三角函数周期的几种求法

1、三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。1.定义法：定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例1.求函数y=3sin(2x+三)的周期33解：y=f(x)=3sin(

2、2x+-)=3sin(2x+土+2n)33332 2二-=3sin(x+2n+)=3sin-(x+3r)+3 333=f(x+3n)这就是说，当自变量由X增加到x+3j且必增加到x+3n时，函数值重复出现。.函数y=3sin(2x+-)的周期是丁=3几。33例2：求f(x)=sin6x+cos6x的周期解:f(x+)=sin6(x+)+cos6(x+土)222=cos6x +sin 6x= f (x).f(x)=sin6x+cos6x的周期为T=2(x)=sinx*sin3x的周期cosxcos3x解:.二求 f (x).f(x+;r)=sin(x+n)+sin3(x+n)cos(x：小盛)c

3、os(x：；'蹙)_-sinx-sin3x-cox-cos3xsinxsin3xcosxcos3x=f(x)=sinx-Six的周期:T=.cosxcos3x2.公式法:(1)如果所求周期函数可化为y=Asin(ox+中)、y=Acos(eox”)、y=tg(ox+中)形成(其中A0、中为常数，且A#0、8>0、中wR),则可知道它们的周期分别是：空、空、土。例4:求函数y=1-sinx+V3cosx的周期1解：:y=1-2(-sinx-cosx)22JTJ=1-2(cossinx-sincosx)=1-2sin(x-土)3这里6=1.周期T=2n例5:求：y=2(三sinx-c

4、os3x)-1解：y=2(sinx-1cos3x)-122而cos4”的周期为T嗡=.=2sin(3x-)-1这里0=3.周期为T=3例6：求y=tg(1+%)的周期5解：这里6二史，.周期为：T=n/犯=5553(2)如果f(x)是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinsx、cosex、tg®x的形式，再确定它的周期。例7:求f(x)=sinxcosx的周期解：f(x)=sinx-cosx=-sin2x2这里6=3,.f(x)=sinx-cosx的周期为T5例8:求f(x)=sin2x的周期解：.f(x)=sin2x=cos2x2而cos2x的周期为n,f(x)=sin2x

5、的周期为T=n注：以上二题可以运用定义求出周期。例9:求y=sin%x+cos%x的周期解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期y=sin6x+cos(sin 28 x+ cos2® x) (sin % x-sin2 x - cos2 x+ cos4x)二(sin2 x+ cos 2 x) 2-3 sin 2 xcos2 x=1-3sin2x-cos2x=1-3sin22x45+3cos4x88.y=sin%x+cos%x的周期为T=2-例10:函数y=3sin2x-2<3sinx-cosx+5cos2x的周期。解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期.y=3sin2

6、x-2<3sinx-cosx+5cos2x=3-2<3sinx-cosx+2cos2x=3-.3sin2x+cos2x+1=4+2(-cos2x-sin2x=4+2cos(2x+-).y=3sin2x-2V3sinx-cosx+5cos2x的周期为T=2=n3.定理法：如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=fi(x)+f2(x),而fi(x)的周期为Ti,f2(x)的周期为T2,则f(x)的周期为T=P2T产RT2,其中Pi、P2wN,且(Pi、P2)=1事实上，由(既约分数)，得丁二P2T尸PT2.f(x+P1T2)=f1(x+P1T2)+f2(x+P1T2

7、)=f(x+P2T1)+f2(x+P1T2)=f1(x)+f2(x)=f(x).RT2是f(x)的周期，同理BT1也是函数f(x)的周期例11:求函数y=tg6x+ctg8x的周期。解：:y=tg6x的周期为T1=,tg8x的周期为丁2=：由PiT2=P2T1,得T_=_PL=f,取R=4,P2=3T2P23.y=tg6x+ctg8x的周期为T=PiT2=。例12:求函数y=sin2x+sin3x的周期解：sin2x的周期为丁二n，sin3x的周期为T2=3而口=3,即是T=2T=3T2,T22.y=sin2x+sin3x的周期为T=21=2几例13:求函数y=cos-+sinx的周期34解：cosg的周期为Ti=6兀，sin（的周期为T2=8几而TL=6L=W即是T=4T=3T2T28二4.y=cosx+sinx的周期为t=