移,得到函数y=sin(x+石)的图像；(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的二倍(纵坐标不变)，得到2函数y=sin(2x+)的图像；6(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的1倍(横坐标不变)，得到2函数y=1sin(2x+)的图像；26(iv)把得到的图像向上平移5个单位长度，得到函数y=-sin(2x+)+4264的图像。综上彳4至Uy=1cos2x+3sinxcosx+1的图像。说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两

18、种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幕后最终化成y=Ja2b2sin(x+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosxw。时,梃tanx +1tan x123.1cosxsinxcosxy=2=/2+1=2-sinxcosx1化简得：2(y1)tan2xV3tanx+2y-3=0.tanxCR,.=38(y1)(2y3)>0,解之得：3<y<-44.yma=7,此时对应自变量x的值集为x|x=k九+,kCZ46例5.已知函数f(x)sin-cos-3cos2-.333(I)将f(x)写成Asin

19、(x)的形式，并求其图象对称中心的横坐标;试求(H)如果ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,的范围及此时函数f(x)的值域.1 . 2x 32x、f (x) sin(1 cos)2323Isin 2(I )由 sin(即对称中心的横坐标为33k 12(k.32x . 3cos - 232、阳 3k 12xsin(T 亍3 2(H)由已知b2=accosx22,2a c b2ac2c2acac2ac accosx 1,3,i1|59sin 一 32ac_2x333.*x sin(312?5-91,3)即f (x)的值域为(- 3,1刍.2综上所述，x(0,3JIf(x)值域

20、为初,1 m .说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例6.在AaBC中，a、b、c分别是角ABC的对边，且cosC%c,cosBb(1)求sinB的值;cosC，有多3sin A sin Csin B '(2)若b4板,且a=c,求&ABC的面积。解：(1)由正弦定理及cosC3accosBb即 sin BcosC3sin AcosB sin C cosB ,所以sin(BC) 3sin AcosB ,又因为A BC 兀，sin(B C) sin A所以sin A

21、3sin AcosB ,因为 sin A 0 ,一一一，-2.2，又0B兀，所以sinB。1cosB。3在&ABC中2,由余弦定理可得a2c2-ac32,又a3所以有4a232,即a224,所以|ABC的面积为3112SacsinB-asinB8在。22三角函数、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知点P（tana,cosa）在第三象限，则角a的终边在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 .集合M= x|x=:, kCZ与kC Z之间的关系是n n=3.若将分针拨慢十分钟,则分针所转过的角度是B. -60°D.-30°4.已知下列各角

22、（1 ） 787°(2) 957。，-289° , (4)1711其中在第A. (1) (2)B.(2) (3)C.(1) (3)D.(2)4 4)5 .设av 0,角a的终边经过点P( 3a, 4a)那么sina + 2cos a的值等于2A. 52B.-5C.D.56 .右 COS( tz + a )贝U sin(2汽8.A.YA.第一象限角C.第三象限角已知弧度数为29.如果sin4A. 一3C.D.B.第二象限角D.第四象限角的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是2B. 而x+cosx = 2，且0v xvn，那么cot x的值是543B. -3 或4C

23、.D.10 .若实数满足 log 2X = 2 + sin 0则 | x + 1| + | x 10|的值等2x二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.tan300 ° +cot765的值是12.sin a + cos asin a cos a=2,则sin a cos a的值是13.不等式（lg20） 2c0sx>1, （xC（0,汽）的解集为14._1 ，一I右e满足cos e > 2 ,则角e的取值集合是15.若 cos130° = a,则 tan50 °/1 x ,16.已知 f(x)=A/TTT ,右支 ,.,一a C (,n

24、)，贝U f (cos a ) + f ( cos a )可化间为三、解答题（本大题共 5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 .（本小题满分12分）设一扇形的周长为C（C>0）,当扇形中心角为多大时，它有最大面积最大面积是多少18 .（本小题满分14分）设90°Va<180°,角a的终边上一点为P（x,、/5），且cosagx,求sina与tana的值.4,.一4,兀rn-342m,19.(本小题满分14分)已知亏wewn，sine=r,cos0=z-,求m的值.25520.（本小题满分15 分)已知 0° v a <4

25、5° ,且 lg(tana ) lg(sin a ) = lg(cos a )一lg（cota）+2lg33,33,2lg2,求cosasina的值.21.（本小题满分15分）已知sin（5汽一“）=42cos（2n+§）和，3cos（a）=小cos（n+3）,且0VaVn,0VBn，求a和§的值.三角函数一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1 .下列函数中，最小正周期为 宜的偶函数是=sin2 x=sin2 x+ cos2x2. 设 函 数（ ）A.它的定义域是1,1B.x= cos21 tan 2x1 + tan 2xy = cos(sin x

26、), 则它是偶函数它不是周期函数C.它的值域是cos1,cos1D.3.把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两.、.n一一一一.倍，然后把图象向左平移了个单位.则所得图象表本的函数的解析式为=2sin2x=2sin2x+ 11C.2a- 1x=2cos( 2汽=2cos(2x+)函数y=2sin(3xTt4)象的两条相邻B.C.Tt若sina+cosa=m,且所在象限A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限函数y=|cotx|sinx的图象()有最大值也有最小值有最大值但无最小值19.已知 0wxwn，且一2 v a<0,那么函数有最小值但无最大值一，汽8.函数y=sin(4()A.knY,kn+1(kCZ)88C.kn小，k冗+等1(keZ)88一2x)的单调增区间是B.k式+'It7，81(keZ)D.3k兀+1支8，7支kn+8(kCZ)既无最大值又无最小值f(x